達乾龍，劉成龍，何林烜，楊雪峰

(西南交通大學地球科學與環(huán)境工程學院，四川成都611756)

一、引 言

在高程控制測量中，常用的測量方法有水準測量和三角高程測量。水準測量具有操作簡單、測量精度高等優(yōu)點，但視距短、測量效率低，且易受到地形的限制，適用于開闊平坦地區(qū)的高程控制網(wǎng)測量［1］。三角高程測量相較于水準測量具有測量效率高、不受地形起伏限制、單站測距長，以及跨越江河、峽谷水準測量無法到達的目標點等優(yōu)點，已經(jīng)廣泛應用于工程測量和大地測量中。

三角高程測量中的原始觀測值是全站儀中心到棱鏡中心的斜距和天頂距，其觀測質(zhì)量直接影響到三角高程網(wǎng)的可靠程度。三角高程測量精度主要受大氣折光和地球曲率［2］的影響，為消除和減弱它們對測量結(jié)果的影響，需要進行往返測量，在精密工程測量中常采用同時對向觀測［3］的三角高程測量方法。在對三角高程網(wǎng)平差計算時，傳統(tǒng)的做法是根據(jù)原始觀測值計算測站點到目標點的三角高差和水平距離，以三角高差為觀測值，以水平距離的倒數(shù)定權進行間接平差［4］?？梢钥闯觯瑐鹘y(tǒng)的三角高程網(wǎng)平差方法和水準測量平差方法類似，即利用測段的三角高差和測段長度進行平差計算。這種平差方法簡單易于理解，但在理論上是有缺陷的，因為斜距和天頂距才是三角高程測量的原始觀測值，而三角高差是通過斜距和天頂距計算得到的，根據(jù)間接平差原理，應該對原始觀測值開列誤差方程并進行后續(xù)的平差計算和精度評定。因此，本文針對傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差存在的問題，提出了三角高程網(wǎng)嚴密平差的全新方法，新平差方法的誤差方程以觀測的斜距和天頂距作為觀測值，以控制點的高程作為未知參數(shù)，得到線性化的誤差方程，然后進行后續(xù)的平差計算。

新平差方法不僅可以計算控制點的高程平差值和高程中誤差，還可以計算斜距和天頂距的改正數(shù)及其中誤差。

二、斜距和天頂距的誤差方程式開列及權的確定

圖1為三角高程測量原理［5］示意圖，A、B為地面上的兩個高程控制點，在A點架設全站儀，在B點設置覘標，測得斜距SAB和天頂距aAB，同時測得儀器高iA和覘標高jB，則A、B間的高差hAB的計算公式為

根據(jù)三角高程測量的原理，本文提出的三角高程網(wǎng)嚴密平差的全新方法以控制點高程作為未知參數(shù)，將天頂距、斜距作為觀測值開列誤差方程，以儀器標稱精度定權，然后再利用最小二乘原理進行平差計算。由于三角高程測量的觀測值中包含天頂距和斜距兩種類型，因此構(gòu)建誤差方程的思路為:首先將天頂距視為真值，將斜距作為觀測值開列斜距的誤差方程;然后再將斜距視為真值，將天頂距作為觀測值開列天頂距的誤差方程。對建立的兩類觀測值誤差方程再進行聯(lián)合平差，就可以得到控制點的高程平差值及其中誤差、觀測值斜距和天頂距的改正數(shù)及其中誤差。

圖1 三角高程測量原理

1.斜距誤差方程開列

斜距誤差方程開列的思想是:以控制點高程作為未知參數(shù)，將天頂距視為真值，把斜距作為觀測值建立斜距的誤差方程。由式(1)可知

式(5)中方程右端項分母不再趨近于0，其病態(tài)問題得到了解決，將式(5)寫為誤差方程的形式

式(7)即為將天頂距視為真值、斜距為觀測值時的斜距誤差方程。

2.天頂距誤差方程開列

天頂距誤差方程開列的思想是:以控制點高程作為未知參數(shù)，將斜距視為真值，把天頂距作為觀測值建立天頂距的誤差方程。由式(1)知

常數(shù)ρ=206 265，式(9)即為將斜距視為真值、天頂距作為觀測值時的天頂距誤差方程。式(7)和式(9)共同組成三角高程網(wǎng)嚴密平差全新方法的誤差方程。

3.觀測值權的確定

新方法中觀測值的權采用驗前估計法［7］確定，即根據(jù)儀器的標稱精度定權。設天頂距測量中誤差為ma，ma常取值為方向觀測中誤差的倍，其權為Pa;斜距測量中誤差為mS，其權為PS。σ0為單位權中誤差，令 σ0=ma，則觀測值 aAB和 SAB的權［8］分別為

式中，斜距中誤差mS按全站儀測距標稱精度計算，即 mS=a+b×S 或和 b分別為全站儀測距的固定和比例誤差。

三、平差及其精度評定

根據(jù)式(7)和式(9)可得到三角高程網(wǎng)嚴密平差全新方法誤差方程［4］的矩陣形式為

采用以上定權方式可得觀測值權矩陣為P，按最小二乘原理可解算出未知參數(shù)改正數(shù)向量為

將式(12)的結(jié)果代入式(11)求出V，再按下式可求出平差后觀測值單位權中誤差為

式中，n為觀測值個數(shù);t為必要觀測值個數(shù)，即三角高程中未知高程點的個數(shù)。根據(jù)間接平差原理和協(xié)因數(shù)傳播定律可得，未知參數(shù)協(xié)因數(shù)矩陣為Q^X=(BTPB)－1，觀測值改正數(shù)的協(xié)因數(shù)矩陣為QVV=QB(BTPB)－1BT，其中Q=1/P。則控制點的高程中誤差和觀測值改正數(shù)(斜距、天頂距)的中誤差計算公式分別為

四、試驗驗證與分析

為驗證三角高程網(wǎng)平差新方法的正確性和合理性，本文進行了測量與平差計算試驗。

1.試驗概況及平差計算

在三角高程控制網(wǎng)建立過程中，為驗證該平差方法對地形起伏較大和地形平坦的控制網(wǎng)是否均適用，建立了如圖2所示的控制網(wǎng)。網(wǎng)中各邊邊長均已標于圖中，其中A點與其他點的高差約為5～6 m，B、C、D、E點間高差約為0～2 m。對該網(wǎng)分別進行了三角高程測量和水準測量，三角高程測量中采用徠卡TCRA 1201全站儀(標稱精度:方向測量中誤差為1″，測距中誤差為1 mm+1×10－6D)進行對向觀測，在每一控制點上架設儀器，測量該點到其余4個點的天頂距和斜距，同時量取儀器高和棱鏡高;水準測量中采用的水準儀是天寶DiNi03，按國家二等水準測量的技術要求進行。

圖2 試驗網(wǎng)網(wǎng)形示意圖(邊長單位:m)

取得合格的三角高程網(wǎng)測量及水準測量的外業(yè)數(shù)據(jù)后，分別采用傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差方法、本文提出的三角高程網(wǎng)平差新方法及水準測量平差方法進行平差。平差時，以控制點D點為基準高程點，高程值為 50.000 m，A、B、C、E 為未知高程點。采用全新的三角高程網(wǎng)嚴密平差方法進行平差，得到控制點高程及其中誤差，觀測值改正數(shù)及其中誤差。其中表1給出了新方法平差后部分觀測值的改正數(shù)及中誤差。采用傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差方法進行平差，得到控制點高程平差值及其中誤差、控制點間高差改正數(shù)及其中誤差。采用水準測量方法平差，得到控制點高程平差值及其中誤差、控制點間高差改正數(shù)及其中誤差。

表1 新方法平差觀測值的改正數(shù)及中誤差

2.平差結(jié)果的對比與分析

(1)3種平差結(jié)果對比與分析

對于該高程控制網(wǎng)采用3種平差方法得到同一個高程點的3種高程平差值，表2給出了不同方法的高程平差結(jié)果和相互間的高程較差。

表2 不同方法的高程平差結(jié)果和同名點高程較差

從表2可以看出，對三角高程網(wǎng)采用全新平差方法與傳統(tǒng)平差方法得到的同一點高程平差值進行比較，最大差值為0.2 mm，說明新方法能得到正確的高程平差值，滿足內(nèi)符合精度;另外，兩種三角高網(wǎng)平差與水準測量平差得到的同名控制點高程較差在1 mm左右，滿足外符合精度。存在差異主要是由儀器高和目標高的量取誤差所造成的，若采用強制對中裝置，則可避免這兩種量取誤差，使得三角高程網(wǎng)平差結(jié)果與水準測量平差結(jié)果差異更小。

(2)利用觀測值平差值計算控制網(wǎng)高程閉合差

采用全新的三角高程網(wǎng)平差能夠得到觀測值(斜距和天頂距)的平差值，為驗證觀測值平差結(jié)果是否合理，利用觀測值平差值反算了各控制點間的高差，組成了多個高程網(wǎng)閉合環(huán)，并統(tǒng)計平差前后高程網(wǎng)的高差環(huán)閉合差，部分高程網(wǎng)高差環(huán)閉合差見表3。

表3 高程網(wǎng)高差環(huán)閉合差 mm

通過表3平差前后高差環(huán)閉合差的對比可看出，平差前各環(huán)閉合差的絕對值在0.10～1.00 mm范圍內(nèi)，平差后各環(huán)閉合差的絕對值均小于0.05 mm，可見平差后較平差前小了一個數(shù)量級。理論上平差后各高差環(huán)閉合差應該為零，本次試驗中仍有小于0.05 mm的閉合差，主要是由于平差過程中的近似和計算取整誤差造成的。

通過表2和表3的試驗結(jié)果及其比較，可以證明本文提出的三角高程網(wǎng)嚴密平差新方法的平差結(jié)果是正確和可靠的。

五、結(jié) 論

1)通過全新三角高程網(wǎng)平差和傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差結(jié)果的比較，可發(fā)現(xiàn)兩種方法的高程平差值很接近，說明本文提出的三角高程網(wǎng)平差新方法能得到正確的高程值及其中誤差。

2)采用全新三角高程網(wǎng)平差方法可以對觀測值進行精度評定，可以直觀地反映外業(yè)觀測質(zhì)量的好壞，這對于測量人員來說是非常重要的，方便觀測值質(zhì)量的檢查或補測超限的觀測值。

3)本文研究結(jié)果表明，三角高程網(wǎng)嚴密平差的全新方法比傳統(tǒng)的三角高程網(wǎng)平差方法更為嚴謹和合理。

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