趙春暉,肖健鈺,齊　濱

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱　150001)

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一種改進(jìn)的OMP高光譜稀疏解混算法

趙春暉,肖健鈺,齊濱

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱150001)

摘要:正交匹配追蹤算法是稀疏求解中常用的方法,用于噪聲影響下的高光譜數(shù)據(jù)稀疏解混時(shí),其解混效果不理想.針對(duì)這一問題,提出了全約束DOMP算法.通過引入廣義Dice系數(shù)代替內(nèi)積作為匹配度量準(zhǔn)則,更充分地利用了光譜信息,提高了算法的抗噪能力.同時(shí),為了滿足豐度的“非負(fù)”及“和為1”的性質(zhì),對(duì)豐度系數(shù)進(jìn)行了全約束,進(jìn)一步改善了解混效果.模擬及真實(shí)數(shù)據(jù)仿真結(jié)果顯示,改進(jìn)算法明顯提高了解混精確度,驗(yàn)證了算法的有效性.

關(guān)鍵詞:高光譜圖像; 稀疏解混; 正交匹配追蹤; 廣義Dice系數(shù); 豐度約束

隨著遙感技術(shù)的發(fā)展,高光譜遙感圖像在越來越多的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.由于受到大氣傳輸混合效應(yīng)、地物復(fù)雜度、高光譜成像儀的空間分辨率較低等因素的影響,混合像元在高光譜數(shù)據(jù)中大量存在,嚴(yán)重阻礙了高光譜圖像的應(yīng)用及發(fā)展[1].因此,高光譜圖像混合像元分解技術(shù)的研究,對(duì)于高光譜遙感技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展具有重要意義.線性光譜解混算法通常分為端元提取和豐度反演兩個(gè)步驟,先通過端元提取算法找到純像元,再利用端元提取得到的端元光譜信息進(jìn)行豐度反演.近年來,Iordache和Dias等將稀疏的思想引入高光譜解混算法[2],用光譜庫代替線性光譜混合模型中的端元矩陣,使混合像元在光譜庫下的豐度向量具有稀疏性,這種利用稀疏性的解混算法稱為稀疏解混算法[3].這類算法的優(yōu)勢(shì)是無須假設(shè)純像元的存在,避免了端元提取這一步驟可能引入的誤差.代表性的稀疏解混算法有Dias等提出的SUnSAL算法[4]及其改進(jìn)的SUnSAL-TV算法[5],Iordache等提出的OMP、ISMA[6],史振威等提出的SMP[7]等匹配追蹤類算法[8].

正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法用于稀疏解混,可保證每次迭代后光譜庫的端元集與混合像元?dú)埐罟庾V正交,從而獲取最優(yōu)解[9].然而,當(dāng)高光譜數(shù)據(jù)受噪聲影響較大時(shí),基于OMP的稀疏解混算法的豐度反演效果并不理想.針對(duì)這一問題,本文提出了全約束DOMP稀疏解混算法,用廣義Dice系數(shù)法[10]代替內(nèi)積作為光譜匹配準(zhǔn)則,并對(duì)豐度系數(shù)加入了“非負(fù)”及“和為1”的全約束,使其滿足豐度的約束條件.為驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性,本文利用合成高光譜數(shù)據(jù)及真實(shí)的高光譜遙感試驗(yàn)區(qū)農(nóng)田數(shù)據(jù)進(jìn)行了高光譜解混仿真實(shí)驗(yàn).

1　基于OMP的稀疏解混算法

1.1稀疏的線性光譜混合模型

基于稀疏的高光譜解混算法,引入了一個(gè)有效的光譜庫,并將觀測(cè)到的光譜曲線表示成光譜庫中各地物的線性組合的形式[11].該方法與傳統(tǒng)的高光譜解混算法相比,不需要假設(shè)純像元的存在,避免了端元提取步驟可能帶來的誤差.同時(shí),豐度反演的效果不再取決于高光譜圖像中是否存在純像元,而是如何從光譜庫中找到可以線性表示混合像元的最優(yōu)子集[12].

高光譜稀疏解混問題可以理解為已知一個(gè)過完備光譜庫的情況下,尋找方程最簡單解的問題.用D表示成像光譜儀采集到的光譜庫,將高光譜圖像中的像元x表示為光譜庫D中各光譜響應(yīng)曲線線性組合的形式,得到如下基于稀疏的線性光譜的混合模型:

式中,高光譜圖像中的像元x∈L×1,光譜庫矩陣D∈L×p,α表示豐度系數(shù),n為誤差項(xiàng),L為波段數(shù),p為光譜庫D中所包含的光譜曲線的數(shù)目.

由于α是稀疏的,可以將式(1)等價(jià)為一個(gè)l0范數(shù)最小化問題,則有:

式中,‖·‖0表示l0范數(shù),代表豐度向量α中非零元素的個(gè)數(shù).實(shí)際應(yīng)用中,涉及建模、噪聲等原因,可能會(huì)存在一定的誤差.因此,將式(3)用不等式約束形式來表示:

式中,δ表示極小的常量.

l0范數(shù)的優(yōu)化問題是一個(gè)NP難問題,需要通過遍歷尋找全局最優(yōu)解.匹配追蹤類算法是解決這類問題的主要方法.OMP算法每次迭代后的混合像元?dú)埐钆c端元集正交[13],具有每次迭代都能快速找到最優(yōu)解、算法復(fù)雜度較低的優(yōu)勢(shì),是一種較為經(jīng)典的高光譜稀疏解混算法.

1.2傳統(tǒng)的OMP稀疏解混算法

OMP稀疏解混算法利用迭代的方式實(shí)現(xiàn)了混合像元光譜的重構(gòu).用內(nèi)積度量光譜匹配度,根據(jù)光譜匹配程度,從光譜庫中選取用來表示混合像元的端元,構(gòu)造混合像元光譜的稀疏線性逼近[14].每次迭代能保證選擇的端元與當(dāng)前混合像元光譜殘差有最大的相關(guān)性,同時(shí)能保證混合像元?dú)埐罟庾V與從光譜庫中選出的端元集正交,并不斷地更新殘差向量,當(dāng)?shù)螖?shù)為稀疏度N時(shí),停止迭代.具體來說,OMP稀疏解混算法的流程如下.

輸入:光譜庫D=[d1,d2,…,dp],混合像元x,稀疏度N.

初始化:r0=x,索引集Λ0=?,循環(huán)次數(shù)k=1.

過程:在第k次循環(huán)中

(1) 利用內(nèi)積計(jì)算獲得相關(guān)的端元索引:

(2) 獲得的端元索引加入索引集:

(3) 更新殘差:

(4)k=k+1,返回步驟(1),直到達(dá)到迭代終止條件:循環(huán)次數(shù)k=N;

從OMP稀疏解混算法流程中可以看到,殘差rk始終正交于DΛk,所以在迭代尋優(yōu)過程中,每次迭代,OMP算法都會(huì)尋找到新的匹配端元,端元不會(huì)被重復(fù)地找到,具有較高的收斂速度,縮短了計(jì)算時(shí)間.

2　OMP稀疏解混的改進(jìn)算法

2.1DOMP稀疏解混算法

對(duì)OMP稀疏解混算法的研究可知,從光譜庫中選出最佳匹配端元與混合像元?dú)埐铐?xiàng)匹配的步驟在稀疏解混算法中起到了重要作用.如果最佳匹配端元的選取不夠準(zhǔn)確,那么必然影響豐度反演的最終效果.用內(nèi)積作為匹配準(zhǔn)則,只考慮了混合像元?dú)埐铐?xiàng)光譜與光譜庫端元光譜的相關(guān)性,光譜內(nèi)其他信息沒有得到體現(xiàn).當(dāng)高光譜數(shù)據(jù)受到噪聲等外界因素影響較大時(shí),僅利用相關(guān)性作為光譜匹配程度的度量可能會(huì)導(dǎo)致端元選取不合理.為了進(jìn)一步提高OMP稀疏解混算法的性能,本文采用更優(yōu)的端元選取方法,用廣義Dice系數(shù)法代替常用的內(nèi)積度量光譜匹配程度.內(nèi)積度量端元和混合像元?dú)埐铐?xiàng)光譜相似性的公式如下:

由于內(nèi)積度量光譜匹配程度時(shí),更多考慮地是光譜的相關(guān)性,光譜中的其他信息也沒有得到顯著放大.為了更好地利用光譜信息,本文提出如下Dice系數(shù)準(zhǔn)則度量光譜匹配程度公式:

式中,r∈L×1表示混合像元?dú)埐铐?xiàng)光譜,d∈L×1表示光譜庫中的一條端元光譜曲線,L表示波段數(shù).與式(5)相比,式(6)考慮了光譜的算術(shù)平均值,更能夠突出光譜本身包含的信息,所以Dice系數(shù)準(zhǔn)則能夠更加準(zhǔn)確地從光譜庫中挑選出合適的端元與殘余光譜匹配.當(dāng)高光譜數(shù)據(jù)受噪聲影響較大時(shí),混合像元?dú)埐铐?xiàng)光譜與端元光譜算術(shù)平均值的加入,也可以一定程度上對(duì)噪聲起到抑制作用,因此,該算法在信噪比低的情況下具有更好的高光譜解混效果.本文將這種以Dice系數(shù)作為光譜匹配準(zhǔn)則的稀疏解混算法稱為DOMP稀疏解混算法.同時(shí),由于DOMP算法與OMP算法相比僅改變了光譜庫與混合像元?dú)埐罟庾V的匹配準(zhǔn)則,因此仍然具有收斂性.

2.2全約束的DOMP稀疏解混算法

傳統(tǒng)的OMP稀疏解混算法未進(jìn)行豐度約束,計(jì)算得到的豐度系數(shù)中包含負(fù)數(shù),且每個(gè)像元的豐度系數(shù)的和不為1.由于豐度系數(shù)表示的是高光譜混合像元中各地物所占的比例,應(yīng)該滿足“非負(fù)”及“和為1”的約束[14].傳統(tǒng)的OMP稀疏解混算法得到的豐度系數(shù)不滿足豐度的約束條件,必然導(dǎo)致最終的反演效果不理想.因此,本文提出了全約束的DOMP稀疏解混算法,使得最終得到的豐度系數(shù)滿足豐度的約束條件.在式(1)的基礎(chǔ)上,可以得到基于稀疏的線性光譜混合模型的非負(fù)模型及全約束模型,如下所示:

式中,x表示高光譜圖像中的一個(gè)像元,D表示光譜庫矩陣,α是豐度系數(shù)矩陣,αi表示光譜庫中的i端元在混合像元對(duì)應(yīng)的豐度系數(shù),n為誤差項(xiàng),p為光譜庫D中所包含的光譜曲線的數(shù)目.

為了在改進(jìn)算法中實(shí)現(xiàn)豐度約束,考慮將豐度約束最小二乘算法的思想引入殘差更新的計(jì)算中.對(duì)于全約束的DOMP算法,采用全約束最小二乘算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行逼近,更新殘差項(xiàng)公式修改為

全豐度系數(shù)輸出為

為了保證混合像元?dú)埐罟庾V與光譜庫的端元光譜正交,需要將進(jìn)行全約束后得到的殘差光譜投影到端元索引集DΛk的正交子集上.具體公式如下:

由于某些高光譜解混算法中豐度系數(shù)加入非負(fù)約束與加入全約束的解混效果相近,為了提高運(yùn)算速度,可以只考慮豐度的非負(fù)性,因此,本文對(duì)非負(fù)約束的DOMP算法也進(jìn)行了研究,并同F(xiàn)DOMP算法進(jìn)行了分析比較.

類似地,采用非負(fù)約束最小二乘算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行逼近,更新殘差項(xiàng)公式修改為

非負(fù)約束豐度系數(shù)輸出為

2.3FDOMP稀疏解混算法流程

圖1　FDOMP算法流程圖

3　仿真實(shí)驗(yàn)分析

關(guān)于高光譜解混效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)很多,基于稀疏的混合像元分解方法通常采用豐度的均方根誤差來衡量解混效果[15].根據(jù)定義,每個(gè)端元的豐度均方根誤差如下式所示:

3.1模擬數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)及分析

模擬數(shù)據(jù)的光譜庫是從美國地質(zhì)勘探局USGS的光譜庫中選擇光譜角較大的60條光譜曲線生成的.這些光譜曲線包括224個(gè)波段,均勻分布在0.4～2.5μm之間.從光譜庫中選擇銨長石、高嶺石、白云母3種礦物的光譜曲線作為端元,分別編號(hào)1、2、3,根據(jù)豐度系數(shù)的“非負(fù)”及“和為1”的性質(zhì)構(gòu)造豐度系數(shù)矩陣,并生成高光譜混合像元模擬數(shù)據(jù).應(yīng)用傳統(tǒng)的OMP算法及DOMP、NDOMP、FDOMP算法對(duì)高光譜混合像元模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真,以驗(yàn)證FDOMP算法的有效性.分別添加信噪比為20、25、30、35、40dB的高斯噪聲,計(jì)算豐度反演算法豐度的RMSE值,具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

表1中記錄了3種地物端元在不同信噪比下,各稀疏解混算法得到的豐度RMSE值,同時(shí)記錄了每種算法在不同信噪比下的豐度的平均RMSE值.分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,在不同信噪比的情況下,全約束的DOMP算法都對(duì)反演效果有較大的改善.同時(shí),在低信噪比的情況下,DOMP與OMP算法相比,獲得的豐度值更接近真實(shí)結(jié)果,驗(yàn)證了DOMP算法的抗噪性能.由于DOMP算法在進(jìn)行混合像元光譜與光譜庫中的端元光譜匹配時(shí),不僅關(guān)注光譜間的相關(guān)性,更考慮到了光譜本身包含的信息,因此在噪聲較大的條件下獲得了更好的反演效果.FDOMP算法在DOMP算法的基礎(chǔ)上加入了全約束,使豐度值滿足“非負(fù)”及“和為1”的性質(zhì),反演效果應(yīng)該會(huì)得到大幅度的提升,仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了這一點(diǎn).通過比較FDOMP與NDOMP的RMSE值,FDOMP算法的豐度的誤差更小,因此,加入“和為1”的約束在本算法中是有意義的.隨著信噪比的增加,改進(jìn)算法的優(yōu)勢(shì)逐漸減小.在信噪比較高的條件下,OMP算法及改進(jìn)算法的稀疏解混效果都比較好,但改進(jìn)算法仍更具優(yōu)勢(shì).

圖2是不同信噪比下各稀疏解混算法豐度的平均RMSE值.從圖2中可以更直觀地看到,FDOMP改進(jìn)算法的解混精度顯著提高.同時(shí),在噪聲較高的情況下,DOMP與OMP算法相比,效果改進(jìn)比較明顯.FDOMP與NDOMP算法相比,豐度的平均RMSE值更低,得到的豐度值更接近真實(shí)值,因此,本文提出的算法采用全約束很有必要.

圖2　 不同信噪比下稀疏解混算法豐度的

圖3從正確反演混合像元數(shù)目的角度,對(duì)比了不同算法的解混效果.圖3中顯示了信噪比為30dB時(shí)混合像元的豐度誤差,橫軸表示豐度的RMSE值,縱軸表示混合像元的個(gè)數(shù).RMSE值在0.1以下的混合像元的個(gè)數(shù)越多,說明正確反演的像元數(shù)越多,解混效果越好.從圖3中可以看出,本文提出的FDOMP算法大部分混合像元的豐度RMSE值在0.1以下,并且有大量像元的RMSE值接近0,即大部分像元解混得到的豐度與真實(shí)豐度非常接近.FDOMP算法同傳統(tǒng)的OMP算法相比,正確反演的像元個(gè)數(shù)具有明顯優(yōu)勢(shì).DOMP算法得到的豐度RMSE值在0.05以下的混合像元數(shù)比OMP算法更多,正確反演的像元數(shù)也比OMP算法多.同時(shí),將本文提出的算法與NDOMP算法相比,混合像元正確反演方面明顯更具有優(yōu)勢(shì).本實(shí)驗(yàn)通過分析每個(gè)混合像元的豐度誤差,再次說明了改進(jìn)算法在豐度反演效果上的明顯提升.

圖3　模擬數(shù)據(jù)像元的豐度RMSE值

為了更直觀地觀察稀疏解混算法得到的每個(gè)端元對(duì)應(yīng)的豐度向量的準(zhǔn)確程度,采用生成豐度圖像的方式比較解混效果.圖4是合成數(shù)據(jù)三個(gè)端元對(duì)應(yīng)的真實(shí)的豐度圖像,作為其他稀疏解混算法豐度圖像的對(duì)比圖.圖5~圖8分別為OMP、DOMP、NDOMP、FDOMP稀疏解混算法在信噪比為40dB時(shí)得到的豐度圖像.圖5的OMP稀疏解混算法與圖6的DOMP稀疏解混算法豐度圖上的解混效果相近,但DOMP算法端元1和端元3的豐度圖層次更清晰,更加接近真實(shí)的豐度圖像.圖8中,FDOMP稀疏解混算法除個(gè)別豐度值外,與真實(shí)豐度圖像非常相近,較傳統(tǒng)的算法效果改善明顯,再次證明了全約束DOMP算法的有效性.通過分析解混豐度圖,可以直觀地觀察到,改進(jìn)算法的豐度反演結(jié)果更準(zhǔn)確.當(dāng)信噪比不斷降低時(shí),也可以通過豐度圖觀察到改進(jìn)算法的優(yōu)勢(shì)更加明顯.

圖4　模擬數(shù)據(jù)真實(shí)的豐度圖像

圖6　DOMP算法解混的豐度圖像

圖7　NDOMP算法解混的豐度圖像

圖8　FDOMP算法解混的豐度圖像

3.2真實(shí)數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)算法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性,采用真實(shí)的AVIRIS高光譜遙感圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).該圖像數(shù)據(jù)是于1992年6月在美國印第安納州西北部印第安遙感試驗(yàn)區(qū)拍攝得到的.實(shí)驗(yàn)所用的高光譜圖像數(shù)據(jù)共包含100個(gè)波段,含有多種地物光譜.從圖像中選擇了玉米、灌木、干草3類地物的混合像元構(gòu)成了混合像元矩陣.根據(jù)圖像中的地物光譜信息生成了端元光譜庫.OMP及其改進(jìn)的稀疏解混算法對(duì)應(yīng)得到的端元豐度RMSE值及平均豐度RMSE值如表2所示.

表2　稀疏解混算法的豐度RMSE值的對(duì)比

通過表2的真實(shí)高光譜圖像的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,FDOMP改進(jìn)算法明顯地提高了稀疏解混的精確度,證明了該算法在高光譜數(shù)據(jù)實(shí)際應(yīng)用中的有效性.改進(jìn)算法在模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)中,都明顯改善了解混效果,這也說明了DOMP算法與豐度全約束思想相結(jié)合的FDOMP算法在稀疏解混算法中具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

圖9是稀疏解混算法得到的端元3的豐度圖對(duì)比.豐度值為1時(shí),灰度圖像上顯示為白色.圖9a中,白色區(qū)域是端元3豐度值為1的區(qū)域,通過觀察對(duì)比圖像,可以分析各稀疏解混算法反演豐度值完全正確的個(gè)數(shù).從圖9可以看到,FDOMP算法正確反演的個(gè)數(shù)相對(duì)較多,而OMP與DOMP算法豐度正確反演的個(gè)數(shù)相近,這也與RMSE的計(jì)算結(jié)果相符,再次驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性.

圖9　端元3的豐度圖對(duì)比

圖10為實(shí)驗(yàn)所用真實(shí)高光譜數(shù)據(jù)混合像元的豐度誤差,橫軸表示豐度的RMSE值,縱軸表示混合像元的個(gè)數(shù).RMSE值越小,說明混合像元反演得到的豐度越接近真實(shí)值.從圖10中可以看到,FDOMP算法的RMSE值在0.1以下的像元個(gè)數(shù)更多,即正確反演的混合像元的個(gè)數(shù)更多.通過比較正確反演的像元個(gè)數(shù),可以看到仍然是全約束DOMP算法的解混效果最好.圖10從正確反演像元個(gè)數(shù)的角度驗(yàn)證了改進(jìn)算法應(yīng)用于稀疏解混的有效性.

圖10　真實(shí)數(shù)據(jù)像元的豐度RMSE

4　結(jié)　　語

在OMP稀疏解混算法的基礎(chǔ)上,本文提出了全約束DOMP稀疏解混算法.采用Dice系數(shù)替代內(nèi)積度量光譜匹配度,有效地減少了噪聲對(duì)解混算法的影響.同時(shí),在更新殘差的計(jì)算過程中,引入了全約束最小二乘算法,使獲得的豐度系數(shù)滿足“非負(fù)”及“和為1”的性質(zhì),提高了稀疏解混算法的精確度.通過模擬和真實(shí)數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn),全約束DOMP算法的解混效果明顯提升,驗(yàn)證了算法的有效性.但由于光譜庫的選取對(duì)于稀疏解混的結(jié)果影響較大,因此,如何針對(duì)本算法更好地選擇光譜庫,使算法得到更好的應(yīng)用,是今后研究的主要方向.

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【責(zé)任編輯:李艷】

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AnImprovedOMPAlgorithmforHyperspectralSparseUnmixing

Zhao Chunhui, Xiao Jianyu, Qi Bin

(CollegeofInformationandCommunicationEngineering,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China)

Abstract:It will lead to undesirable unmixing results when OMP algorithm is used for noisy hyperspectral sparse unmixing. In order to solve this problem, a new constraint DOMP-based sparse unmixing algorithm is proposed, where the important spectral information could be highlighted by introducing Dice coefficient as the matching measurement criteria instead of inner product. Also considering constraints of abundance non-negativity and abundance sum-to-one, imposing “fully constraints” on the abundance values which improved the unmixing results. Experiments on both simulated and real hyperspectral data show that the proposed algorithms outperform the OMP sparse unmixing algorithm, the feasibility of the algorithms is proved.

Key words:hyperspectral imagery; sparse unmixing; orthogonal matching pursuit; generalized Dice coefficient; abundance constraints

作者簡介:趙春暉(1965-),男,黑龍江湯原人,哈爾濱工程大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61405041);黑龍江省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(ZD201216);哈爾濱市優(yōu)秀學(xué)科帶頭人基金資助項(xiàng)目(RC2013XK009003);中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M551221).

收稿日期:2014-12-23

文章編號(hào):2095-5456(2015)03-0206-08

中圖分類號(hào):TN911.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A