班桂寧，聶婷婷，陳科成

（廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧530004）

群論是數(shù)學(xué)史上的一座豐碑，從1829年伽羅瓦通過運用群的方法解決方程根式求解的充要條件至今，群論已有了翻天覆地的發(fā)展.群論普遍地被認為是數(shù)學(xué)及其它許多應(yīng)用中的基本工具.有限p－群與群的自同構(gòu)［1］是群論的基礎(chǔ).在有限非交換p－群中有一類有限p－群被定義為LA－群，即p－群G的階能整除其自同構(gòu)Aut（G）的階，則｜G｜｜｜Aut（G）｜，｜G｜＞p2.關(guān)于LA－群及有限p－群自同構(gòu)的研究俞曙霞、班桂寧等已取得了大量有價值的成果［2～5］.本文結(jié)合Rodney James關(guān)于p2－p6階的分類［6］針對p6階群的Φ36家族進行群的有效擴張，得到一類新非交換的p－群，然后運用自由群理論證明該群的存在性，并給出該群的一些基本性質(zhì)，最后利用群的中心內(nèi)自同構(gòu)特性證明該群是LA－群.

1 基本引論

公式1［7］設(shè)G是群，a，b，c∈G，則有：

公式2［7］設(shè)G是群，a，b∈G且［a，b］∈Z（G），n是正整數(shù)，則有：

公式3［7］設(shè)G是亞交換群，a，b∈G，m≥2，i，j是正整數(shù)，則有：

其中：求積符號中的i，j為正整數(shù)，且滿足i＋j≤m.

引理1［7］設(shè)G是有限p－群，若c（G）＜p，則G正則.

引理2［7］設(shè)G是有限群，則G的全體中心內(nèi)自同構(gòu)組成Aut（G）的子群，且它與Z（G/Z（G））是同構(gòu)的.

引理3［8］設(shè)G是PN群，G/G′和Z（G）的不變型分別為m1≥m2≥… ≥mt≥1和k1≥k2≥…≥ks≥1，則｜Ac（G）｜＝pa，其中a＝∑min｛mj，ki｝.

2 結(jié)果

定理1 設(shè)

則G構(gòu)成群的充要條件是：

在G成群的條件下，有：

證明（I）假設(shè)定理中所給的G是一個群.由［αi，α］＝αi＋1，［α1，α2］＝α5，得：

（1）當(dāng)i＝1時，有：

（2）當(dāng)i≠1時，有：

綜上可得：

因為

所以

綜合上述條件有：

（II）證明G的存在性.

令

設(shè)F＝〈α〉為階循環(huán)群，映射τ如下的作用在N上：

則由t5≤t2，得：

由t5≤t4≤t3≤t2≤t1，得：

若此時記擴張函數(shù)f：F×F→N和α：F→Aut（N）有如下形式：

則由Schreier擴張理論得到N被F的一個擴張.

設(shè)在同構(gòu)σ：F→G1/N下t的像為為陪集中選定的代表元，滿足.令，則有：

且

即

因此G1是存在的，且.

根據(jù)自由群理論證明G1即為群G1的定義關(guān)系.

設(shè)F＝｛x1，x2，x3，x4，x5｝是一個自由群，

則

因此

故

所以

令

設(shè)F＝〈a〉為pt階循環(huán)群，映射τ如下作用在N上：

由t5≤t4≤t3≤t2≤t1，得：

因此有：

故τ∈Aut（N），顯然1τ＝1，下證.

由t5≤t4≤t3≤t2≤min｛t，t1｝，得：

則由Schreier擴張理論得到N被F的一個擴張G＝Ext（N，pt；1，τ）且.

即［αi，α］＝αi＋1.因此G是存在的，且.

根據(jù)自由群理論證明G1即為群G1的定義關(guān)系.

設(shè)F＝｛x，x1，x2，x3，x4，x5｝是一個自由群，

則

因此

定理2 群G有下列性質(zhì)：

（1）G′＝G2＝〈α2，α3，α4，α5〉，G3＝〈α3，α4，α5〉，G4＝〈α4，α5〉，G5＝〈α5〉，G/G′＝〈αG′，α1G′〉，P（G）＝〈gp｜g∈G〉，Φ（G）＝〈α2，α3，α4，α5〉〈αp，α1p〉.

（2）G為亞交換p－群.

（3）若p＞5，則G為正則p－群.

（7）若t＝t1＝t2＝t3＝t4＝t5＝1，則.

證明（1） （i）由G的定義關(guān)系，顯然有〈α2，α3，α4，α5〉≤G′，且〈α2，α3，α4，α5〉?G′.令N＝〈α2，α3，α4，α5〉，則G/N＝〈αN，α1N〉，因為［α1，α］＝α2∈N，所以［αN，α1N］＝N，故G/N為交換群，可以得到.證明如下：

由引理2得G′≤N，即G′＝G2＝〈α2，α3，α4，α5〉，從而可得G/G′＝〈αG′，α1G′〉.

（ii）因為

［α1，α］＝α2，［α2，α］＝α3，［α3，α］＝α4，［α1，α2］＝α5，

從而G3＝［G，G2］＝〈α3，α4，α5〉.

同理G4＝［G，G3］＝〈α4，α5〉；G5＝［G，G4］＝〈α5〉；G6＝1.可得c（G）＝5.

（iii）由有限群G的子群P（G）定義有P（G）＝〈gp｜g∈G〉，即的frattini子群.

（2）因為［α2，α3］＝［α2，α4］＝［α2，α5］＝［α3，α4］＝［α3，α5］＝［α4，α5］＝1，所以G″＝［G′，G′］＝1，故G為亞交換p－群.

（3）當(dāng)p＞5時，由（1）知c（G）＝5＜p，所以G為正則p－群.

（4）對任意的z∈Z（G），設(shè)，則

由此可得：

這使得

即

由z的任意性可得，于是

從而

（5）因為Z2（G）/Z1（G）＝Z（G/Z1），所以［Z2（G），G］?Z1（G），那么對任意的Z2（G），有：

由此可得：

使得

即由z的任意性可得：

于是：

所以

（6）因為Z3（G）/Z2（G）＝Z（G/Z2），且有［Z3（G），G］?Z2（G），那么對任意的Z3（G），由（5）得所以

于是

同理

綜上可得：

是G的中心群列.

（7）若t＝t1＝t2＝t3＝t4＝t5＝1，則.

定理3 證明新群G為LA－群

證明 令R＝Inn（G）Ac（G）（Ac（G）為G的中心自同構(gòu)），則易知R為Aut（G）的正規(guī)p子群.于是只需證明｜R｜≥｜G｜，即可知G為LA－群.

由引理3得：

由定理2的（1）知：

其不變型為（t，t1）.

由定理2的（3）知：

所以

其不變型為：

由G/G′的不變型為（t，t1）根據(jù)引理3把G分成兩組討論：t≥t1與t≤t1.只要證明這兩種情況，即證得G均為LA－群.

（A）證明t≥t1時G為LA－群.

t≥t1時已有t－t2≥t1－t2，t≥t1≥t5成立，Z（G）的不變形為：

下面分析t，t1，t－t2，t1－t2，t2－t3，t3－t4，t4－t5，t5的大小關(guān)系.

（I）當(dāng)t1－t2≥t2－t3時，

（i）t1－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t5時t－t2≥t1－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t5.

計算a時分以下兩類：

（1）t1≥t－t2時，

因此

故群G為LA－群.

（2）t－t2≥t1時，a＝t＋3t1－t2，故，故群G為LA－群.

（ii）同理關(guān)于t1－t2≥t2－t3時的其它大小關(guān)系：

完全可按（i）中的方式驗證G是LA－群.

（II）當(dāng)t－t2≥t2－t3≥t1－t2時，分以下4種情況：

（i）t2－t3≥t1－t2≥t3－t4≥t4－t5≥t5時，t－t2≥t2－t3≥t1－t2≥t3－t4≥t4－t5≥t5.

計算a時分以下3類：

（1）t1≥t－t2時與上述（I）（i）（1）相同，因此G為LA－群.

（2）t－t2≥t1≥t2－t3時，a＝t＋t1＋t2，因此，G為LA－群.

（3）t2－t3≥t1≥t1－t2時，a＝t＋3t1－t2，因此，G為LA－群.

（ii）t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t1－t2≥t5時，t－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t1－t2≥t5.

計算a時分以下兩類：

（1）t4－t5≥t1≥t1－t2時，a＝t＋6t1－2t2＋t5，因此，G為LA－群.

（2）t3－t4≥t1≥t4－t5時，a＝t＋5t1－2t2＋t4，因此，G為LA－群.

（iii）t2－t3≥t3－t4≥t1－t2≥t4－t5≥t5時，t－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t1－t2≥t4－t5≥t5.

計算a時分以下兩類：

（1）t2－t3≥t1≥t3－t4時，a＝t＋3t1－t2，故，故群G為LA－群.

（2）t3－t4≥t1≥t1－t2時，a＝t＋5t1－2t2＋t4，故，故群G為LA－群.

（iv）t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t5≥t1－t2時，a＝t＋6t1－2t2＋t5，故G｜，G為LA－群.

（B）證明t≤t1時群G為LA－群.t≥t1與t≤t1是完全相同的討論方法.同理t≤t1時G為LA－群.

綜上可知擴展的群：

是LA－群.

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