陳鳳德,張茂石,韓榮玉

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州　350116)

?

離散Lotka-Volterra偏害模型周期正解的存在性

陳鳳德,張茂石,韓榮玉

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州350116)

摘要:研究了一類非自治離散Lotka-Volterra偏害模型,借助重合度理論得到了一組保證系統(tǒng)存在周期正解的充分性條件.

關(guān)鍵詞:偏害作用; 重合度; 周期正解

1　預(yù)備知識

借助向量場分析的方法研究了系統(tǒng)(2)的軌線走向問題.式中,x≥0,y≥0,a1>0,a2>0,b1<0,c1<0,c2<0均為常數(shù). 最近,韓榮玉等[6]認(rèn)為生態(tài)系統(tǒng)是隨著季節(jié)變化而變化的,故需要考慮時變的非自治系統(tǒng),他們提出了如下兩種群偏害關(guān)系模型:

(3)

如文獻(xiàn)[3]所言,對生命短、世代不重疊的種群,或者雖然是生命長、世代重疊的種群, 但在其數(shù)量比較少時,用差分方程(或者說離散動力模型)來表示更為合理. 因此,本文提出了與系統(tǒng)(3)相對應(yīng)的離散的兩種群偏害模型:

2　主要結(jié)果

為了證明周期正解的存在性, 引入重合度理論中的延拓定理.

(a) 對任意的λ∈(0,1),方程Lx=λNx的解滿足x??Ω∩domL,

(b) 對任意的x∈?Ω∩KerL,QNx≠0而且deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0,

引理3[8]設(shè)g:Z→R為ω-周期序列,即g(k+ω)=g(k),則對任意固定的k1,k2∈Iω及k∈Z,有：

設(shè)u=u(k)∈X是系統(tǒng)(6)的對應(yīng)于某個λ∈(0,1)的解,將式(6)兩端同時從0到ω-1關(guān)于k求和,得到:

由式(7)和式(8),有

由式(8)有

即

從而由式(9)、式(11)和引理3可得

由式(8)也有

即

從而由式(9)、式(13)和引理3可得

由式(12)和式(14)有

由式(7)有

由此可知

從而由式(9)、式(16)和引理3可得

由式(7)和式(12)也有

注意到定理的條件,有

于是

從而有

由式(17)和式(19)有

顯然,Hi(i=1,2)的選取與λ的選取無關(guān).由定理的已知條件知,代數(shù)方程組

令H=H1+H2+H3,其中,H3>0充分大,使得

令

Ω={u(k)=(u1(k),u2(k))T∈X:‖u‖

則Ω滿足引理1中的條件(a).當(dāng)u∈?Ω∩KerL=?Ω∩R2時,u是R2中的常值向量且‖u‖=H,于是

因?yàn)槭?21)存在唯一的正解,由已知條件直接計(jì)算知

注定理表明: 當(dāng)?shù)谝粋€種群的內(nèi)稟增長率足夠大、第二個種群的種內(nèi)密度制約因素足夠大而內(nèi)稟增長率不大(這表明第二個種群的種群數(shù)量不可能太大,從而其對第一個種群的影響也就有限)時,兩個種群能以周期震蕩的形式共存.

參考文獻(xiàn):

[1]王海娜,陳鳳德,陳婉琳,等. 具有反饋控制的非自治兩種群浮游生物相克系統(tǒng)的持久性和全局吸引性[J]. 沈陽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2013,25(3):173-176.

(WangHaina,ChenFengde,ChenWanlin,etal.PermanenceandGlobalAttractivityofNon-AutonomousAllelopathicPhytoplanktonModelforTwoSpecieswithFeedbackControls[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience, 2013,25(3):173-176.)

[2]林玉花,陳鳳德,王海娜,等. 一類非自治兩種群浮游生物相克模型的持久性和全局吸引性[J]. 沈陽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2012,24(6):7-10.

(LinYuhua,ChenFengde,WangHaina,etal.PermanenceandGlobalAttractivityofaNon-AutonomousTwoSpeciesAllelopathicPhytoplanktonModel[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience, 2012,24(6):7-10.)

[3]陳鳳德,謝向東. 合作種群模型動力學(xué)研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2014.

(ChenFengde,XieXiangdong,StudyontheDynamicBehaviorsofCooperativePopulation[M].Beijing:SciencePress, 2014.)

[4]孫廣才. 兩種群偏害作用模型的定性分析[J]. 佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2003,21(3):283-286.

(SunGuangcai.QualitativeAnalysisonTwoPopulationsAmensalismModel[J].JournalofJiamusiUniversity:NaturalScienceEdition, 2003,21(3):283-286.)

[5]祝占法,陳巧靈. 偏害關(guān)系的Lotka-Volterra模型的數(shù)學(xué)研究[J]. 雞西大學(xué)學(xué)報(bào), 2008,8(5):100-101.

(ZhuZhanfa,ChenQiaoling.MathematicalAnalysisonCommensalismLotaka-VolterraModelofPopulations[J].JournalofJixiUniversity, 2008,8(5):100-101.)

[6]韓榮玉,薛亞龍,楊麗婭,等. 具有偏害關(guān)系的L-V模型周期正解的存在性[J]. 龍巖學(xué)院學(xué)報(bào), 2015(2).

(HanRongyu,XueYalong,YangLiya,etal.GlobalExistenceofPositivePeriodicSolutionofaNonautonomousTwoPopulationsAmensalismModel[J].JournalofLongyanUniversity, 2015(2).)

[7]GainesRE,MawhinJL.CoincidenceDegreeandNonlinearDifferentialEquations[M].Berlin:Springer-Verlag,1977:40.

[8]FanM,WangK.PeriodicSolutionsofaDiscreteTimeNonautonomousRatio-DependentPredator-PreySystem[J].MathematicalandComputersModelling, 2002,35(9/10):951-961.

【責(zé)任編輯:李艷】

ExistenceofPositivePeriodicSolutionofaDiscreteLotka-VolterraAmensalismModel

Chen Fengde, Zhang Maoshi, Han Rongyu

(CollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou350116,China)

Abstract:A non-autonomous discrete Lotka-Volterra amensalism model is studied. By using a theorem of coincidence degree, a set of sufficient conditions which guarantee the global existence of positive periodic solutions of the system is obtained.

Key words:amensalism model; coincidence degree; positive periodic solution

作者簡介:陳鳳德(1974-),男,福建屏南人,福州大學(xué)教授.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201075,11361068);福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013J01011).

收稿日期:2015-01-20

文章編號:2095-5456(2015)03-0251-04

中圖分類號:O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A