邢春峰　袁安鋒　綦春霞

摘要：對(duì)幾組不定積題目分進(jìn)行分析、歸納，給出求某些不定積分計(jì)算的一些技巧。

關(guān)鍵詞：不定積分；積分方法；技巧

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）13-0283-02

不定積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)定積分和多元函數(shù)積分學(xué)的基礎(chǔ)。不定積分的計(jì)算具有一定的靈活性，要學(xué)好這部分內(nèi)容，必須熟悉基本積分公式、基本運(yùn)算性質(zhì)、基本積分方法、一定的解題策略，并能對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或三角的恒等變形，或?qū)Ρ环e表達(dá)式進(jìn)行湊微分、變量置換等的變形。當(dāng)然，有些積分題目的方法也不是一成不變的，關(guān)鍵還是要注意分析題目的形式，平時(shí)大膽試用各種解題方法。下面通過(guò)幾組類似積分的比較來(lái)看一看積分計(jì)算中的解題方法的靈活性和技巧性.

例1 求不定積分（1） tanxdx；（2） tan2xdx；（3） tan3xdx；（4） tan4xdx。

解 （1） tanxdx= dx=- d（cosx）=-ln|cosx|+C；（用湊微分法）

（2） tan2xdx= （sec2x-1）dx=tanx-x+C；（三角恒等變形后積分）

（3） tan3xdx= tanx（sec2x-1）dx= tanxd（tanx）- tanxdx= tan2x+ln|cosx|+C；（三角恒等變形后積分）

（4） tan4xdx= tan2x（sec2x-1）dx= tan2xd（tanx）- tan2xdx= tan3x-tanx+x+C。（三角恒等變形后積分）

例2 求不定積分（1） secxdx；（2） sec2xdx；

（3） sec3xdx；（4） sec4xdx。

解 （1） secxdx= dx=

d（secx+tanx） ln|secx+tanx|+C；（用湊微分法）

（2） sec2xdx=tanx+C；（應(yīng)用積分公式）

（3） sec3xdx= secxd（tanx）=secxtanx- tanxd（secx）=secxtanx- secxtan2xdx=secxtanx- sec3xdx+ secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|- sec3xdx，

所以 sec3xdx= secxtan+ ln|secx+tanx|+C；（用分部積分法）

（4） sec4xdx= sec2xd（tanx）= （1+tan2x）d（tanx）=tanx+ tan3x+C。（用湊微分法）

例3 求不定積分（1） lnxdx；（2） xlnxdx；（3） dx；（4） dx。

解 （1） lnxdx=xlnx- xd（lnx）=xlnx-x+C；（用分部積分法）

（2） xlnxdx= lnxd（x2）= x2lnx- x2d（lnx）= x2lnx- xdx= x2lnx- x2+C；（用分部積分法）

（3） dx= lnxd（lnx）= ln2x+C；（用湊微分法）

（4） dx= d（lnx）=ln|lnx|+C。（用湊微分法）

例4 求不定積分（1） （1+2x）10dx；（2） x（1+2x）10dx；（3） x（1+x2）10dx。

解 （1） （1+2x）10dx= （1+2x）10d（1+2x）= （1+2x）11+C；（用湊微分法）

（2） x（1+2x）10dx1+2x=t （t-1）t10 dt= （t11-t10）dt= t12- t11+C= （1+2x）12- （1+2x）t11+C；（用第二類換元積分法）

（3） x（1+x2）10dx= （1+x2）10d（1+x2）= （1+x2）11+C。（用湊微分法）

例5 求不定積分（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

解 （1） dx x=2tant= 2sec2tdt= sectdt=ln|sect+tant|+C=ln| +x|+C；（用第二類換元積分法）

（2） dx= d（x2+4）+ +C；（用湊微分法）

（3） dx x=2sect 2secttantdt= sectdt=ln|sect+tant|+C=ln| +x|+C；（用第二類換元積分法）

（4） dx= d（x2-4）= +C。（用湊微分法）

大家也可以嘗試著做下面幾組求不定積分的題目：

1.（1） sinxdx；（2） sin2xdx；（3） sin3xdx；（4） sin4xdx。

2.（1） cosxdx；（2） cos2xdx；（3） cos3xdx；（4） cos4xdx。

3.（1） cotxdx；（2） cot2xdx；（3） cot3xdx；（4） cot4xdx。

4.（1） cscxdx；（2） csc2xdx；（3） csc3xdx；（4） csc4xdx。

5.（1） exdx；（2） xexdx；（3） x2exdx；（4） xe dx。

6.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

7.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

8.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） x dx。

通過(guò)上面每道例題中幾個(gè)不同形式積分的比較可以看出，被積函數(shù)稍微變化一點(diǎn)，積分方法可能就完全不一樣，因此，在學(xué)習(xí)不定積分計(jì)算時(shí)，一定要注意比較，這樣才能很順利地掌握各種積分方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]馮偉杰，魏光美，李美生，吳紀(jì)桃.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教材[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[3]王景克.高等數(shù)學(xué)解題方法與技巧[M].北京：中國(guó)林業(yè)出版社，2001.endprint