袁 理，張曉輝，韓 冰，谷立山，張 鷹

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033;2.中國科學院大學，北京100049)

1 引言

五棱鏡具有使入射光在主截面內(nèi)偏轉(zhuǎn)90°的光學特性，是常用的光學元件。五棱鏡可以用于測試大口徑平面鏡的面形輪廓［1-7］，其過程為:高精度測角儀發(fā)出的光經(jīng)五棱鏡偏轉(zhuǎn)90°后入射到平面鏡，經(jīng)平面鏡反射后再經(jīng)過五棱鏡返回到測角儀，測角儀測出返回光的角度，即可計算出平面鏡上該點的表面傾角，當五棱鏡沿導軌掃描時，可以得到平面鏡表面多個點的傾角，再通過一定的算法即可得到平面鏡的面形輪廓。但是由于導軌存在一定的制造誤差，使得五棱鏡在掃描過程中發(fā)生傾斜，即產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。當入射光不變時，五棱鏡的轉(zhuǎn)動會改變出射光的角度，使光的方向偏離了理論方向，從而降低了表面傾角以及平面鏡面形的測試精度。因此，有必要研究五棱鏡轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化，以便進行誤差分析和修正。閆亞東［8］等人利用Zemax軟件對入射光和五棱鏡的轉(zhuǎn)動進行模擬仿真，然后由Zemax直接給出五棱鏡轉(zhuǎn)動后的出射光角度變化，但是這種方法缺乏理論分析和計算。常山［9］等人利用棱鏡轉(zhuǎn)動定理計算了五棱鏡轉(zhuǎn)動后出射光角度的變化，但是由于棱鏡轉(zhuǎn)動定理的公式只是一個近似公式，所以最后的計算結(jié)果并不精確。于麗娜［10］將五棱鏡簡化為平面鏡系統(tǒng)，利用平面鏡的反射作用矩陣和反射轉(zhuǎn)動公式來計算五棱鏡轉(zhuǎn)動后的出射光角度變化，但由于沒有考慮五棱鏡的折射作用，其結(jié)果也只是近似值。朱碩［11］和戚二輝［12］等人首先求出五棱鏡轉(zhuǎn)動后各個表面的法線矢量，然后再利用矢量形式的折射定律和反射定律，采用光線追跡的方法來計算五棱鏡轉(zhuǎn)動后的出射光角度變化，但是計算十分繁瑣，計算量很大，并且僅僅考慮了垂直入射的情況。

由于前述的各種方法都有不足之處，所以本文提出了一種新的方法來計算五棱鏡轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化，它具有如下優(yōu)點:(1)可以得到精確的結(jié)果，而不是只能得到近似值;(2)計算方法具有普遍性，既可以用于垂直入射的情況，也可以用于非垂直入射的情況;(3)計算簡便，計算量小;(4)用偏擺角和俯仰角來表征入射光和出射光，而不是采用方向角來表征，便于分析和實驗測量。

2 出射光角度變化的計算過程

2.1 坐標系的建立和角度的正負規(guī)定

如圖1，建立右手坐標系xyz，使得z軸垂直于五棱鏡的主截面，x軸和y軸分別垂直于光的入射面和出射面。我們主要研究入射光和出射光的偏擺角和俯仰角，偏擺角是指光在主截面內(nèi)的偏角，俯仰角是指光在垂直于主截面方向的偏角。

下面對各個角度的正負進行規(guī)定。對于入射光向量，當其y分量為正時，偏擺角為正;當其z分量為正時，俯仰角為正。對于出射光向量，當其x分量為正時，偏擺角為正;當其z分量為正時，俯仰角為正。對于轉(zhuǎn)動角度，以按右手規(guī)則確定的方向為正。

圖1 五棱鏡的坐標系Fig.1 Coordinate system of pentaprism

2.2 求入射光向量

按照圖1，假設入射光從左方入射，其偏擺角ε和俯仰角 η已知。設入射光向量為［a b c］T，再由圖2，可以得到:

圖2 入射光的 ε、η 與a、b、c的關(guān)系Fig.2 Relation between ε，η and a，b，c for input lignt

因為光從左方入射，所以其x方向的分量a一定大于零，可以設a=1，于是得到:

2.3 五棱鏡的作用矩陣和坐標轉(zhuǎn)換矩陣

按照圖1，當光從左方入射時，五棱鏡對入射光的作用，實際上就是使入射光繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，這種作用用矩陣表示為［13-15］:

設有一個定坐標系 xyz和一個動坐標系x1y1z1，它們在初始時重合，然后定坐標系xyz不動，動坐標系x1y1z1繞x軸轉(zhuǎn)動θ角。設同一個向量在定坐標系xyz中記為，在轉(zhuǎn)動后的動坐標系x1y1z1中記為，其中Sx稱為由定坐標到動坐標的轉(zhuǎn)換矩陣，它等于［15-17］:

如果動坐標系x1y1z1是繞y軸或者z軸轉(zhuǎn)動θ角，則轉(zhuǎn)換矩陣分別為:

因為Sx是一個正交矩陣，有，所以有也有相同性質(zhì)。稱為由動坐標到定坐標的轉(zhuǎn)換矩陣。

2.4 求五棱鏡轉(zhuǎn)動后的出射光向量

設xyz坐標系為定坐標系，并且假設存在一個動坐標系，它在初始時與xyz坐標系重合，然后隨五棱鏡一起轉(zhuǎn)動。當五棱鏡繞x軸轉(zhuǎn)動θ時，首先將左乘 Sx，把的定坐標轉(zhuǎn)換為動坐標，再左乘Q，得到經(jīng)過五棱鏡后的出射光向量的動坐標，再左乘，將出射光向量的動坐標轉(zhuǎn)化為定坐標，即為。當五棱鏡繞y軸和z軸轉(zhuǎn)動θ角時，也有同樣的過程。于是得到出射光向量的最終表達式為:

2.5 求出射光的偏擺角和俯仰角的變化

即:

圖 3 出射光的 ε'、η'與 a'、b'、c' 的關(guān)系Fig.3 Relation between ε'，η'and a'，b'，c'for output lignt

于是得到五棱鏡在轉(zhuǎn)動時，出射光的偏擺角和俯仰角的變化量為:

綜上，由入射光的偏擺角ε和俯仰角η以及五棱鏡繞某個坐標軸的轉(zhuǎn)角θ，就可以精確計算出五棱鏡轉(zhuǎn)動時出射光的偏擺角和俯仰角的變化量Δε'和Δη'，總結(jié)一下整個過程如下:

(1)按式(3)、(4)、(5)計算入射光向量的三分量 a、b、c。

(2)當五棱鏡分別繞x軸、y軸、z軸轉(zhuǎn)動θ時，分別按式(10)、(11)、(12)計算出射光向量的三個分量 a'、b'、c'。然后按式(15)、(16)計算出射光的偏擺角ε'和俯仰角η'。

(3)按式(18)、(19)計算五棱鏡沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動時出射光的偏擺角ε'0和俯仰角η'0。

(4)按(20)、(21)式計算出射光的偏擺角和俯仰角的變化量 Δε'和 Δη'。

另外，將(12)式和(17)式作比較，可見兩者是一樣的，即當五棱鏡繞z軸轉(zhuǎn)動時，出射光向量不發(fā)生變化。因此，當五棱鏡繞z軸轉(zhuǎn)動時，不管入射光的偏擺角ε和俯仰角η以及五棱鏡的轉(zhuǎn)角θ是多少，出射光的偏擺角和俯仰角的變化量Δε'和 Δη'都等于0。

3 垂直入射的情況

下面分析一種特殊情況，即入射光垂直入射五棱鏡的情況，此時有ε=η=0，于是得到a=1，b=c=0，進一步可得到出射光向量為:

由(18)、(19)式可知，ε'0= η'0=0，再由式(20)、(21)得到 Δε'= ε'，Δη'= η'。然后再由式(15)、(16)得到出射光的角度變化量為:

式中，x、y、z下標分別表示五棱鏡繞 x軸、y軸、z軸轉(zhuǎn)動后的結(jié)果?！啊帧碧栐讦群苄r成立，單位必須為弧度，此時有:

所以，按照圖1，在光從左方垂直入射時，當五棱鏡分別繞x軸、y軸、z軸轉(zhuǎn)動θ角時，出射光的偏擺角變化量分別為 0、arctan(tanθsinθ)、0，俯仰角變化量分別為 θ、arctan(sinθ)、0;當 θ很小時，偏擺角變化量分別為 0、θ2、0，俯仰角變化量分別為 θ、θ、0。

4 五棱鏡多次轉(zhuǎn)動的情況

前面分析的是單次轉(zhuǎn)動的情況，然而五棱鏡也可能作多次轉(zhuǎn)動，此時同樣可以精確計算出射光角度的變化量Δε'和Δη'，與單次轉(zhuǎn)動的計算相比，唯一不同的是計算出射光向量的這一步，而其它計算過程完全一樣。假設五棱鏡作了3次轉(zhuǎn)動，第1次是繞y軸轉(zhuǎn)動，定坐標系為xyz，轉(zhuǎn)動后的動坐標系設為x1y1z1;第2次是繞x1軸轉(zhuǎn)動，此時定坐標系為x1y1z1，轉(zhuǎn)動后的動坐標系設為x2y2z2;第3次是繞z2軸轉(zhuǎn)動，此時定坐標系為x2y2z2，轉(zhuǎn)動后的動坐標系設為x3y3z3?？梢姡?次轉(zhuǎn)動的動坐標就是第2次轉(zhuǎn)動的定坐標，第2次轉(zhuǎn)動的動坐標就是第3次轉(zhuǎn)動的定坐標，利用計算單次轉(zhuǎn)動的思想方法，容易得到出射光向量為:

繼而就可以計算出Δε'和Δη'。當五棱鏡作其它次數(shù)轉(zhuǎn)動時，計算方法也與此類似。

后面的實際計算和實驗僅針對單次轉(zhuǎn)動進行，因為多次轉(zhuǎn)動的種類是無限的，無法一一分析，而單次轉(zhuǎn)動是多次轉(zhuǎn)動的基礎。

5 計算結(jié)果

按照前述公式，編程對五棱鏡轉(zhuǎn)動時出射光的偏擺角和俯仰角的變化量Δε'和Δη'進行了計算，表1、表2分別給出了五棱鏡繞x軸、y軸轉(zhuǎn)動時Δε'和Δη'的計算數(shù)據(jù)，結(jié)果保留到秒;而當五棱鏡繞z軸轉(zhuǎn)動時，由于Δε'和Δη'的計算值恒等于0，所以無須再列表顯示。在表1、表2中，第一行的數(shù)據(jù)是入射光的角度，括號內(nèi)的2個數(shù)據(jù)依次是入射光的偏擺角ε和俯仰角η;第一列的數(shù)據(jù)是五棱鏡的轉(zhuǎn)角θ;其它數(shù)據(jù)為出射光的角度變化量，括號內(nèi)的2個數(shù)據(jù)依次是出射光偏擺角的變化量Δε'和俯仰角的變化量Δη'。圖4、圖5、圖6分別畫出了Δε'隨θ、ε和η的變化趨勢。

表1 五棱鏡繞x軸轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化量(計算值)Tab.1 Changes of output light's angles when pentaprism rotates around x axis(from calculation)

表2 五棱鏡繞y軸轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化量(計算值)Tab.2 Changes of output light's angles when pentaprism rotates around y axis(from calculation)

在下面的分析中，只看數(shù)據(jù)的絕對值，而不關(guān)心數(shù)據(jù)的正負。我們可以看出以下規(guī)律:

(1)由表1和表2可見，Δε'是一個小量，而Δη'與 θ近似相等，并且遠大于 Δε'。所以，當五棱鏡產(chǎn)生轉(zhuǎn)動誤差時，出射光的偏擺角(主截面內(nèi)的偏角)受到的影響很小，而出射光的俯仰角(垂直于主截面方向的偏角)則受到較大影響。因此，在使用五棱鏡時，為了減小轉(zhuǎn)動誤差的影響，通常只把出射光的偏擺角作為有效數(shù)據(jù)，而出射光的俯仰角則被視為無效數(shù)據(jù)而棄用。所以，在后面的分析中，只對有效數(shù)據(jù)Δε'進行分析，而不再關(guān)心無效數(shù)據(jù)Δη'。

(2)由圖4可見，當θ增大時，Δε'也增大。所以，五棱鏡的轉(zhuǎn)角誤差越大，出射光偏擺角的變化量也越大。因此，要盡量減小五棱鏡的轉(zhuǎn)角誤差。

圖4 Δε'隨 θ的變化(ε=30'，η=60')Fig.4 Changes of Δε'with θ(ε =30'，η =60')

圖5 Δε'隨 ε的變化(η=60'，θ=2')Fig.5 Changes of Δε'with ε(η =60'，θ=2')

圖6 Δε'隨 η 的變化(ε=30'，θ=2')Fig.6 changes of Δε'with η(ε =30'，θ=2')

(3)由圖5可見，當只有ε變化時，Δε'幾乎不變;由圖6可見，當只有η變化時，Δε'改變，并且Δε'隨著η的增大而增大。所以，當五棱鏡產(chǎn)生轉(zhuǎn)動誤差時，入射光偏擺角的大小對出射光偏擺角的變化量幾乎沒有影響，而入射光俯仰角的大小與出射光偏擺角的變化量成正相關(guān)。因此，在使用五棱鏡時，為了減小轉(zhuǎn)動誤差的影響，要讓入射光的俯仰角盡量地小，而對入射光的偏擺角可以不作嚴格要求。

6 實驗

實驗裝置如圖7所示，五棱鏡和兩塊平面反射鏡A、B固定在三維旋轉(zhuǎn)臺上一起轉(zhuǎn)動，經(jīng)緯儀1發(fā)出的平行光在五棱鏡的入射面上一部分反射后用于控制入射角度，一部分通過五棱鏡后進入經(jīng)緯儀2。當五棱鏡轉(zhuǎn)動時，經(jīng)緯儀2可測出出射光的角度變化量。經(jīng)緯儀3通過與平面鏡A自準來控制五棱鏡繞y軸和z軸的轉(zhuǎn)角大小，經(jīng)緯儀4通過與平面鏡B自準來控制五棱鏡繞x軸的轉(zhuǎn)角大小。使用的經(jīng)緯儀的精度為1″。

圖7 實驗裝置Fig.7 Experimental devices

表3、表4、表5分別給出了五棱鏡繞 x軸、y軸和z軸轉(zhuǎn)動時出射光的角度變化量的實驗數(shù)據(jù)。表3、表4、表5與表1、表2的結(jié)構(gòu)相同，第一行的數(shù)據(jù)是入射光的角度，第一列的數(shù)據(jù)是五棱鏡的轉(zhuǎn)角，其它數(shù)據(jù)為出射光的角度變化量。

表3 五棱鏡繞x軸轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化量(實驗值)Tab.3 Changes of output light's angles when pentaprism rotates around x axis(from experiment)

表4 五棱鏡繞y軸轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化量(實驗值)Tab.4 Changes of output light's angles when pentaprism rotates around y axis(from experiment)

表5 五棱鏡繞z軸轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化量(實驗值)Tab.5 Changes of output light's angles when pentaprism rotates around z axis(from experiment)

將表3與表1，表4與表2分別進行比較可知，計算值與實驗值的最大偏差為1″。當五棱鏡繞z軸轉(zhuǎn)動時，出射光角度變化量的計算值均為0″，與表5比較可知，計算值與實驗值的最大偏差也為1″?？梢?，計算值與實驗值的偏差在實驗精度范圍內(nèi)，證明計算方法正確。

7 結(jié)論

本文對五棱鏡轉(zhuǎn)動時出射光角度的變化進行了分析與精確計算。首先建立了坐標系并規(guī)定了角度的正負，再由入射光的偏擺角和俯仰角計算入射光向量，接著以五棱鏡的作用矩陣與坐標轉(zhuǎn)換矩陣為基礎計算出射光向量及其偏擺角和俯仰角，然后計算當五棱鏡沒有轉(zhuǎn)動時出射光的偏擺角和俯仰角，最后計算出射光偏擺角和俯仰角的變化。特別對垂直入射的特殊情況進行了分析。隨后進行了實際計算與實驗，總結(jié)了出射光角度變化的一些規(guī)律，并將計算數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)進行了比較，結(jié)果最大偏差為1″，在實驗精度范圍內(nèi)，證明了計算方法是正確的。

實際使用五棱鏡時，利用入射光的偏擺角和俯仰角以及五棱鏡繞某個坐標軸的轉(zhuǎn)動誤差角，就可以計算出射光的角度變化量，在實際出射光的角度中減去該變化量，即可對五棱鏡轉(zhuǎn)動誤差的影響進行修正。

［1］ 湯兆鑫，黃瑋，許偉才，等.差分五棱鏡掃描法在波前檢測中的應用［J］.中國光學，2014，7(6):1003-1011.TANG ZH X，HUANG W，XU W C，et al..Application of differential pentaprism scanning in wavefront detection［J］.Chinese Optics，2014，7(6):1003-1011.(in Chinese)

［2］ 戚二輝，羅霄，鄭立功，等.大口徑非圓形光學平面的五棱鏡掃描檢測技術(shù)研究［J］.光電子·激光，2014，25(7):1370-1375.QI E H，LUO X，ZHENG L G，et al..Optical testing of large optical flat mirror with non-circular pupil based on scanning pentaprism technology［J］.J.Optoelectronics·Laser，2014，25(7):1370-1375.(in Chinese)

［3］ 師途，楊甬英，張磊，等.非球面光學元件的面形檢測技術(shù)［J］.中國光學，2014，7(1):26-46.SHI T，YANG Y Y，ZHANG L，et al..Surface testing methods of aspheric optical elements［J］.Chinese Optics，2014，7(1):26-46.(in Chinese)

［4］ 張峰.納米級面形精度光學平面鏡加工［J］.中國光學，2014，7(4):616-621.ZHANG F.Fabrication of optical flat mirror with nanometer surface error［J］.Chinese Optics，2014，7(4):616-621.(in Chinese)

［5］ 朱碩，張曉輝.誤差分離技術(shù)在平面鏡瑞奇-康芒法檢測中的應用［J］.光學 精密工程，2014，22(1):7-12.ZHU SH，ZHANG X H.Application of error detaching to Ritchey-Common test for flat mirrors［J］.Opt.Precision Eng.，2014，22(1):7-12.(in Chinese)

［6］ 馬鑫雪，王建立.利用相位差異法檢測鏡面面形［J］.光學 精密工程，2015，23(4):975-981.MA X X，WANG J L.Surface testing with phase diversity method［J］.Opt.Precision Eng.，2015，23(4):975-981.(in Chinese)

［7］ 張敏，隋永新，楊懷江.用于子孔徑拼接干涉系統(tǒng)的機械誤差補償算法［J］.光學 精密工程，2015，23(4):934-940.ZHANG M，SUI Y X，YANG H J.Mechanical error compensation algorithm for subaperture stitching interferometry［J］.Opt.Precision Eng.，2015，23(4):934-940.(in Chinese)

［8］ 閆亞東，何俊華，倉玉萍，等.用ZEMAX模擬五棱鏡誤差對平行度檢測的影響［J］.應用光學，2007，28(5):649-653.YAN Y D，HE J H，CANG Y P，et al..Effect of penta prism error on parallelism detection［J］.J.Applied Optics，2007，28(5):649-653.(in Chinese)

［9］ 常山，曹益平，陳永權(quán).五棱鏡的運動誤差對波前測量的影響［J］.光學儀器，2005，27(3):12-16.CHANG SH，CAO Y P，CHEN Y Q.Kinematic error effect of pentagonal prism on wavefront measurement［J］.Optical Instruments，2005，27(3):12-16.(in Chinese)

［10］ 于麗娜.基于五棱鏡掃描法的大口徑光學準直系統(tǒng)出射波前的檢測［D］.南京:南京理工大學，2008.YU L N.Measurement of the wavefront of a large aperture optical collimation system using a scanning pentaprism［D］.Nanjing:Nanjing University of Science and Technology，2008.(in Chinese)

［11］ 朱碩.大口徑光學平面鏡面形檢測技術(shù)研究［D］.北京:中國科學院大學，2014.ZHU SH.Study on technology for large optic flat mirror testing［D］.Beijing:University of Chinese Academy of Sciences，2014.(in Chinese)

［12］ 戚二輝，羅霄，李明，等.五棱鏡掃描技術(shù)檢測大口徑平面鏡的誤差分析［J］.紅外與激光工程，2015，44(2):639-646.QI E H，LUO X，LI M，et al..Error analysis of scanning pentaprism system in optical testing on large aperture flat mirror［J］.Infrared and Laser Engineering ，2015，44(2):639-646.(in Chinese)

［13］ 匡萃方，馮其波，劉斌，等.五角棱鏡制造角差及抖動對其轉(zhuǎn)向角的影響［J］.光學技術(shù)，2004，30(5):616-622.KUANG C F，F(xiàn)ENG Q B，LIU B，et al..Influences on the deflection angle of the pentagonal prism due to dithering and fabrication angles error［J］.Optical Technique，2004，30(5):616-622.(in Chinese)

［14］ 王武，洪普，王波.二維掃描鏡像旋特性分析［J］.光學與光電技術(shù)，2015，13(2):82-86.WANG W，HONG P，WANG B.Characteristic analysis of two-dimensional scanning mirror rotating［J］.Optics＆ Optoelectronic Technology，2015，13(2):82-86.(in Chinese)

［15］ 連銅淑.棱鏡調(diào)整［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1978.LIAN T SH.Prisms Adjustment［M］.Beijing:National Defense Industry Press，1978.(in Chinese)

［16］ 何凱，陳星，王建新.高精度激光三角位移測量系統(tǒng)誤差分析［J］.光學與光電技術(shù)，2013，11(3):62-66.HE K，CHEN X，WANG J X.Analysis of error in high precision laser triangulation displacement measurement system［J］.Optics ＆ Optoelectronic Technology，2013，11(3):62-66.(in Chinese)

［17］ 代貞強，李大海，楊麗杰.基于光線角度標定的坐標測量方法［J］.光學與光電技術(shù)，2015，13(3):29-33.DAI ZH Q，LI D H，YANG L J.Coordinate measuring method based on the angel calibration of ray［J］.Optics＆ Optoelectronic Technology，2015，13(3):29-33.(in Chinese)