林 林，歐陽(yáng)成

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

0 引言

實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化是高等代數(shù)的重要研究?jī)?nèi)容，其計(jì)算量較大.很多數(shù)學(xué)研究工作者對(duì)此做了大量研究，并提出了不同的求解方法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.如由解方程組求實(shí)對(duì)稱矩陣的正交特征向量將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化［1］；利用合同變換和相似變換將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化［2］；利用Householder變換直接將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化［3］；黃澤霞等［4］利用實(shí)對(duì)稱矩陣的一個(gè)性質(zhì)，找到了一個(gè)求其特征向量的簡(jiǎn)便方法；李蕊［5］通過(guò)簡(jiǎn)單的初等行變換求出實(shí)對(duì)稱矩陣的兩兩正交的特征向量，從而得到將實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的簡(jiǎn)便方法；顧央青［6］通過(guò)解方程組直接求出矩陣A的正交特征向量；李先明［7］給出了用行初等變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角形的方法.

本文主要研究三階實(shí)對(duì)稱矩陣A＝（aij）3×3（aij＝aji）有二重特征值時(shí)的正交對(duì)角化問(wèn)題，利用屬于相異特征值的特征向量互相正交的幾何特征，給出快速求解正交矩陣Q，使得Q－1AQ＝Q′AQ＝diag（λ1，λ2，λ3）為對(duì)角矩陣，其中λ1（＝λ2）與λ3為三階實(shí)對(duì)稱矩陣兩個(gè)相異的特征值.在高等代數(shù)中求正交變換將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，以及在解析幾何中化簡(jiǎn)某些二次曲面方程，其本質(zhì)與三階實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化問(wèn)題是一樣的.所以，此簡(jiǎn)便方法也可以應(yīng)用于這些題型.對(duì)于A有三重特征值或三個(gè)彼此相異特征值的情形，這種正交矩陣Q的選取相對(duì)較簡(jiǎn)單，本文對(duì)此不作討論.

1 正交對(duì)角化方法及其理論證明

1.1 正交對(duì)角化方法

已知A＝（aij）3×3（aij＝aji）為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，λ1（＝λ2）與λ3為A的兩個(gè)互異的特征值，則求解正交矩陣Q，使得Q－1AQ＝Q′AQ＝diag（λ1，λ2，λ3）為對(duì)角矩陣的簡(jiǎn)便解法如下：

（1）對(duì)于A的二重特征值λ1（＝λ2），得到對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（λ1E－A）X＝0的系數(shù)矩陣為λ1EA.易知λ1E－A的行向量成比例.取與λ1E－A的行向量共線的非零行向量記為ξ3′，那么列向量ξ3即為A的屬于特征值λ3的一個(gè)特征向量；

（2）任取非零列向量ξ1，使得ξ1⊥ξ3，令與ξ3×ξ1共線的非零列向量為ξ2，那么ξ1，ξ2即為A的屬于二重特征值λ1（＝λ2）的兩個(gè)正交的特征向量；

（3）注意到，上述ξ1，ξ2，ξ3已兩兩正交，只需單位化即可得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組ε1，ε2，ε3.將ε1，ε2，ε3按λ1，λ2，λ3對(duì)應(yīng)的次序按列構(gòu)造矩陣Q，那么Q即為所求的正交矩陣.

值得注意的是，其中ξ3幾乎不用計(jì)算即可從矩陣λ1E－A中直接得到；構(gòu)造的正交矩陣Q是不唯一的，它取決于特征向量ξ1，ξ2，ξ3的選取.取相對(duì)較簡(jiǎn)潔的ξ1，ξ2，ξ3，使得構(gòu)造出來(lái)的正交矩陣Q更簡(jiǎn)單.特別是對(duì)應(yīng)重根λ1（＝λ2）的特征向量ξ1，ξ2的選取具有很大的靈活性，這是因?yàn)榕cξ3正交的任何兩個(gè)互相正交的非零向量都可以取作ξ1，ξ2.

1.2 理論證明

要證明以上的簡(jiǎn)便方法是正確的，即證ξ1，ξ2，ξ3是對(duì)應(yīng)特征值的兩兩正交的特征向量.下面從兩個(gè)方面證明：

（1）ξ1，ξ2是對(duì)應(yīng)二重特征值λ1（＝λ2）的兩個(gè)正交的特征向量；

（2）ξ3是λ3對(duì)應(yīng)的特征向量.

證明 由于實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化，因此特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù).于是，又，所以r（λ1E－A）＝1，即λ1E－A的各行成比例.從而存在實(shí)可逆矩陣P，使得P（λ1E－A）＝C（C＝（ξ3，0，0）′；ξ3′為C唯一的非零行向量），即λ1E－A＝P－1C.

已知ξ1⊥ξ3，由叉積的性質(zhì)，ξ2⊥ξ3，故有：

又ξ1⊥ξ2，所以ξ1，ξ2為屬于二重特征值λ1（＝λ2）的互相正交的特征向量.

設(shè)η是A的屬于特征值λ3的特征向量.根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量互相正交的幾何特征，因?yàn)锳為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且λ1≠λ3，所以ξ1⊥η，ξ2⊥η.又ξ1⊥ξ3，ξ2⊥ξ3，且ξ3，η均為非零向量，因而ξ3∥η，即ξ3也為A的屬于特征值λ3的一個(gè)特征向量.

2 正交對(duì)角化方法的應(yīng)用

2.1 三階實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化

解 計(jì)算可得：

所以A的特征值為：λ1＝λ2＝1；λ3＝10.

由

取與非零行共線的向量（1，2，－2）記為，其轉(zhuǎn)置ξ3＝（1，2，－2）′即為A的屬于特征值λ3＝10的一個(gè)特征向量.再任取非零列向量ξ1，使得ξ1⊥ξ3，如ξ1＝（－2，1，0）′.令非零列向量ξ2∥ξ3×ξ1，如ξ2＝（2，4，5）′，則ξ1，ξ2即為A的屬于二重特征值λ1（＝λ2）＝1的兩個(gè)正交的特征向量.將ξ1，ξ2，ξ3單位化后按λ1，λ2，λ3對(duì)應(yīng)的次序按列構(gòu)造矩陣T，則即為所求正交矩陣，使得T－1AT＝T′AT＝diag（1，1，10）.

注 上例中ξ3是直接寫(xiě)出來(lái)的，并不需要經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算；ξ1的選取不唯一，如還可以取ξ1＝（2，1，2）′，那么相應(yīng)的ξ2可取ξ2＝（2，－2，－1）′.由此得到的正交矩陣為：

與常規(guī)方法相比，上述方法顯然簡(jiǎn)潔很多，大大減少了計(jì)算量.

2.2 利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

三階實(shí)對(duì)稱矩陣有一個(gè)二重特征值的情形在考研題中是較復(fù)雜、常見(jiàn)的題型［8～9］，形式也可以有所變化.如下面的題型，本質(zhì)上與上面的題型是相同的.

例2 利用正交變換將二次型f（x1，x2，x3）＝2x1x2＋2x1x3＋2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的正交變換和標(biāo)準(zhǔn)形.

解 此二次型矩陣為：

計(jì)算可得：

所以A的特征值為：λ1＝λ2＝－1；λ3＝2.

由

取ξ3＝（1，1，1）′，再取ξ1＝（1，－1，0）′（ξ1⊥ξ3）.由ξ2∥ξ3×ξ1得ξ2＝（1，1，－2）′，則ξ1，ξ2，ξ3即為A的對(duì)應(yīng)λ1，λ2，λ3互相正交的特征向量.將ξ1，ξ2，ξ3單位化后構(gòu)造正交矩陣，即為正交變換的矩陣，從而利用正交變換

將該實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：

2.3 二次曲面方程的化簡(jiǎn)

例3［10］用正交變換化簡(jiǎn)二次曲面方程.

解 方程左端二次型的矩陣A的特征值為：λ1＝λ2＝5；λ3＝－4.

由λ1E－A易得正交矩陣

作正交變換x＝Cy，則二次曲面方程化簡(jiǎn)為：

顯然，此處正交矩陣的選取較常規(guī)方法更為簡(jiǎn)潔，也更為快捷.

3 結(jié)論

本文給出一種簡(jiǎn)便方法，利用三階實(shí)對(duì)稱矩陣的二重特征值直接計(jì)算出三個(gè)彼此正交的特征向量，由此構(gòu)造正交矩陣，從而有效地解決了此類(lèi)矩陣有二重特征值時(shí)的正交對(duì)角化問(wèn)題.一方面未涉及到利用矩陣的初等變換求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的復(fù)雜過(guò)程，又避免了利用Schmidt正交化方法將二重特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交化，大大縮小了計(jì)算量；另一方面正交矩陣的構(gòu)造具有很大的靈活性，可通過(guò)構(gòu)造簡(jiǎn)潔的特征向量得到較簡(jiǎn)單的正交矩陣.這種簡(jiǎn)便方法計(jì)算量小、可操作性強(qiáng)，在很大程度上可提高解題效率，降低錯(cuò)誤率，達(dá)到事半功倍的效果.這類(lèi)題型在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)的考研卷中尤為常見(jiàn)，一般計(jì)算量都非常大，因此這種方法的引進(jìn)對(duì)于解決相應(yīng)問(wèn)題具有重要意義.另外，這種方法還可廣泛應(yīng)用到利用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形及化簡(jiǎn)二次曲面方程等題型中.因此這對(duì)于解決高等代數(shù)、解析幾何等某些問(wèn)題具有很高的實(shí)用價(jià)值.

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［5］李蕊.實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的簡(jiǎn)便方法［J］.科技信息，2013（26）：139.

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