盧聲怡

上一期，孔子和弟子們轉(zhuǎn)個(gè)圈圈就找到了多邊形的外角和規(guī)律。這一期，他們竟然玩起了木棍，這次又要解決什么數(shù)學(xué)難題呢？來(lái)，我們聽(tīng)故事吧！

我揉著惺松的睡眼，走出宿舍，猛然看到一個(gè)身影蹲在前廊旁邊，嚇了我一跳。這人和孔老師一樣，穿著寬袍大袖的衣服，但卻捋起褲管露著兩條大毛腿，沒(méi)有一點(diǎn)兒孔老師的斯文樣?？此脴?shù)葉兜著一大把細(xì)砂，在那兒反復(fù)削磨著手里的圓木棍。

“難道是小偷？”我不由得胡思亂想起來(lái)。我從墻后面找來(lái)塊石頭，把它握在手里當(dāng)兵器，悄悄地繞到前面，跳了出去，正想拿石頭往這“壞蛋”的腦門上招呼，仔細(xì)一看，連忙抓緊差點(diǎn)兒出手的石頭。原來(lái)，蹲在那兒對(duì)木棍又削又磨的，是孔老師！

“孔老師，您在做什么呀？”我好奇地問(wèn)。

“你來(lái)猜一猜，這根黃花梨木的棍子有多長(zhǎng)？”孔老師立起身來(lái)，揮著手里的木棍，笑嘻嘻地問(wèn)我。我發(fā)現(xiàn)木棍已經(jīng)被孔老師加工得油光水滑，煞是可愛(ài)。

“目測(cè)是1米，也就是100厘米。”我脫口而出。

“不錯(cuò)，你對(duì)長(zhǎng)度的估測(cè)能力很強(qiáng)?！笨桌蠋熚⑿Φ攸c(diǎn)點(diǎn)頭。

聽(tīng)到孔老師的表?yè)P(yáng)，我信心倍增?？戳丝纯桌蠋熓掷锏哪竟鳎姨撔恼?qǐng)教：“您拿這根木棍干什么呢？啊，我知道了，您是要把它削到很細(xì)很小，把它用在算盤上？或者是再小一些，變成古老的算籌？還是要把它磨成一根牙簽？”

“你是想起昨天宰予說(shuō)的那則新聞了吧？”孔老師哭笑不得。

宰予可是我們班的消息通，經(jīng)常在教室里召開(kāi)“新聞發(fā)布會(huì)”，也不知道他那些稀奇古怪的事都是從哪兒聽(tīng)來(lái)的。昨天，他講了一件很有趣的事：一個(gè)人想制作一個(gè)“最珍貴的寶貝”，于是把自己家門口的一棵千年銀杏樹(shù)伐倒，然后一直削，花了大半年時(shí)間，終于把銀杏樹(shù)削成了一根牙簽，當(dāng)然這人成了鋪張浪費(fèi)的笑柄。

“我是打算制作一些黃花梨木的圓柱，以供大家研究立體圖形的規(guī)律時(shí)使用?！弊鳛樾訅瘜W(xué)校的創(chuàng)始人，孔老師身兼校長(zhǎng)、老師、保安、敲鐘人、維修師傅等各項(xiàng)重任。為了省錢，凡是能自己制作的教學(xué)用具，他都盡量自己制作。

“那您打算怎么做呢？我看直接平均分吧，切成20段、50段、100段都可以啊，我來(lái)幫您……”說(shuō)著，我想接過(guò)孔老師手里的鋸子。

“不、不、不，我從一冊(cè)古卷上查到一種特別的切法，你看?！笨桌蠋熤噶酥概赃叺囊痪碇窈?jiǎn)，上面寫著：取一百厘米圓木棍一根，左而右每六厘米點(diǎn)之，右而左每五厘米點(diǎn)之，繼以點(diǎn)處鋸開(kāi)則得。

“這什么意思？”我有點(diǎn)兒不明白。

“讀古文的秘訣就是——連猜帶蒙。”孔老師笑著說(shuō)，“意思就是取100厘米長(zhǎng)的圓木棍一根，從左往右，每隔6厘米點(diǎn)一下；再?gòu)挠彝?，?厘米點(diǎn)一下；最后從有點(diǎn)的地方鋸開(kāi)?！?/p>

“我明白了，那我們趕緊動(dòng)手，一起來(lái)‘虐待這根可憐的木棍吧！”我躍躍欲試，可是又被孔老師攔住了。

“你忘記我告誡你們的話了嗎？‘學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆，只知道跟著做，卻不想想為什么這么做，這樣是不可取的；反過(guò)來(lái)，只思考不動(dòng)手也不行。所以，在你動(dòng)手操作之前，一定要認(rèn)真分析一下這些要求，問(wèn)問(wèn)自己是否都明白了?！?/p>

仔細(xì)一思考，我還真是有了大收獲。我欣喜地叫起來(lái)：“其實(shí)，從右而左每5厘米點(diǎn)一點(diǎn)和從左而右每5厘米點(diǎn)一點(diǎn)，它們的效果是一樣的?！?/p>

“為什么？”孔老師笑瞇瞇地望著我。

“因?yàn)?00厘米正好是5厘米的20倍，也就是100能被5整除。前面說(shuō)的從左而右每6厘米點(diǎn)一點(diǎn)，因?yàn)?00除以6有余數(shù)，就不能改成從右而左了?！蔽矣邪盐盏乩^續(xù)說(shuō)，“經(jīng)這樣一改，兩次都是從左而右?！?/p>

我接過(guò)孔老師手里的筆和尺子，由左到右仔細(xì)地邊量邊做標(biāo)志。我在黃花梨木棍上每6厘米點(diǎn)一點(diǎn)，很快就均勻地標(biāo)出了一排整齊的紅點(diǎn)。最后一個(gè)點(diǎn)離木棍的最右邊有4厘米的距離，顯得最后一段木棍特別短。其實(shí)這不奇怪，因?yàn)?00除以6，最后的余數(shù)就是4厘米嘛。

“再來(lái)5厘米一點(diǎn)?！蔽依^續(xù)用筆和尺子，重復(fù)剛才的步驟，很明顯5厘米一點(diǎn)比6厘米一點(diǎn)更容易找。一會(huì)兒，在黃花梨木棍上由左而右、均勻地又留下了一些紅點(diǎn)。這次每?jī)蓚€(gè)紅點(diǎn)之間的間隔是5厘米，紅點(diǎn)距離更緊湊了。有意思的是，我在點(diǎn)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)有一些紅點(diǎn)和前面標(biāo)記的紅點(diǎn)恰好在同一個(gè)位置，它們重合在一起了。

“哪些紅點(diǎn)是兩次的紅點(diǎn)合起來(lái)的呢，你還記得嗎？”孔老師突然問(wèn)我問(wèn)題，我愣住了。我心想：怎么不早一點(diǎn)兒?jiǎn)栁?？如果知道您?huì)問(wèn)我這個(gè)問(wèn)題，我就用不同顏色的筆標(biāo)記了?，F(xiàn)在我哪還記得呀！

不過(guò)，思考片刻，我有了主意，對(duì)孔老師說(shuō)：“那些重合的點(diǎn)所在的位置不就是5的倍數(shù)，同時(shí)又是6的倍數(shù)嗎？也就是5和6的最小公倍數(shù)30的倍數(shù)?！?/p>

聽(tīng)了我的分析，孔老師很滿意，他補(bǔ)充了一句：“最小公倍數(shù)就是所有的公倍數(shù)中最小的那個(gè)。”

經(jīng)孔老師的點(diǎn)撥，我不再傻乎乎地從頭去找，而是直接找30的倍數(shù)的那些點(diǎn)，并做上藍(lán)色記號(hào)。這次，在木棍上，每隔30厘米就被清晰地標(biāo)記著一個(gè)藍(lán)色的點(diǎn)，不多不少，一共有3個(gè)。

“現(xiàn)在，我們可以把它鋸開(kāi)了。但鋸開(kāi)之前，你知道木棍一共被分成了幾段嗎？”孔老師總有問(wèn)不完的問(wèn)題。

這個(gè)問(wèn)題我確實(shí)要好好想想。5厘米一點(diǎn)一共有100÷5-1=19（個(gè)）點(diǎn)，因?yàn)?00÷6=16……4，所以6厘米一點(diǎn)一共有16個(gè)點(diǎn)，重復(fù)的點(diǎn)有3個(gè)，那么一共就有19+16-3=32（個(gè)）點(diǎn)。木棍上有32個(gè)點(diǎn)，鋸開(kāi)之后，不就應(yīng)該有32+1=33（段）嗎？

我把思考后的結(jié)果跟孔老師一說(shuō)，孔老師卻冷不丁地又問(wèn)了我一個(gè)問(wèn)題：“那你知道鋸開(kāi)后的這些長(zhǎng)長(zhǎng)短短的圓柱木段里面有多少段正好是1厘米的長(zhǎng)度嗎？”

“這簡(jiǎn)單呀，鋸開(kāi)后數(shù)一數(shù)就知道了?！蔽覔]了揮鋸子，準(zhǔn)備動(dòng)手。

“唉，學(xué)而不思則……”孔老師提醒我。

我不好意思地摸摸腦袋：“其實(shí)不用鋸，直接看上面的點(diǎn)，同樣也能數(shù)清楚?！?/p>

我正要開(kāi)始數(shù)呢，孔老師又搖頭晃腦地說(shuō)：“學(xué)而不思則……”

“我已經(jīng)‘思了呀，數(shù)上面的點(diǎn)就好了?！?我很不服氣，可孔老師卻絲毫沒(méi)有顧忌我的情緒，繼續(xù)發(fā)問(wèn)：“那如果是更長(zhǎng)的木棍呢？200厘米，300厘米，400厘米，又該怎樣？”

我接過(guò)孔老師手里的一米木棍，仔細(xì)觀察起來(lái)。從左邊開(kāi)始，一厘米一厘米地往右看著，瞬間我有了新發(fā)現(xiàn)：因?yàn)槊?0厘米的情況是一樣的，所以我根本不需要數(shù)整根100厘米的木棍上有多少段1厘米，只要數(shù)前面這30厘米就行了。

解決了難題，我終于可以得意地笑出聲來(lái)。沒(méi)想到，從這簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的一根木棍上，我們居然能研究出這么多秘密來(lái)。最好玩的是，我們并沒(méi)有把這根可憐的木棍鋸開(kāi)，僅僅靠想象、分析和推理就把問(wèn)題給解決了。

數(shù)學(xué)點(diǎn)睛：木棍上的點(diǎn)數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系，是 “植樹(shù)問(wèn)題”模型。兩種不同的點(diǎn)和它們之間重復(fù)的點(diǎn)，是“重復(fù)問(wèn)題”。兩種數(shù)量組成的集合中含有的元素，等于這兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)的和，減去它們之間重復(fù)的元素的個(gè)數(shù)。最后，在解決“1厘米長(zhǎng)的木段有幾段”時(shí)，我們通過(guò)找規(guī)律的辦法，發(fā)現(xiàn)了周期現(xiàn)象。你現(xiàn)在知道答案了嗎？100÷30=3……10，這余下的10厘米中還含有一段1厘米的，所以1厘米長(zhǎng)度的木段有3×2+1=7（段）。