楊海霞

(蘭州文理學(xué)院師范學(xué)院，蘭州 730000)

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)要有一種精神，用大數(shù)學(xué)家華羅庚的話來(lái)說(shuō)，就是要有“學(xué)、思、鍥而不舍”的精神。高等數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容如積分上限函數(shù)、函數(shù)的連續(xù)與間斷、積分的換元法等一時(shí)很難理解，需要每個(gè)同學(xué)反復(fù)琢磨、反復(fù)思考、反復(fù)訓(xùn)練，通過(guò)典型例題比較，才能真正掌握。本文以積分學(xué)中一類(lèi)特殊的、有著廣泛應(yīng)用的但又難掌握的積分上限函數(shù)為例，說(shuō)明如何應(yīng)用這一方法，將所學(xué)內(nèi)容經(jīng)過(guò)思考加工、歸納總結(jié)，使學(xué)生輕松地鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。

在積分學(xué)中，為證明原函數(shù)的存在定理和牛頓－萊布尼茲公式，引進(jìn)積分上限函數(shù)(或變上限定積分)的概念［1－2］。積分上限函數(shù) F(x)=的自變量是上限變量x，在求導(dǎo)時(shí)是關(guān)于x求導(dǎo)，但在求積分時(shí)，則把x看作常數(shù)，積分變量t在積分區(qū)間［a，x］上變動(dòng)。

1 積分上限函數(shù)

1.1 積分上限函數(shù)的性質(zhì)

定理1［2］如果 f(x)在［a，b］上可積，則上連續(xù)。

定理2［2］如果 f(x)在［a，b］上連續(xù)，則上可導(dǎo)，且 F'(x)=

1.2 特殊的積分上限函數(shù)

以上介紹了積分上限函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，下面以積分上限函數(shù)中的代表性問(wèn)題為例［3-6］，詳細(xì)說(shuō)明如何靈活應(yīng)用歸類(lèi)法解決與此類(lèi)函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

2 積分上限函數(shù)的應(yīng)用

2.1 極限問(wèn)題

這類(lèi)問(wèn)題的求解經(jīng)常會(huì)用到洛必達(dá)法則。

2.2 求導(dǎo)問(wèn)題

1)計(jì)算導(dǎo)數(shù)

2)討論單調(diào)性

例6設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)且f(x)＞0，討論 φ(x)在(0，+∞)的單調(diào)性。思路:利用F'(x)的符號(hào)可以判定。答案:單調(diào)增加。

2.3 最值極值問(wèn)題

利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而討論最值問(wèn)題。

例7 如圖1所示，在區(qū)間［1，e］上求一點(diǎn)ξ，使得圖中所示的陰影部分的面積為最小。思路:陰影部分的面積可以表達(dá)為兩個(gè)變限定積分之和:-lnt)dt，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)S(x)求出其駐點(diǎn)。答案

圖1 例7

2.4 積分問(wèn)題

1)求積分

反向支付和解協(xié)議雖然能使原研藥企業(yè)和首仿藥申請(qǐng)人實(shí)現(xiàn)利益的最大化，但卻損害了消費(fèi)者利益。首仿藥上市時(shí)間的推遲將對(duì)仿制藥市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)造成損害，也給藥物可及性帶來(lái)不利影響。為對(duì)反向支付和解行為進(jìn)行規(guī)制，美國(guó)不僅對(duì)專(zhuān)利鏈接制度本身進(jìn)行了修改，而且還通過(guò)反壟斷審查機(jī)制對(duì)有關(guān)和解協(xié)議進(jìn)行審查。

2)含有未知函數(shù)的變上限定積分的方程的求解問(wèn)題

例13設(shè)f(x)為正值連續(xù)函數(shù)，f(0)=1，且對(duì)任一 x＞0，曲線 y=f(x)在區(qū)間［0，x］上的一段弧長(zhǎng)等于此弧段下曲邊梯形的面積，求此曲線方程。說(shuō)明:根據(jù)題設(shè)列出方程中含有f(x)的積分上限函數(shù)。答案

2.5 證明一些積分不等式或等式等

1)證明積分不等式

說(shuō)明:這類(lèi)題通?？蓸?gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，利用該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明。

例14(Cauchy-Swartz不等式) 設(shè)f(x)，g(x)均在［a，b］上連續(xù)，則思路:利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，令，則F(a)=0，求出F'(x)并證明F'(x)≥0，從而F(x)單調(diào)增加，于是得 F(b)≥F(a)=0，由此可得結(jié)論。

例15設(shè)f(x)在［0，1］上連續(xù)且單調(diào)減少，證明:對(duì)任一0＜λ＜1，有提示:即證令F(x)=通過(guò)證明F'(x)≤0可證F(x)單調(diào)減少，即可得結(jié)論。

2)證明與中值定理有關(guān)的某些積分等式。

例16設(shè)f(x)，g(x)在［a，b］上連續(xù)，求證:存 在ξ∈(a，b)，使說(shuō)明:令在［a，b］上用Rolle定理即可證得結(jié)論。

例17(積分中值定理) 若函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則在［a，b］上至少存在一點(diǎn) ξ，使得說(shuō)明:令 f(x)=則用Lagrange中值定理即可證得結(jié)論。

2.6 奇偶性與周期性的應(yīng)用

例18設(shè)f(x)是周期為T(mén)的連續(xù)函數(shù)，證明:對(duì)于任意的a∈R，有證明:構(gòu)造輔助函數(shù)F(a)dx，所以 F'(a)=f(a+T)-f(a)=0，從而 F(a)=C，又因?yàn)?F(0)=，所以，即

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必建立在理解和熟練解題的基礎(chǔ)上，死記硬背無(wú)濟(jì)于事。從本文的探討中可體會(huì)到歸納總結(jié)為人們思維提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地［7－10］，在學(xué)習(xí)其他知識(shí)時(shí)也可以觸類(lèi)旁通，從而可提高學(xué)習(xí)的興趣。

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):上冊(cè)［M］.5版.北京:高等教育出版社，2004.

［2］劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義:上冊(cè)［M］.5版，北京:高等教育出版社，2008.

［3］張輝，景慧麗.積分上限函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的探討［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(6):27－30.

［4］陳熙德.關(guān)于積分上限函數(shù)及其性質(zhì)的修改設(shè)想［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，30(1):117－118.

［5］徐虎.積分上限函數(shù)的應(yīng)用研究［J］.內(nèi)江科技，2008，29(4):86.

［6］景慧麗，屈娜，于寧莉，等.積分上限函數(shù)的探究式教學(xué)［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，22(1):54－56.

［7］王少英，王淑云.積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，30(5):20－22.

［8］王寶珍，夏銀紅.積分上限函數(shù)的若干應(yīng)用［J］.天中學(xué)刊，2012，27(2):26－27.

［9］章朝慶.淺議積分上限函數(shù)的應(yīng)用［J］.泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，10(3):60－61.

［10］倪華，田立新.關(guān)于積分上限函數(shù)的周期性研究［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2011，14(1):9－11.