韓一士

摘要：

非緊完備Einstein流形上“面積”與“體積”的單調(diào)性一直是一個(gè)非常有意義的問題。在本文中我們將先給出在非負(fù)的Ricci曲率上的三個(gè)單調(diào)性公式，并說明它們和向切錐收斂的速率有關(guān)。進(jìn)一步的，我們將證明當(dāng)Ricci曲率大于負(fù)常數(shù)時(shí)相應(yīng)的單調(diào)性公式。

關(guān)鍵詞：Einstein流形; “面積”; “體積”; 單調(diào)性

一、概述和定義

在本文中Mn是一個(gè)完備的n維光滑流形，其中n≥3。在本文中我們主要考慮M具有非負(fù)Ricci曲率的情況，我們將給出在這種情況下M上的三個(gè)單調(diào)性公式。之后我們將更近一步，將對(duì)Ricci曲率大于負(fù)常數(shù)的情況進(jìn)行討論，并得出此時(shí)的單調(diào)性公式。

下面我們先給出幾個(gè)定義。

定義G為流形M上的Green函數(shù);給定x∈M且集合G=Gx=G（x，g）。記G=Gx是極點(diǎn)x在的Green函數(shù)。接下來我們定義b=

G，由此我們可以顯然地推出。

下面我們來定義n維完備光滑流形Mn上的“面積”與“體積”。

事實(shí)上A和V可以直觀的理解為“面積”和“體積”，并由此易知A和V是有界的。

二、三個(gè)單調(diào)性公式

下面我們將給出非緊完備Einstein流形上“面積”與“體積”的三個(gè)單調(diào)性公式

定理1.第一單調(diào)性公式

以上是一般n維光滑流形Mn上的結(jié)果。

特別的，對(duì)具有非負(fù)Ricci曲率的流形，我們得到以下結(jié)果。

推論1.如果M是一個(gè)具有非負(fù)Ricci曲率的n維流形，那么，對(duì)所有的r>0，

一個(gè)自然的問題是改不等式能否取到等號(hào)。事實(shí)上，如果對(duì)某個(gè)r>0，不等式取等號(hào)，那么集合{x：b（x）≤r}與歐式空間Rn中半徑r的球等距。

注意到上面推論中的不等式與擁有非負(fù)Ricci曲率的流形上的Bishop-Gromov體積比較定理相反。從中可以得到如下事實(shí)，上述不等式和歐氏幾何中的體積有著緊密聯(lián)系。同樣，我們得到以下結(jié)果。

推論2，如果M是一個(gè)具有非負(fù)Ricci曲率的n維流形，且r2>r1>0，則

且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)集合{x：b（x）≤r}與歐式空間Rn中半徑r2的球等距。

下面給出第二單調(diào)性公式

定理2.第二單調(diào)性公式

這等價(jià)于

類似于之前的情況，我們對(duì)具有非負(fù)Ricci曲率的流形從第二單調(diào)性公式得到如下直接的推論。

推論3.如果M是一個(gè)具有非負(fù)Ricci曲率的n維流形，且r2>r1>0，則

其中

上述不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)集合{x：b（x）≤r}與歐式空間Rn中半徑r2的球等距。

定理3.第三單調(diào)性公式

對(duì)r2>r1>0，

三、當(dāng)曲率大于負(fù)常數(shù)的單調(diào)性公式

上面我們集中于對(duì)M具有非負(fù)Ricci曲率的情況進(jìn)行討論，然后給出了在這種情況下M上的三個(gè)單調(diào)性公式。事實(shí)上，在Ricci曲率大于負(fù)常數(shù)的情況下，我們也可以得到類似的結(jié)果。下面我們對(duì)這種情況進(jìn)行推廣。

推論4.若Ricci曲率滿足Ric≥-Λg，則

證明：顯然我們有

同時(shí)我們注意到

這說明

所以我們有

我們可以從中得到下面關(guān)于單調(diào)性的直接推論。

推論5.如果M是一個(gè)n維流形且Ric≥-Λg，r2>r1>0，則

接下來我們定義

則

推論6.如果Ricci曲率滿足Ric≥-Λg，則

證明：

這說明

又由

所以我們得到結(jié)論若Ricci曲率滿足Ric≥-Λg，則

下面是一個(gè)直接的推論

推論7：

[參考文獻(xiàn)]

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（作者單位：浙江警察學(xué)院，浙江 杭州 310053）endprint