郭煒

對于數形結合思想，我國著名數學家華羅庚曾經這樣描述：“數與形本相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少知覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。幾何代數統(tǒng)一體，永遠聯系莫分離。”數形結合思想作為高中階段七大數學思想之一，每年都是高考的熱點。在平時練習過程中，我們應該主要把握以下三個要點：

一、理清限制約束條件是前提

在使用數形結合解題前，應該先注意理清題目中的限制約束條件，限定范圍，才可準確地解決問題。

例1.設集合A={x|y= +m}，B={x|x+y- =0}，若A∩B=？覫，求m的范圍。

解：y= +m得（y-m）2+x2=1（y≥m）

其幾何意義為以（0，m）為圓心，1為半徑的上半圓。

A∩B=？覫知直線與半圓無公共點。

在x+y- =0中，令x=-1，得y= 。

∴m> ，無公共點。

又由點（0，m）到直線距離d= >1

得到m> + （舍）或m< -

綜上可知m< - 或m> 。

在解答本題的過程中需要注意y的范圍，A集合所表示的圖形并非整個完整的圓，而只是圓的上半部分，如果忽略這一點，將得到m> + 或m< - 這一錯誤答案。

二、掌握圖象變換是基礎

運用數形結合，需要對圖象的平移、翻折等變換非常熟練，才能準確地作出較復雜的函數圖象。

例2.函數f（x）=0 x=1lgx-1 x≠1，關于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7個實數根的充要條件是什么？

解：首先作出f（x）圖象，其中涉及較多圖象的翻折及平移，其圖象是由y=lgx→y=lgx→y=lgx-1→y=lgx-1變化得到，分為四個步驟，先y=lgx沿y軸翻折，再向右平移一個單位，在將x軸下部分圖象向上翻折。

當f（x）>0時，相應的x有四個解；當f（x）=0時，x有三個解；當f（x）<0時，x無解。故欲使方程有7個根，只需關于f（x）的二次方程有一個正根，一個零根，

即c=0，此時另一根f（x）=-b>0，

所以，此方程有7個根的充要條件為：c=0且b<0。

本題主要考查函數圖象的各種平移及翻折，“左加右減，上加下減”的運用及f（x）和f（x）的圖象變化。

三、熟悉函數性質的關鍵

運用數形結合思想解題，還要求熟練掌握函數的性質（周期性、對稱性等）。

例3.x1為方程2x+2x=5的根，x2為方程2x+2log2（x-1）=5的解，求x1+x2。

解：2x+2x=5可變形為2x-1= -x，

2x+2log2（x-1）=5可變形為log2（x-1）= -x，

由反函數的對稱性質及平移可知，y=2x-1和y=log2（x-1）圖象關于直線y=x-1對稱。

設兩交點分別為A（x1，y1）和B（x2，y2），易知A、B兩點關于直線y=x-1對稱，故有x2=y1+1y2=x1-1且A點在直線y= -x上，即y2= -x2=x1-1移項得到x2+x1=

本題對考查函數平移及對稱等關系要求較高，要求學生深刻理解互為反函數的兩個函數平移后對稱軸的變化情況，以及掌握兩點關于某直線對稱時的坐標關系，即對函數的各種性質非常

熟悉。

總之，當我們在解題時時刻注意以上三個要點，在運用數形結合思想解題時就會得心應手；而一旦忽視這些問題，就往往會出現一些“會而不對，對而不全”的問題，事后追悔莫及。

編輯 張珍珍