黃小脈 鄒循東

摘要：運(yùn)算在整個(gè)高中學(xué)習(xí)中有重要作用。文章從主線結(jié)構(gòu)、內(nèi)容安排、運(yùn)算核心等角度進(jìn)行了分析，認(rèn)為在運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)該注重強(qiáng)化重點(diǎn)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法、講清算理、加強(qiáng)變式訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣和增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算的自信心。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；運(yùn)算主線；分析及建議

中圖分類號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）36-0243-02

運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種手段，同時(shí)也是一種重要的數(shù)學(xué)能力。從小學(xué)階段到高中，運(yùn)算的載體不斷增加。在高中，運(yùn)算則拓展到集合、初等函數(shù)、三角函數(shù)、向量等。尤其是向量運(yùn)算的擴(kuò)充，使運(yùn)算進(jìn)入到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。總之，運(yùn)算始終貫穿于數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)之中。

一、對(duì)高中運(yùn)算主線的認(rèn)識(shí)

高中運(yùn)算是數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要體現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)高中數(shù)學(xué)運(yùn)算部分的內(nèi)容做出明確的要求。從必修模塊的集合、基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等，到選修模塊里的向量、解析幾何與導(dǎo)數(shù)的有機(jī)結(jié)合，對(duì)運(yùn)算能力的要求越來(lái)越高，尤其是運(yùn)算在幾何問(wèn)題里的應(yīng)用越來(lái)越多。在以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，還會(huì)涉及到矩陣、線性變換等運(yùn)算，所以高中運(yùn)算的學(xué)習(xí)為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)運(yùn)算、體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。

二、高中運(yùn)算內(nèi)容的分析

高中運(yùn)算的主要內(nèi)容，除了使用初中的多項(xiàng)式運(yùn)算和數(shù)的運(yùn)算之外，我們又引入了一些新的運(yùn)算對(duì)象。以下將從知識(shí)結(jié)構(gòu)、內(nèi)容設(shè)計(jì)、運(yùn)算核心、初高中運(yùn)算知識(shí)比較等角度進(jìn)行分析。

（一）高中運(yùn)算主線結(jié)構(gòu)圖

（二）高中運(yùn)算內(nèi)容的設(shè)計(jì)

在高中數(shù)學(xué)課程中，運(yùn)算的內(nèi)容主要安排在以下位置：必修模塊一中基本初等函數(shù)；必修四中的三角函數(shù)與三角恒等變換運(yùn)算；必修二模塊中空間幾何的體積面積、直線與圓的方程；必修模塊五中解三角形、數(shù)列與不等式；必修4和選修2-1中安排了平面向量、空間向量與立體幾何；選修2-1中還安排了圓錐曲線與方程；在選修1-2和選修2-2中安排了數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的運(yùn)算；在選修1、選修2中安排了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。

（三）運(yùn)算主線的核心內(nèi)容分析

從高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中來(lái)看，運(yùn)算是一個(gè)很重要的核心問(wèn)題。從人教版高中數(shù)學(xué)必修和選修模塊梳理出運(yùn)算主線的核心，主要包括以下幾個(gè)方面。

1.函數(shù)運(yùn)算。高中的函數(shù)運(yùn)算主要是函數(shù)的單調(diào)性、待定系數(shù)法、求函數(shù)的解析式、求函數(shù)的定義域、值域、最值等問(wèn)題。這些問(wèn)題需要利用等價(jià)變形、因式分解、消元的思想、配方法和整體代換的思想等。

2.數(shù)列運(yùn)算。方程思想貫穿著數(shù)列這一整塊內(nèi)容。等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式中的一個(gè)變量都是一個(gè)方程。在等比數(shù)列當(dāng)中常利用整體的思想、平方差公式和立方差公式，將高次方程轉(zhuǎn)化成低次方程，求數(shù)列最值的問(wèn)題同樣要用到了配方法和基本不等式的性質(zhì)。

3.不等式部分。在數(shù)或式的等比、等差比較中，需要進(jìn)行等價(jià)變形，其中就涉及到用因式分解和配方來(lái)確定符號(hào)問(wèn)題。在二次不等式的求解中，尤其是含參數(shù)的求定義域等，還要求對(duì)這個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論，即分類討論的思想。

4.三角函數(shù)與三角恒等式。高中學(xué)習(xí)六個(gè)一般角的三角函數(shù)，主要是求值問(wèn)題以及三角函數(shù)的周期、振幅、頻率等，還有三角恒等式的證明和應(yīng)用問(wèn)題。這里同樣要利用到整體思想、等價(jià)變換和化歸的思想，還有數(shù)形結(jié)合的思想。

5.立體幾何與解析幾何。空間幾何部分主要涉及到計(jì)算空間幾何體的面積和體積的問(wèn)題，要把立體幾何圖形轉(zhuǎn)化成平面幾何圖形，利用直角三角形的勾股定理來(lái)構(gòu)造方程，進(jìn)而來(lái)求解。

6.向量運(yùn)算。涉及到平面和空間向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)乘等，向量提供了豐富的運(yùn)算內(nèi)涵，如平行、垂直、夾角、距離等，都可以通過(guò)運(yùn)算得到相應(yīng)的解釋。從數(shù)的運(yùn)算到向量的運(yùn)算，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的又一次質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)更上一層樓。

三、初、高中運(yùn)算主線比較分析

處理好高中的運(yùn)算主線的教學(xué)，需了解初中課標(biāo)對(duì)運(yùn)算的要求和內(nèi)容的安排情況。從人教版初中新教材和高中教材在運(yùn)算內(nèi)容方面進(jìn)行比較，主要有以下一些不同。

1.數(shù)與式的運(yùn)算。初中的數(shù)與式的運(yùn)算主要有有理數(shù)、絕對(duì)值、乘法公式、因式分解、二式根式的運(yùn)算。其中有理數(shù)混合運(yùn)算以三步為主：絕對(duì)值強(qiáng)調(diào)借助數(shù)軸理解其意義，乘法公式只有平方差、完全平方公式，因式分解只要求掌握提公因式和公式法。對(duì)于二次根式則要求學(xué)生會(huì)對(duì)被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算。

高中的有理數(shù)運(yùn)算一般都是三步以上，多項(xiàng)式重點(diǎn)在二項(xiàng)式定理的運(yùn)算，絕對(duì)值里含有字母，常要分類討論。高中增加了立方和與立方差的公式，因式分解方法則提升到十字相乘法和分組分解法。高中的二式根式的被開(kāi)方數(shù)常含字母，需要討論。

2.方程與不等式。初中只要求學(xué)生認(rèn)識(shí)方程、解方程和方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，三元一次方程則只作為需了解的知識(shí)，方程的系數(shù)不含字母。高中里對(duì)方程的要求更高，比如方程里含字母系數(shù)的方程要進(jìn)行討論、根與系數(shù)的關(guān)系、解三元一次方程組、無(wú)理方程、二元二次方程組等在高中都有涉及到。高中的一元二次不等式要求結(jié)合圖形和分類討論進(jìn)行求解。

3.函數(shù)運(yùn)算。初中涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這三類，要求會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，主要是通過(guò)轉(zhuǎn)化成二元一次方程組進(jìn)行求解。高中的函數(shù)還設(shè)計(jì)到求函數(shù)的定義域、值域、最值等問(wèn)題，所用到的方法有配方法、換元法、因式分解法化簡(jiǎn)等。

4.三角函數(shù)運(yùn)算。三角函數(shù)，初中是在直角三角形中定義了三個(gè)銳角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切），而高中是在單位圓中定義了六個(gè)任意角的三角函數(shù)，還涉及到重要的三角公式以及三角恒等式的證明和應(yīng)用方面的知識(shí)，是高中運(yùn)算的一個(gè)重要內(nèi)容。

5.高中新的運(yùn)算載體。高中新學(xué)的運(yùn)算有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、數(shù)列、向量、導(dǎo)數(shù)、解析幾何與立體幾何等。

四、運(yùn)算在教學(xué)中的建議

綜合上面的高中運(yùn)算主線的分析，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要針對(duì)運(yùn)算內(nèi)容的特點(diǎn)和課標(biāo)要求，合理補(bǔ)充相應(yīng)的知識(shí)和思想方法，才能有效提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

1.注重強(qiáng)化重點(diǎn)內(nèi)容和重要的數(shù)學(xué)思想方法。高中運(yùn)算里涉及到解方程、配方法、因式分解、不等式、方程的思想、消元思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、整體思想、代換思想、分類討論思想等重要的知識(shí)和思想方法，在教學(xué)中要強(qiáng)化這些內(nèi)容。如待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、列方程、解方程組等問(wèn)題，如何把三元轉(zhuǎn)化成二元，再進(jìn)行消元思想把二成轉(zhuǎn)化成一元，這要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)消元思想的理解；在數(shù)列部分，為學(xué)生強(qiáng)調(diào)整體代換的思想；在空間幾何部分，繼續(xù)讓學(xué)生感覺(jué)到方程、方程的思想和解方程的能力在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位。另外，立方和、立方差公式，再比如因式分解中十字相乘法和分組分解法等，這部分內(nèi)容要有意識(shí)地突出和強(qiáng)化。

2.強(qiáng)化變式訓(xùn)練，做到量變到質(zhì)變的提升。對(duì)于運(yùn)算，需要做一定量的練習(xí)這是不爭(zhēng)的事實(shí)，同時(shí)需要做變式訓(xùn)練。在變式訓(xùn)練中，讓學(xué)生抓住根本的東西，通過(guò)變式強(qiáng)化問(wèn)題的本質(zhì)，特別是對(duì)一些基本運(yùn)算的難點(diǎn)要把握，有針對(duì)性的變式訓(xùn)練可以做到這一點(diǎn)。

3.注意運(yùn)算算理的正確引導(dǎo)。在運(yùn)算教學(xué)中，講請(qǐng)運(yùn)算的算理十分重要，在掌握一個(gè)新的運(yùn)算法則的時(shí)候，沒(méi)有弄清算理很可能一開(kāi)始就出問(wèn)題，那么往后運(yùn)算的正確率很難得到提升。比如說(shuō)關(guān)于符號(hào)的運(yùn)算常常容易出問(wèn)題。在數(shù)學(xué)運(yùn)算里面，減號(hào)有兩種不同的含義，反映在乘法和減法上，需要轉(zhuǎn)化它的含義。在開(kāi)始，對(duì)它的算理要有一個(gè)正確的引導(dǎo)，可以避免因算理不清而出錯(cuò)。

4.培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和提高其自信心。對(duì)于運(yùn)算，只靠大量的強(qiáng)度來(lái)做題是不夠的，還需要有思維的訓(xùn)練，不能做了一遍又錯(cuò)，做了一遍還錯(cuò)，這樣有可能會(huì)養(yǎng)成一些很不好的習(xí)慣。這里強(qiáng)調(diào)運(yùn)算過(guò)程中要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，比如細(xì)心、書(shū)寫(xiě)各式的規(guī)范性、檢查的習(xí)慣等。另外還要培養(yǎng)學(xué)生自信的能力，每一步要做得踏實(shí)，開(kāi)始可以慢一點(diǎn)，要自信，慢慢的自信心就會(huì)越來(lái)越強(qiáng)。

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