李艷艷,王東政

(1.文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南文山　663000;2.大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院,遼寧大連　116024)

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嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣最小特征值的新界

李艷艷1,王東政2

(1.文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南文山663000;2.大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院,遼寧大連116024)

摘要:利用嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣A的逆矩陣A-1非主對角元素的估計(jì)式,首先給出了A-1的主對角元素的上下界,然后利用這個新界得到了最小特征值τ(A)的新估計(jì)式.理論證明和數(shù)值算例都說明新的估計(jì)式改進(jìn)了李朝遷2013年給出的結(jié)果.

關(guān)鍵詞:嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣; M-矩陣; 最小特征值; 估計(jì)式;界

首先給出一些定義與記號:

M-矩陣A分裂為A=D-C(D=diag(a11,a22,…,ann)),稱JA=D-1C為A的迭代矩陣;

引理1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則

引理2[2]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則

引理3[2]設(shè)M=(βij)是非奇異的M-矩陣,N=(γij)是與M具有相同階數(shù)的非負(fù)矩陣,N=M-A,則M-1N=JA,且滿足如下不等式:

引理4[3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則A-1=(αij)存在,且

引理5[3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則?i,j∈N,j≠i,t=0,1,2,…,如下兩式成立:

1　主要結(jié)果

下面首先利用行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣非主對角元素的估計(jì)式,給出主對角元素的上下界,然后給出最小特征值τ(A)的一些改進(jìn)的下界.

定理1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則A-1=(αij)存在,且

證明由引理4知,對任意的i∈N,t=1,2,…,有

定理3設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則

將上式代入引理2,有

采用與定理3同樣的方法可得如下定理.

定理4設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則

式中,}.

從而

即

因此,式(6)提高了式(5),即定理4優(yōu)于定理3.

推論設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則

注3:由定理2知,當(dāng)t=0,1,2,…時(shí),式(5)～式(8)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的且以τ(A)為上界,因而該序列是收斂的.

如下定理利用了不等式證明的綜合法[4],證明定理4提高了引理1.

定理5設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則

τ(A)≥

即

因?yàn)樽?已經(jīng)證明了

所以結(jié)合這兩方面知結(jié)論成立.

則

即推論中的式(7)、式(8)也提高了引理1.

2　數(shù)值算例

設(shè)

容易驗(yàn)證A是非奇異的M-矩陣,應(yīng)用式(1)知τ(A)≥0.00688007.

應(yīng)用本文的估計(jì)式知,當(dāng)?shù)螖?shù)t增大時(shí),會得到逐步遞增的下界.如表1所示.

表1　應(yīng)用估計(jì)式得到的下界

該算例進(jìn)一步說明了本文估計(jì)式的有效性和可行性,并且這些新的估計(jì)式確實(shí)提高了文獻(xiàn)[1]中的相應(yīng)結(jié)果,故本文所得結(jié)論是對相關(guān)文獻(xiàn)的一個有益補(bǔ)充.

參考文獻(xiàn):

[1]LiChaoqian,LiYaotang,ZhaoRuijuan.NewInequalitiesfortheMinimumEigenvalueofM-Matrices[J].LinearandMultilinearAlgebra, 2013,61(9):1267-1279.

[2]TianGuixian,HuangTingzhu.InequalitiesfortheMinimumEigenvalueofM-Matrices[J].ElectronicJournalofLinearAlgebra, 2010,20(3):291-302.

[3]趙建興.M-矩陣(張量)最小特征值估計(jì)及其相關(guān)問題研究[D]. 昆明:云南大學(xué), 2014:8-14.

(ZhaoJianxing.EstimationofMinimumEigenvalueofM-Matrix(tensor)anditsRelatedResearches[D].Kunming:YunnanUniversity, 2014:8-14.)

[4]王躍華,王潔英. 關(guān)于不等式幾種常見證明方法的探究[J]. 沈陽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2013,25(5):428-430.

【責(zé)任編輯:李艷】

(WangYuehua,WangJieying.SeveralCommonMethodsofProofofInequality[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience, 2013,25(5):428-430.)

NewBoundsofMinimumEigenvalueofStrictlyDiagonallyDominantM-Matrix

Li Yanyan1,WangDongzheng2

(1.SchoolofMathematics,WenshanUniversity,Wenshan663000,China; 2.FacultyofElectronicInformationandElectricalEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

Abstract:Using the estimators of the non-diagonally elements of strictly diagonally dominant M-matrix, the upper and lower bounds of the elements of the principal diagonal are given; secondly; using the new bounds, the new estimators of the minimum eigenvalue τ(A) are obtained. Theoretical proof shows new estimators improve the results given by Li Chaoqian in 2013, and numerical examples are presented to further verify the results.

Key words:strictly diagonally dominant matrix; M-matrix; minimum eigenvalue; estimator; bound

作者簡介:李艷艷(1982-),女,甘肅慶陽人,文山學(xué)院講師,碩士.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361074);云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(2013Y585);文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)資助項(xiàng)目(No.12WSXK01).

收稿日期:2014-11-30

文章編號:2095-5456(2015)03-0255-04

中圖分類號:O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A