黃富龍

“正遷移”如燈塔指引我們走向勝利的彼岸，而“負(fù)遷移”卻如迷霧把我們引向歧途。只有撥開“負(fù)遷移”引起的迷霧，我們才能看得更清、走得更遠(yuǎn)。下面我們通過教學(xué)中遇到的問題說明負(fù)遷移的若干類型及其克服方法，期望對教師的教學(xué)有所啟發(fā)和幫助。

1 負(fù)遷移的若干類型

1.1概念不清引起的負(fù)遷移

例1：已知xi≥0（i=1，2，…，n），且x1+x2+…+xn=1. 求證：1≤+ +…+≤ .（提示：由2≤x1+x2=1類比證明）

本題出自湘教版《數(shù)學(xué)選修2-2》（第117頁第2題），筆者在課堂上給出的解法是：

∵0≤xi≤1（i=1，2，…，n），∴0≤xi≤≤1（i=1，2，…，n），∴+ +…+≥x1+x2+…+xn=1。

又∵（+ +…+）2= （x1+x2+…+xn）2（ + ?+…+ ?+ ?+…+ ）≤（x1+x2+…+xn）+（x1+x2）+（x1+x3）+…+（x1+ xn）+（x2+ x3）+…+（xn-1+xn）=n（x1+x1+…+xn）=n

∴+ +…+≤。

∴1≤+ +…+≤。

一個(gè)成績很不錯(cuò)的學(xué)生疑惑地看著筆者：“老師，您是不是解錯(cuò)了？”學(xué)生將自己的解題過程板書如下：

∵+ +…+≥n=n……①，

又∵n≤n ?= n（）1/2=……②，

∴+ +…+≥……③.

筆者問：“為什么由①②兩式可以推出③成立？”

學(xué)生：“①式恒成立，自然有①式左邊的式子大于等于右邊式子的最大值?！?/p>

學(xué)生的思路似乎很有道理，但明顯是錯(cuò)了。筆者舉了一個(gè)反例：取x1=x2=x3=x4=0.25，x5=0，顯然有x1+x2+…+x5=1，但+ +…+=2，并不大于等于。

學(xué)生意識(shí)到錯(cuò)了，但究竟錯(cuò)在哪里？學(xué)生們瞪大眼睛。筆者解釋：首先從不等式結(jié)構(gòu)來看，①和②不是同向不等式，由①②推不出③，即不滿足不等式的傳遞性。其次，①式不是恒成立問題，而是一個(gè)恰成立問題。這位同學(xué)是把我們以前學(xué)過的恒成立問題與恰成立問題、能成立問題混淆了。

筆者繼續(xù)解釋：若不等式f（x）>A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最小值大于A，若不等式f（x）2x，x∈[-2，4]，求x 的范圍。并沒有要求x2+1>8x>，不等式的解是x∈[-2，1）∪（1，4]。也就是說，x2+1>2x成立并不需要x2+1大于2x的最大值，因?yàn)樽笥覂蛇叾际亲兞?，并不?f（x）≥A恒成立的形式。

學(xué)生點(diǎn)頭表示理解之后，筆者再舉例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分辨清“恒成立問題”“能成立問題”“恰成立問題”。其實(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤也是一種很好的教學(xué)資源，也是鞏固知識(shí)、生成正確認(rèn)識(shí)的契機(jī)。

1.2類比不當(dāng)引起的負(fù)遷移

例2：等差數(shù)列{an}的依次k項(xiàng)的和組成的數(shù)列a1+a2+…+ak ，ak+1+ak+2+…+a2k，…，a（m-1）k+1+a（m-1）k+2+amk（mk≤n）仍為等差數(shù)列.請問將該命題中的 “等差數(shù)列”改作“等比數(shù)列”，那么以上結(jié)論還成立嗎？

這個(gè)題目很多學(xué)生容易回答成立。其實(shí)，在這道題中，等比數(shù)列依次k項(xiàng)的存在有為0的情況 （如等比數(shù)列1，-1，1，-1，…，的依次2項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列為0， 0， … .）， 而根據(jù)定律，0是不能作為等比數(shù)列的項(xiàng)的，所以等差數(shù)列中的這個(gè)結(jié)論在變?yōu)榈缺葦?shù)列之后，就不再成立.

正確的類比結(jié)論是：等比數(shù)列{an}的依次k項(xiàng)的和（若不為零）組成的數(shù)列a1+a2+…+ak，ak+1+ak+2+…+a2k，…，a（m-1）k+1+a（m-1）k+2+…+amk（mk≤n）仍為等比數(shù)列，這樣的結(jié)果就判定為正確。

例3：已知，，都是非零向量，λ∈R，有下列5個(gè)等式或命題：①·=·;②（+）=+;③（）=（）;④λ（+）=λ+λ;⑤若（）=，則=.

則所有正確等式或正確命題的序號(hào)是_____ .

錯(cuò)解：填①②③④⑤.

剖析：向量不同于實(shí)數(shù)，向量是有大小有方向的量，故③是錯(cuò)誤的，因?yàn)椤蔙，（）與共線，而（）與共線，但與未必共線，故③不正確。

⑤也是錯(cuò)誤的，可舉一個(gè)反例，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，假設(shè)=，=，=，∵⊥，⊥;∴=0=，但≠，所以⑤是不正確的。

因此，正確的選項(xiàng)為①②④?？梢姡拍钅：矔?huì)引起負(fù)遷移。

1.3想當(dāng)然引起的負(fù)遷移

例4：具有公共y軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面α和β所成的二面角α-y軸-β等于60°. 已知β內(nèi)的曲線C′的方程是y2=2px′（p>0），求曲線C′在α內(nèi)的射影的曲線方程。

許多同學(xué)是這樣解的： 依題意，可知曲線C′是拋物線，

在β內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F′（，0），p>0。

因?yàn)槎娼铅?y軸-β等于60°，

且x′軸⊥y軸，x軸⊥y軸，所以∠xox′=60°

設(shè)焦點(diǎn)F′在α內(nèi)的射影是F（x，y），那么，F(xiàn)位于x軸上，

從而y=0，∠F′OF=60°，∠F′FO=90°所以O(shè)F=OF′· cos60°=·=. 所以點(diǎn)F（，0）是所求射影的焦點(diǎn)。依題

意，射影為拋物線，開口向右，頂點(diǎn)位于原點(diǎn)。

所以曲線C′在α內(nèi)的射影的曲線方程是y2=px。

上述解答的錯(cuò)誤為：憑直覺誤認(rèn)為焦點(diǎn)F′在α內(nèi)的射影F是焦點(diǎn)，其次未通過證明直接得出拋物線C′在α內(nèi)的射影也是拋物線。正確解法是：在β內(nèi)，設(shè)點(diǎn)M（x′，y′）是曲線上任意一點(diǎn)。

過點(diǎn)M作MN⊥α，垂足為N，

過N作NH⊥y軸，垂足為H連接MH，

則MH⊥y軸，所以∠MHN是二面角α-y軸-β的平面角，依題意，∠MHN=60°。

在RtΔMNH中，=HM·cos60°= x′。

又知HM/x′軸（或M與O重合），HM/x軸（或H與O重合），設(shè)N（x，y），

則

因?yàn)辄c(diǎn)M（x′，y′）在曲線y2=2px′（p>0）上，所以y2=2px（2x）。

即所求射影的方程為y2=4px（p>0）。

說明：“想當(dāng)然”可能是正確解題的一條途徑，甚至可能是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)通道，但也可能出現(xiàn)嚴(yán)重的錯(cuò)誤，避免錯(cuò)誤就要進(jìn)行推理論證。

2 負(fù)遷移的克服

根據(jù)以上對數(shù)學(xué)教學(xué)中的負(fù)遷移現(xiàn)象的分類及一般特點(diǎn)的歸納和分析，教師在教學(xué)過程中同時(shí)運(yùn)用教育學(xué)的普遍原則，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，總體上可以采用以下三種基本教學(xué)策略。

2.1加強(qiáng)對比教學(xué)

對比分析法是教學(xué)中一種非常重要的方法，可使學(xué)生較快地掌握概念，同時(shí)它還是一種非常重要的思維方法。學(xué)生在對相似、相近或相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行比較分析時(shí)，正確使用對比教學(xué)法，不僅能夠更加了解知識(shí)本質(zhì)，同時(shí)還能對它們之間的區(qū)別和聯(lián)系加以更好地掌握，從而有利于學(xué)生學(xué)習(xí)，有效防止或消除知識(shí)的負(fù)遷移。對比分析的方法很多，教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)一一予以分析講解。例如：為了避免互斥事件帶來負(fù)遷移效應(yīng)，在教學(xué)中，教師可采用“相似對比法”，對比分析互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別與聯(lián)系?；コ馀c相互獨(dú)立的事件是兩個(gè)截然不同的概念，雖然它們同屬于對兩個(gè)事件的關(guān)系進(jìn)行描述，但不同點(diǎn)在于：兩者針對問題的角度是不一樣的，前者是能不能同時(shí)發(fā)生，后者則著眼于有沒有影響。另外，從試驗(yàn)的次數(shù)來加以區(qū)別，前者是指在同一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)的幾種不同事件，后者則是分兩次或兩次以上的不同試驗(yàn)影響下出現(xiàn)的不同事件。同時(shí)要有意編選一些能鑒別“互斥”與“相互獨(dú)立”的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過對比，更好地掌握和區(qū)分這兩個(gè)概念，從而防止因混淆關(guān)系而致誤。

2.2加強(qiáng)探究教學(xué)

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行自主探究、學(xué)習(xí)的這一過程。過程包括：觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出數(shù)學(xué)問題、猜測數(shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋、證明。探究性學(xué)習(xí)的精髓在于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，即使他們由被動(dòng)地接受知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的探索者，通過自主學(xué)習(xí)，積極思考和合作討論來獲取有用的知識(shí)。譬如：定義與概念是數(shù)學(xué)的精髓，是靈魂，是對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的高度抽象和概括，只有準(zhǔn)確理解概念，才能防止定義和概念的負(fù)遷移現(xiàn)象，以致能夠?qū)Χx與概念進(jìn)行準(zhǔn)確的運(yùn)用。因此在學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，必須對數(shù)學(xué)要領(lǐng)的具體形成過程和本質(zhì)有更加深入地探究，對每一個(gè)定義概念進(jìn)行更加深入的理解、反思和類比，這樣有助于真正掌握概念，從而克服因“相關(guān)概念的干擾”以及“概念理解不全的干擾”而出現(xiàn)的負(fù)遷移現(xiàn)象。

2.3加強(qiáng)習(xí)題教學(xué)

當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的理解得不深不透時(shí)，教師可在布置平常的數(shù)學(xué)練習(xí)中，有意識(shí)地選編一些容易學(xué)生平常可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的題目，讓學(xué)生多做、多思考，從而能夠在錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，“吃一塹，長一智”，以達(dá)到事半功倍的效果，以求日后再考試中取得更好的成績。另外，教學(xué)中還要圍繞課本中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)等內(nèi)容，必須從不同角度構(gòu)造問題，通過演練促使學(xué)生對問題的實(shí)質(zhì)產(chǎn)生全面準(zhǔn)確地理解，這樣就可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力。譬如，對于導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性與極值應(yīng)用中的問題，由于導(dǎo)數(shù)等概念的抽象性，學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)掌握不全面性或?qū)︻}意理解不準(zhǔn)確等而導(dǎo)致經(jīng)常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤現(xiàn)象。針對這種情況，教學(xué)時(shí)不妨選編像以上這樣的有關(guān)問題，讓學(xué)生去練習(xí)、去分析和思考，從而防止學(xué)生知識(shí)負(fù)遷移。