李海濤，周相榮，李 佳，王 強(qiáng)

(上海船舶設(shè)備研究所 減振中心,上海 200031)

顯式積分求解橡膠元件剛度的方法研究

李海濤，周相榮，李 佳，王 強(qiáng)

(上海船舶設(shè)備研究所 減振中心,上海 200031)

應(yīng)用顯式積分與隱式積分兩種求解方法計(jì)算橡膠元件的垂向靜剛度，其中顯式積分采用斜坡、正弦、光滑三種加載函數(shù)進(jìn)行位移加載。通過對(duì)比分析計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，其中斜坡加載的動(dòng)能在計(jì)算初始時(shí)出現(xiàn)振蕩，而光滑加載與正弦加載的動(dòng)能整個(gè)過程均并沒有出現(xiàn)振蕩；在大變形時(shí)，隱式積分求解方法由于出現(xiàn)網(wǎng)格畸變從而導(dǎo)致程序收斂失敗，此時(shí)顯式積分求解體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)，并且三種加載函數(shù)的計(jì)算結(jié)果幾乎無差別，并且與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度比較好，最大誤差為5.7%。對(duì)于橡膠元件大變形問題，應(yīng)用顯式積分求解靜剛度的方法是可行的，并且不同的加載函數(shù)會(huì)直接影響計(jì)算結(jié)果，尤其是在初始計(jì)算階段的結(jié)果的準(zhǔn)確性有很大的影響。

振動(dòng)與波；橡膠元件；大變形；靜剛度；顯式積分；加載函數(shù)

橡膠是一種在外力作用下能發(fā)生較大的形變，并且當(dāng)外力解除后又能迅速恢復(fù)其原來形狀的有機(jī)高分子材料，在工程上廣泛用于制作減振降噪元件，如發(fā)動(dòng)機(jī)減振器、機(jī)器支座、橡膠金屬懸掛元件等。靜剛度是橡膠元件設(shè)計(jì)時(shí)首先需要滿足的技術(shù)參數(shù)，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)其靜剛度特性曲線，對(duì)后續(xù)開發(fā)是否成功起到關(guān)鍵性作用。

橡膠材料應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系是具有高度非線性的彈性，這種材料行為稱為超彈性。超彈性材料在大應(yīng)變值時(shí)，依然保持彈性，所以在計(jì)算橡膠元件的剛度尤其是在大變形時(shí)，要考慮到橡膠的超彈性，利用隱式積分求解橡膠元件非線性剛度時(shí)，會(huì)因大變形造成網(wǎng)格過度畸變或體積自鎖從而導(dǎo)致程序收斂失敗[1,2]。大變形問題的網(wǎng)格設(shè)計(jì)非常困難，設(shè)計(jì)網(wǎng)格時(shí)必須使單元形狀在整個(gè)分析中是合理有效的。對(duì)于網(wǎng)格大變形的靜態(tài)求解問題可以應(yīng)用顯式積分方法求解，并且用顯式求解方法不會(huì)出現(xiàn)存在收斂問題，相對(duì)隱式算法的靜態(tài)求解更容易一些，并且當(dāng)遇到大模型時(shí)，顯式也比隱式求解對(duì)系統(tǒng)資源的占有率較低，但是采用顯式求解方法需要解決的兩個(gè)重要問題是準(zhǔn)靜態(tài)加載函數(shù)和加載時(shí)間的選擇。使用了顯式積分方法，不可避免地引入了動(dòng)能，但是在準(zhǔn)靜態(tài)加載過程中,若是內(nèi)能光滑地變化，而不會(huì)有太大振蕩，并且動(dòng)能在加載結(jié)束后能夠很快收斂于0，則認(rèn)為此準(zhǔn)靜態(tài)過程模擬質(zhì)量很高[3,4]。國內(nèi)，有學(xué)者通過選取適當(dāng)質(zhì)量縮放因子和采用材料的黏性阻尼來提高橡膠彈簧垂向靜剛度的顯式分析計(jì)算效率[5]。

本文應(yīng)用隱式積分與顯式積分兩種方法計(jì)算某型號(hào)橡膠元件的垂向靜剛度，其中顯式積分采用斜坡、正弦、光滑三種加載函數(shù)進(jìn)行位移加載，研究了斜坡加載、光滑加載與正弦加載對(duì)顯式積分準(zhǔn)靜態(tài)過程的影響，并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，分析在大變形下顯式積分、隱式積分求解橡膠元件靜剛度的優(yōu)劣，得出了一些結(jié)論，供工程應(yīng)用參考。

1 顯式積分求解靜態(tài)問題的基本原理

在求解靜態(tài)問題時(shí)，利用隱式積分求解方法，常常會(huì)因材料大變形，造成網(wǎng)格過度畸變或體積自鎖從而導(dǎo)致程序收斂失敗，此時(shí)可以通過顯式積分求解方法模擬準(zhǔn)靜態(tài)求解靜態(tài)問題，并且用顯式求解方法不會(huì)出現(xiàn)存在收斂問題，相對(duì)隱式算法的靜態(tài)求解更容易一些，并且當(dāng)遇到大模型時(shí)，顯式也比隱式求解對(duì)系統(tǒng)資源的占有率較低。

顯式求解方法是真正的動(dòng)態(tài)求解過程，其最初是為了模擬高速?zèng)_擊問題而設(shè)計(jì)的。動(dòng)態(tài)問題相對(duì)于靜態(tài)問題在求解過程中最大的不同是：慣性力發(fā)揮了主導(dǎo)性作用。所以將顯示動(dòng)態(tài)過程應(yīng)用于準(zhǔn)靜態(tài)問題求解時(shí)，需要降低慣性力，并且使其對(duì)整個(gè)分析過程的影響可以忽略。但是降低慣性力會(huì)直接增加加載時(shí)間，所以在應(yīng)用準(zhǔn)靜態(tài)分析方法時(shí)，要在盡量降低慣性力影響的狀態(tài)下用最短時(shí)間進(jìn)行模擬。

對(duì)于一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程在其自然時(shí)間內(nèi)進(jìn)行分析，一般均可以得到準(zhǔn)確的靜態(tài)結(jié)果，但是若是按照自然時(shí)間計(jì)算整個(gè)過程則計(jì)算代價(jià)會(huì)非常大。在靜態(tài)分析過程中，結(jié)構(gòu)的最低階模態(tài)通常控制著結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，一般理想的是加載時(shí)間為最低階模態(tài)周期的10倍，以確保整個(gè)求解過程為真正的準(zhǔn)靜態(tài)。對(duì)于準(zhǔn)確、高效的準(zhǔn)靜態(tài)分析要求施加的載荷盡可能光滑，任何突發(fā)的運(yùn)動(dòng)均會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力波，并且導(dǎo)致分析過程振蕩，結(jié)果不準(zhǔn)確。光滑的加載方式是指加速度從一個(gè)增量步到下一個(gè)增量步只能改變一個(gè)相對(duì)小量，則其速度、位移也是光滑的。在數(shù)學(xué)上則表示為該加載曲線及其1階與2階導(dǎo)數(shù)均是光滑的。

本文采用三種加載方式進(jìn)行位移加載：斜坡加載、光滑加載與正弦加載，加載函數(shù)如式(1)—式(3)所示，式中，t0為準(zhǔn)靜態(tài)加載結(jié)束時(shí)間，t為時(shí)間，x0為加載的位移值，x(t)為位移x0的準(zhǔn)靜態(tài)加載函數(shù)。

斜坡函數(shù)

2 有限元模型的建立

本文設(shè)計(jì)的橡膠元件主要由彈性裝置與質(zhì)量環(huán)組成，質(zhì)量環(huán)與彈性裝置通過螺栓緊固連接（如圖1），彈性裝置主要由內(nèi)環(huán)與外環(huán)通過橡膠硫化組成，橡膠元件垂向最大變形量為10 mm。結(jié)構(gòu)中橡膠材料的應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖2所示，并且橡膠材料采用Yeoh超彈模型進(jìn)行模擬。超彈理論認(rèn)為材料具體一種與應(yīng)變率無關(guān)的非線性彈性特性，該類材料應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系可以用單位體積應(yīng)變能來度量[6]，如式(4)。

圖1 橡膠元件

圖2 橡膠應(yīng)力—應(yīng)變曲線

Yeoh[7]通過分析應(yīng)變能函數(shù)，忽略掉對(duì)應(yīng)變能影響小的I2，將應(yīng)變能函數(shù)簡化為I1的函數(shù)，完整的Yeoh模型表示為I1的三次多項(xiàng)式。式(5)應(yīng)變能中的系數(shù)C10、C20、C30需要通過材料靜態(tài)單向拉、壓，剪切等試驗(yàn)確定。一般受試驗(yàn)條件限制，通常橡膠材料試驗(yàn)只做單向壓縮、拉伸試驗(yàn)，而Yeoh模型的好處是僅依靠單向拉、壓試驗(yàn)數(shù)據(jù)就可以比較好地預(yù)測(cè)剪切等其它復(fù)雜的材料行為

將圖1所示的橡膠元件三維模型進(jìn)行適當(dāng)簡化處理，將不影響結(jié)構(gòu)特性但是會(huì)影響網(wǎng)格質(zhì)量的如螺栓孔、凸臺(tái)、倒角、螺栓、平墊片等結(jié)構(gòu)省去，并將簡化后的模型導(dǎo)入Abaqus內(nèi)，作為計(jì)算模型，并對(duì)其劃分六面體網(wǎng)格，如圖3所示。實(shí)際中，質(zhì)量環(huán)與彈性裝置是通過螺栓進(jìn)行緊固連接的，并且變形是發(fā)生在橡膠部分，所以可以通過綁定（Tie）接觸將質(zhì)量環(huán)與彈性裝置固定。彈性裝置的橡膠與內(nèi)外環(huán)是通過硫化固連在一起的，可以通過綁定（Tie）接觸進(jìn)行模擬。將橡膠元件的內(nèi)環(huán)通過耦合（Couple）約束到參考點(diǎn)2（RP-2），對(duì)參考點(diǎn)2施加位移載荷；質(zhì)量環(huán)上表面區(qū)域通過耦合（Couple）約束到參考點(diǎn)1（RP-1），用位移約束進(jìn)行固定。

圖3 橡膠元件有限元模型

本文采用隱式積分與顯式積分兩種方法計(jì)算橡膠元件的垂向靜剛度，其中顯式算法采用式（1）—式（3）所示的三種加載方式進(jìn)行10 mm的位移加載，三種位移加載曲線如圖4所示。并且應(yīng)用顯式積分求解橡膠元件垂向靜剛度時(shí)，對(duì)其垂向結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響最大的是垂向第1階模態(tài)。通過計(jì)算得知橡膠元件的垂向第1階模態(tài)頻率為50 Hz，所以在計(jì)算橡膠元件時(shí)，加載時(shí)間為0.2 s。

圖4 加載曲線

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 三種加載函數(shù)對(duì)顯示積分準(zhǔn)靜態(tài)的影響

在查看橡膠元件靜剛度數(shù)值前，應(yīng)該確定整個(gè)分析過程是否為準(zhǔn)靜態(tài)。在橡膠元件受壓的過程中，內(nèi)能主要是由于橡膠變形所產(chǎn)生的，而動(dòng)能則是內(nèi)環(huán)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的，所以可以比較整個(gè)模型分析過程的內(nèi)能與動(dòng)能歷史。為了確定整個(gè)過程為一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程，動(dòng)能應(yīng)該不超過內(nèi)能的5%～10%，并且整個(gè)過程的動(dòng)能還要滿足不能振蕩，若是在光滑加載的情況下卻出現(xiàn)振蕩的能量結(jié)果，則計(jì)算結(jié)果是不合理的。

圖5為三種加載函數(shù)橡膠元件準(zhǔn)靜態(tài)過程的動(dòng)能與內(nèi)能歷史對(duì)比曲線，動(dòng)能與動(dòng)能歷史對(duì)比曲線，從前三個(gè)內(nèi)能與動(dòng)能對(duì)比可以看出，三種加載方式在整個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程動(dòng)能均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)能，但是三種加載方式的動(dòng)能在整個(gè)過程卻并不相同，其中斜坡加載的動(dòng)能出現(xiàn)振蕩，并且在完成加載后動(dòng)能也沒有收斂于0；而光滑加載與正弦加載的動(dòng)能整個(gè)過程均是光滑地增大與光滑地減小，沒有出現(xiàn)振蕩，并且正弦加載的動(dòng)能最大值也要小于光滑加載的30%。所以從對(duì)比動(dòng)能與內(nèi)能的方面，光滑加載與正弦加載的準(zhǔn)靜態(tài)過程的模擬準(zhǔn)確性要好于斜坡加載形式，光滑加載與正弦加載的計(jì)算結(jié)果相對(duì)于斜坡加載是更可靠的。

3.2 計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

將應(yīng)用顯式積分、隱式方法求解得到的橡膠元件的力—位移曲線與試驗(yàn)測(cè)得的力—位移曲線繪制在同一坐標(biāo)系內(nèi)，如圖6所示，隱式積分求解橡膠元件的靜剛度時(shí)，僅能計(jì)算到加載位移為5 mm，加載位移大于5 mm后便會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)格畸變從而導(dǎo)致程序收斂失敗，所以對(duì)于變形量大于5 mm后，隱式積分算法失效。

圖6 橡膠元件力—位移曲線對(duì)比

圖5 三種加載方式能量對(duì)比

在變形量為0～0.5 mm，斜坡加載函數(shù)的計(jì)算結(jié)果明顯大于試驗(yàn)數(shù)據(jù)、光滑加載、正弦加載與隱式積分求解的結(jié)果，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)最大誤差為62.1%，而這主要是由于斜坡加載方式在計(jì)算初始時(shí)，動(dòng)能出現(xiàn)明顯波動(dòng)造成的，如圖5所示，而另外兩種加載函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均小于4%；在位移加載到1 mm以后，三種加載函數(shù)求解的力—位移曲線幾乎一致，主要是加載到1 mm以后三種加載過程的動(dòng)能均不存在振蕩現(xiàn)象，并且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)能的5%。由圖6所示可知，針對(duì)橡膠元件應(yīng)用隱式積分與顯示積分（在位移為0～1 mm部分排除斜坡加載方式的計(jì)算結(jié)果）這兩種方法計(jì)算得到力—位移曲線在位移為0～5 mm內(nèi)重合度很好。在位移為0～2 mm，顯式與隱式求解的力—位移曲線幾乎重合；在位移為2 mm～5 mm，顯式與隱式求解的力—位移曲線逐漸存在誤差，具體表現(xiàn)為：顯式求解的力—位移曲線在相同位移對(duì)應(yīng)的力的逐漸小于隱式求解的，并且試驗(yàn)獲得的力—位移曲線在介于兩者之間。在位移為0～5 mm內(nèi)，隱式積分計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果最大誤差在位移為5 mm處，為1.8%；顯式積分計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果最大誤差也是在位移為5 mm處，為4%。在位移為5 mm～10 mm時(shí)，由于網(wǎng)格畸變從而導(dǎo)致隱式積分收斂失敗，此時(shí)只能應(yīng)用顯式積分求解，顯式積分計(jì)算得到力—位移曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)隨著位移的增加誤差不斷增大，最大誤差達(dá)到5.7%，而造成產(chǎn)生這種誤差的原因是在橡膠在高度變形狀態(tài)下，橡膠的自由面進(jìn)一步減少，而顯式積分中的體積壓縮模型無法精確模擬這一高度變形工況。對(duì)于橡膠元件大變形問題，顯式積分求解的力-位移曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度比較好，所以在最初設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)用顯式積分求解靜剛度的方法是可行的。

4 結(jié)語

應(yīng)用顯式積分與隱式積分兩種求解方法計(jì)算橡膠元件大變形下的靜剛度，其中顯式積分求解時(shí)采用斜坡、正弦、光滑三種加載函數(shù)進(jìn)行位移加載。在小變形時(shí)，光滑加載與正弦加載的計(jì)算結(jié)果相對(duì)于斜坡加載是更可靠的，與隱式求解的結(jié)果、試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度很好；在大變形時(shí)，隱式積分求解方法由于出現(xiàn)網(wǎng)格畸變從而導(dǎo)致程序收斂失敗，此時(shí)顯式積分求解體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)，三種加載函數(shù)的計(jì)算結(jié)果幾乎無差別，并且與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度比較好，最大誤差為5.7%。所以對(duì)于橡膠元件大變形問題，應(yīng)用顯式積分求解靜剛度的方法是可行的，并且不同的加載函數(shù)會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果，尤其是在初始計(jì)算階段的結(jié)果有很大的影響。

[1]莊 茁，由小川.基于ABAQUS的有限元分析和應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[2]劉立忠，劉相華.隱式靜力和顯式動(dòng)力有限元在軋制過程模擬中的應(yīng)用[J].塑性工程學(xué)報(bào)，2001，8(4)：81-83.

[3]黃志輝，陳盛釗，柏友運(yùn).顯式準(zhǔn)靜態(tài)幾種加載方法的討論[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，33(6)：122-125.

[4]樊建平，章建軍，陳傳堯.用顯格式技術(shù)對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)準(zhǔn)靜態(tài)加載的有限元模擬[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2002，19(4)：431-437.

[5]張亞新，黃友劍，程海濤.顯式積分技術(shù)求解橡膠元件大變形問題的研究及應(yīng)用[J].鐵道機(jī)車車輛，2013，33(6)：15-18.

[6]匡振邦.非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2002.

[7]Yeoh O H.Some forms of the strain energy function for rubber[J].Rubber Chemistry and Technology,1993,66: 754-771.

Study on Explicit Integration Used for Solving the Stiffness of Rubber Element

LI Hai-tao,ZHOU Xiang-rong,LIJia,WANG Qiang
(Shanghai Marine Equipment Research Institute,Shanghai 200031,China)

The vertical static stiffness of rubber element is solved by the explicit integration and implicit integration, and three loading functions including ramp,sinusoidal and smooth function,are chosen in explicit integration.It is indicated by simulation analysis and experimental results that the kinetic energy of ramp function exists the oscillation,while the kinetic energy of smooth and sine function exists the no oscillation during the initial step time.In the large-strain,implicit integration is failing because of mesh distortion,then the explicit integration is high-efficiency and the simulation results are consistent with experimental results,the maximum error is 5.7%.It is efficient that the explicit integration is used for solving the large-strain stiffness of rubber element and the different loading functions affect the simulation results directly,especially during the initial step time.

vibration and wave;rubber element;large strain;static stiffness;explicit integration;loading function

O422.6

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.046

1006-1355(2015)02-0209-04

2015－01－10

作者信息：李海濤(1989－)，男，遼寧朝陽人，碩士研究生，研究方向?yàn)樵O(shè)備振動(dòng)噪聲控制。E-mail:leewaver@163.com