摘 ? ?要：運籌學(xué)中的線性規(guī)劃應(yīng)用日廣。文章從高職院校線性規(guī)劃教材與教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，提出了改進(jìn)線性規(guī)劃單純形法教學(xué)的新策略。

關(guān)鍵詞：高職院校;線性規(guī)劃;單純形法

中圖分類號：G642.0 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ?文章編號：1002-4107（2015）12-0030-02

運籌學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，是研究如何將生產(chǎn)生活、軍事管理等事件中出現(xiàn)的一些問題加以提煉，然后利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決的學(xué)科。主要是利用高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)知識來解決問題，使成本最小化和利潤最大化。是高等院校中經(jīng)濟和管理系學(xué)生的必修課。線性規(guī)劃是運籌學(xué)的一個重要分支。1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了解線性規(guī)劃問題的一種有效方法——單純形法，線性規(guī)劃在理論上日益成熟，在實際應(yīng)用中更加廣泛與深入。特別是在計算機能解決成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更加廣泛。從解決一些技術(shù)問題的最優(yōu)化設(shè)計，到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運輸業(yè)、軍事、經(jīng)濟計劃和管理決策等領(lǐng)域都可以發(fā)揮重要作用。

線性規(guī)劃應(yīng)用日益廣泛。高職高專職業(yè)院校的許多專業(yè)都將這一運籌學(xué)基本內(nèi)容納入教學(xué)計劃?？墒蔷€性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)方法，涉及高維空間。這些專業(yè)的本科生、大專生，即便學(xué)過線性代數(shù)，往往仍比較生疏，不能靈活運用線性代數(shù)知識領(lǐng)會線性規(guī)劃內(nèi)容。他們覺得線性規(guī)劃理論抽象難懂。部分學(xué)生甚至失去學(xué)習(xí)信心。另一方面，許多教材把線性規(guī)劃安排在線性代數(shù)后面，有作為線性代數(shù)應(yīng)用舉例的用意，若前后教學(xué)設(shè)計呼應(yīng)不好，這一安排也將落空。

筆者等應(yīng)邀為高職高專院校編寫線性規(guī)劃新教材[1]，在教材中如何體現(xiàn)從此類學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)狀出發(fā)？如何形象化地講解線性規(guī)劃原理？如何與他們學(xué)過的線性代數(shù)呼應(yīng)？如何跟著時代步伐，更新教材[2]？——這些問題就提到筆者的面前。

針對高職高專院校學(xué)生的情況，筆者提出“夯實理論基礎(chǔ)，抓好建模、上機兩個實際本領(lǐng)”。在“夯實理論基礎(chǔ)”方面，主要是根據(jù)經(jīng)濟、管理業(yè)務(wù)需要，針對學(xué)生實際的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，加強與他們學(xué)過的線性代數(shù)相關(guān)知識的聯(lián)系，在形象化的講解上下大力氣。改變一些概念的提法，使學(xué)生感到通俗易懂，在追求概念正確的前提下力求內(nèi)容講解形象生動，采用計算機畫圖并結(jié)合動畫演示等手段給學(xué)生以感性認(rèn)識。使線性規(guī)劃的理論部分變得容易接受。在線性規(guī)劃題目的計算方面，減少筆算，增加機算，降低學(xué)生計算的難度，提高計算效率，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。此外，針對線性規(guī)劃教學(xué)和教材中需要注意的一些不確切的表述，筆者提出了一些見解，希望幫助學(xué)生對知識的透徹理解，也可與同行交流。在課后習(xí)題的設(shè)置方面，筆者也作了探討，請參閱文章《編寫線性規(guī)劃習(xí)題的新構(gòu)思》[3]，在教學(xué)中為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，筆者寫了《線性規(guī)劃教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的動手能力》一文，在此均不再贅述[4]。

一、用“自由變量改稱非基變量”的提法，破除“基”的神秘感

目前線性規(guī)劃教材的用語是跟著運籌學(xué)的幾本大部頭著作走的。而權(quán)威著作的用語，一方面受早年開創(chuàng)性論文詞匯的影響，有些術(shù)語今已改譯;另一方面權(quán)威著作比較深奧，假設(shè)讀者對于線性代數(shù)中的相關(guān)基礎(chǔ)理論知識均已熟練掌握。但是實際上職業(yè)院校的運籌學(xué)教材大多只講到線性方程組的求解，往往未將上述基礎(chǔ)理論全部列入大綱，個別概念即便提到，頂多也是草草帶過。這就造成在職業(yè)院校的運籌學(xué)的很多教材中，線性規(guī)劃的許多術(shù)語學(xué)生感到生疏、抽象，或與以前學(xué)過的線性代數(shù)對不上號。

許多線性規(guī)劃教材一開始就另起爐灶，用學(xué)生不熟悉的術(shù)語下“基”的定義，舉例又很簡略。學(xué)生用不上剛學(xué)的線性代數(shù)，以致對“基”的概念懵懂，云遮霧罩，往往全憑死記，也就更談不上理解“換基”等等內(nèi)容。

筆者為避免使職業(yè)院校的學(xué)生感到突兀，從他們熟悉的線性方程組求解知識入手，指出約束方程的增廣矩陣化成行最簡形矩陣后所得同解方程和相應(yīng)的通解，實質(zhì)上就是“用自由變量表達(dá)非自由變量”。按線性規(guī)劃的術(shù)語，稱作“用非基變量表達(dá)基變量”。不過是把“自由變量”改稱“非基變量”;把“非自由變量”改稱“基變量”罷了。再由“基變量”引入“基”的概念，由此破除“基”的神秘感。再利用他們會的通過“行初等變換”，在增廣矩陣系數(shù)矩陣中化出單位陣的知識，講“基”的性質(zhì)等內(nèi)容。這樣，學(xué)生就會很容易理解。

學(xué)生容易知道：寫線性方程組的通解時，最易手到拈來的是“全部自由變量皆取零值的特解”，這個“特解”在線性規(guī)劃里叫作“全部非基變量皆取零值”。并指出這個特解在線性規(guī)劃里更重要，特意命名“基本解”。若“基本解” 還符合非負(fù)條件，就成為“基本可行解” （Basic feasible solution），它與圖解法中至關(guān)重要的可行解域的頂點有對應(yīng)關(guān)系。這樣引入新概念，學(xué)生感到輕松自然。連差生也能順暢地由上章知識過渡到本章的新概念。

二、合理運用多種教學(xué)手段，增強學(xué)生的感性認(rèn)識

因為線性規(guī)劃單純形法比較抽象，許多關(guān)鍵點學(xué)生不容易明白，對一些知識的理解比較模糊，為了使學(xué)生對解法有清晰感性的理解，筆者想到利用二維圖形、對照頂點表及圖象和動畫演示等手段，達(dá)到較好的教學(xué)效果。

（一）用二維圖形顯示“基本可行解”與可行解域頂點的對應(yīng)關(guān)系

因?qū)W時限制，職業(yè)院校的運籌學(xué)教材不作證明，僅介紹“基本可行解”與可行解域頂點的對應(yīng)關(guān)系結(jié)論。很多教材一筆帶過，學(xué)生印象不深。筆者加寫一個二維例圖讓學(xué)生驗看，增添感性認(rèn)識。還把該例的對應(yīng)關(guān)系，包括決策變量與張弛變量的值等，詳細(xì)列出表格，供后面講“換基”時查驗。雖然費些筆墨，因事關(guān)單純形法只到各個頂點搜尋最優(yōu)解的基本思路，還是值得的。

（二）在二維圖上驗看可行解域頂點上確實“全部非基變量等于零”

在以往教學(xué)中，常有學(xué)生對全部非基變量在每個可行解域的頂點都取零值感到疑惑。筆者除了指出代數(shù)上的“基本可行解”與幾何上的可行解域頂點有對應(yīng)關(guān)系外，還從幾何角度在二維圖上說明該例中各個非基變量等于零的幾何意義：在坐標(biāo)軸線上的頂點，它的另一個坐標(biāo)的值為零，其含義為非負(fù)條件;在其他邊線上的頂點，約束方程的張弛變量為零，表明至此已踩該約束條件的邊線。例如二維圖解法中，在表示不等式約束x1+x2≤6的邊線上，由它標(biāo)準(zhǔn)化所得的等式約束x1+x2+x3=6中的張弛變量x3為零。以此幫助學(xué)生接受高維空間也有類似規(guī)律的結(jié)論。

? ?（三）對照頂點表及圖象導(dǎo)出“換基”的感性認(rèn)識

在從代數(shù)學(xué)角度講“換基”的過程中，筆者還讓學(xué)生觀察上述可行解域頂點與“基本可行解”對照表中頂點間各變量值的變化，結(jié)合“非基變量必取零值”，自己總結(jié)得出“換基”的規(guī)律。學(xué)生感到生動明白。

? ?（四）用動畫概括單純形法的思路

在講完單純形法的思路后，筆者放映一個二變量線性規(guī)劃題求最優(yōu)解的動畫，以動態(tài)形象的動畫演示，使學(xué)生直觀地理解單純形法的解題思路，以加深學(xué)生對此解法的印象，鞏固學(xué)習(xí)成果。

? ?三、裁減筆算法的輔助內(nèi)容，開展機算

實際工作中遇到的線性規(guī)劃問題，必然變量很多（往往十個以上）且有效數(shù)字長，計算量太大。很多學(xué)生面對實際問題，憑筆算解不出來，只能望洋興嘆。身處計算機時代，而因襲幾十年前的老教法，只教筆算內(nèi)容，或雖點到某處刊有源程序，卻不上機，這是國內(nèi)經(jīng)濟管理類專業(yè)線性規(guī)劃教學(xué)中相當(dāng)普遍的現(xiàn)狀。為使學(xué)生真正具備解決實際問題的能力，筆者痛感必須掌握一種軟件。有所失才能有所得，為擠出時間上機，必須割舍一些原有內(nèi)容。一般教材在講完單純形法的表上求解后，還要講一種求初始基本可行解的方法，一般是“輔助規(guī)劃法”。筆者考慮這部分與單純形法主干內(nèi)容的關(guān)系相對而言小些，只好割愛。況且實際工作中，用計算機解題，不需要提供初始可行解。即便偶遇簡易筆算場合，由于新講稿中加強了與上章的聯(lián)系，真正看懂新教材的學(xué)生，從引入基變量概念的例題中，也會悟出對增廣矩陣作行初等變換，搜索出一個基本可行解，繪出首張單純形表，供表上疊代求解用。所以刪去這部分內(nèi)容影響不算太大。這樣節(jié)約出利用計算機解題的時間，使學(xué)生利用上機解題，提高學(xué)習(xí)效率。

? ?四、注意語言的準(zhǔn)確性

線性規(guī)劃是運籌學(xué)中最活躍的分支，經(jīng)濟類、管理類專業(yè)學(xué)生及從業(yè)人士普遍學(xué)習(xí)。現(xiàn)在市場銷售的線性規(guī)劃書籍很多，但在教學(xué)和教材中都有一些需要注意的問題。

講課中不能因為強調(diào)形象有趣而忽視科學(xué)性。在職業(yè)院校的運籌學(xué)課堂上，雖無理工科那么多證明，同樣要在關(guān)鍵地方，字斟句酌，錘煉用語。在線性規(guī)劃的教材中就有若干常見的語病。例如個別書說“基的個數(shù)為組合數(shù)Cmn”（其中m為標(biāo)準(zhǔn)化后的約束方程數(shù)，n為變量數(shù)，且R（A）=m ）。這句話就漏掉“至多”二字，因為有的m階方陣的行列式可能為零，因而不能作基。

總之，線性規(guī)劃單純形法是一種較為抽象的數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過改進(jìn)教學(xué)方法，采用上述講法，學(xué)生對該部分的學(xué)習(xí)普遍接受較好。

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