李 艷，韓 華，汪金水

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院，武漢430070）

0 引言

近年來，對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究越來越受到學(xué)者們的關(guān)注，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對(duì)于研究復(fù)雜系統(tǒng)的聚類及演化規(guī)律具有重要作用。股票網(wǎng)絡(luò)作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的一種，是以股票及其投資者為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，股票與投資者之間的投資關(guān)系為連邊的復(fù)雜系統(tǒng)，股票網(wǎng)絡(luò)中以節(jié)點(diǎn)和連邊來構(gòu)建股票網(wǎng)絡(luò)方法的研究也不唯一，Mantegna［1］利用最小生成樹的方法來構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，通過找到股票之間重要的連接揭示網(wǎng)絡(luò)的層次結(jié)構(gòu)；R.Gu等［2］以股票為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，通過邊相關(guān)系數(shù)閾值方法構(gòu)建無權(quán)無向的股票網(wǎng)絡(luò)；萬陽松等［3］則將股票的相關(guān)系數(shù)cij作為網(wǎng)絡(luò)的股票之間的權(quán)重來構(gòu)建無向含權(quán)股票網(wǎng)絡(luò)；馬源源等［4］以上市公司及其主要股東為節(jié)點(diǎn)，以其持股關(guān)系為連邊，持有股票份額為權(quán)重建立了有向含權(quán)的股票投資網(wǎng)絡(luò)，這些研究都是在給定時(shí)間序列的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，是對(duì)靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的研究。

目前，對(duì)動(dòng)態(tài)股票網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行的研究比較少，陳俊華等［5］在確定研究日期以后，每隔N個(gè)時(shí)間間隔構(gòu)建一個(gè)股票網(wǎng)絡(luò)，從而得到一系列連續(xù)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而研究股票市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，然而，在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，尤其是在股票網(wǎng)絡(luò)中，時(shí)間序列經(jīng)常是不斷變化并且時(shí)間間隔是不均勻的［6－7］

近來，不少學(xué)者通過隨機(jī)過程理論來描述動(dòng)態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)生過程。郭進(jìn)利［8］以供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，提出了節(jié)點(diǎn)的到達(dá)過程服從更新過程，研究了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的平均度分布，得出了網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)平均度分布具有雙向冪律性；楊琴等［9］在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上提出以泊松過程來描述節(jié)點(diǎn)的增加，節(jié)點(diǎn)的入邊與出邊服從二項(xiàng)分布，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間連邊服從擇優(yōu)連接，股票間邊的權(quán)重服從動(dòng)態(tài)演化，最后得出網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)平均入強(qiáng)度和穩(wěn)態(tài)平均出強(qiáng)度服從冪律分布。

泊松過程是一個(gè)計(jì)數(shù)過程，它描述的是我們所觀察事件的出現(xiàn)次數(shù)，本文中通過泊松過程來描述股票網(wǎng)絡(luò)投資的發(fā)生，顯然，通過泊松過程來描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中新節(jié)點(diǎn)的加入比將節(jié)點(diǎn)描述為等時(shí)間間隔加入更接近實(shí)際情況。泊松過程描述的是一個(gè)具有參數(shù)λ的新節(jié)點(diǎn)到達(dá)系統(tǒng)的情況，即新節(jié)點(diǎn)到達(dá)系統(tǒng)的頻率是固定不變的，然而投資者進(jìn)行股票投資或者新的股票進(jìn)入投資系統(tǒng)往往受當(dāng)時(shí)社會(huì)的政治、經(jīng)濟(jì)，以及整個(gè)股票投資系統(tǒng)的環(huán)境的影響，投資者或股票加入系統(tǒng)的頻率并不是固定不變的。如果將股票投資系統(tǒng)內(nèi)所有不同時(shí)間段的投資情況看作是一個(gè)總體，其中不同時(shí)間段的投資情況由于投資環(huán)境的影響存在差異，可以把這種差異解釋為給定λ時(shí)，投資者到來數(shù)量的條件分布。

基于此，本文提出通過條件泊松過程描述網(wǎng)絡(luò)中新節(jié)點(diǎn)的到達(dá)、投資者對(duì)所投資股票的選擇服從擇優(yōu)選擇、系統(tǒng)內(nèi)權(quán)重符合動(dòng)態(tài)演化規(guī)律的動(dòng)態(tài)股票投資網(wǎng)絡(luò)。

1 定義

假設(shè)將所有股票及其投資者作為股票投資網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)內(nèi)的權(quán)重為投資者對(duì)股票的投資額，系統(tǒng)內(nèi)邊的方向?yàn)楣?jié)點(diǎn)之間的投資關(guān)系，例如，有向邊〈i，j〉代表節(jié)點(diǎn)i將自己的資金用于節(jié)點(diǎn)j的投資，即節(jié)點(diǎn)j吸收了節(jié)點(diǎn)i的投資，則系統(tǒng)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)都既可以是投資者也可以是被投資者，節(jié)點(diǎn)之間也可以互相投資，即網(wǎng)絡(luò)中投資者和被投資者兩類節(jié)點(diǎn)的性質(zhì)相同。且系統(tǒng)內(nèi)的邊既可以是單向邊，也可以是雙向邊，即該股票投資系統(tǒng)是一個(gè)有向含權(quán)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)度指標(biāo)反映的是節(jié)點(diǎn)在股票網(wǎng)絡(luò)中的重要程度，強(qiáng)度越大的節(jié)點(diǎn)在股票網(wǎng)絡(luò)中越重要。我們研究的股票網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有向網(wǎng)絡(luò)，可以將節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)度分為入強(qiáng)度SIi和出強(qiáng)度SOi。本文研究的股票網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)目以及邊的權(quán)重都是動(dòng)態(tài)變化的，并且通過擇優(yōu)連接機(jī)制來描述進(jìn)入系統(tǒng)的投資者對(duì)所投資的股票的選擇情況。

定義1 節(jié)點(diǎn)的入強(qiáng)度SIi是股票i吸收的所有投資額，即

定義2 節(jié)點(diǎn)的出強(qiáng)度SOi為投資者i進(jìn)入系統(tǒng)后的所有投資額，即

定義 3［9］令如 果 極 限，則稱極限為網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均入強(qiáng)度分布，記為P｛SI＝s｝。

定義 4［9］令如 果 極 限則稱極限為網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均出強(qiáng)度分布，記為P｛SO＝s｝。

2 模型描述

2.1 新節(jié)點(diǎn)的到來

假設(shè)所研究的時(shí)間間隔為t，可以將其分割成一個(gè)彼此互不相交的時(shí)間序列，設(shè)系統(tǒng)在時(shí)間ti內(nèi)增加節(jié)點(diǎn)的發(fā)生頻率為λi，用隨機(jī)變量Λ代表系統(tǒng)內(nèi)新增加節(jié)點(diǎn)的頻率，則概率P（Λ＝λi）＞0。設(shè)Λ的分布是G，那么隨機(jī)選擇一個(gè)長(zhǎng)度為t的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的新節(jié)點(diǎn)數(shù)量為n的概率［10－11］為

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中原有的節(jié)點(diǎn)數(shù)為m0，每個(gè)新節(jié)點(diǎn)可以對(duì)網(wǎng)絡(luò)中不同的節(jié)點(diǎn)投資，或者接受網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)的投資，即每個(gè)新節(jié)點(diǎn)進(jìn)入系統(tǒng)后有m條有向邊連接到網(wǎng)絡(luò)中已經(jīng)存在的m個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)（m≤m0），其中新節(jié)點(diǎn)的入邊數(shù)服從二項(xiàng)分布B（m，p），出邊數(shù)服從二項(xiàng)分布B（m，1－p），p∈ （0，1），新邊的初始權(quán)重為ω0［9］。

2.2 投資者進(jìn)入投資系統(tǒng)后對(duì)所投資股票的選擇

一般來說，投資者進(jìn)入系統(tǒng)后，較容易選擇那些有較多投資者投資、吸收較多投資額的股票來進(jìn)行投資，即節(jié)點(diǎn)之間的連邊服從擇優(yōu)連接，投資者j進(jìn)入系統(tǒng)后選擇對(duì)股票i進(jìn)行投資的概率依賴于股票i的入強(qiáng)度和投資者j的出強(qiáng)度：

2.3 網(wǎng)絡(luò)中權(quán)重的變化

實(shí)際上，隨著時(shí)間的推移，股票系統(tǒng)中的總投資額并不會(huì)無限制增加，當(dāng)時(shí)間無限增大，總投資額便會(huì)趨于一個(gè)常量，為了表示這種變化，引入一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的常量W［12］，來表示網(wǎng)絡(luò)中總的投資額的增長(zhǎng)，這里W ＝這個(gè)新節(jié)點(diǎn)所引起的總的投資額的變化是通過對(duì)系統(tǒng)內(nèi)某些邊的權(quán)重的動(dòng)態(tài)演化而實(shí)現(xiàn)的，即新節(jié)點(diǎn)的增加會(huì)影響所建立的股票投資網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重ωij。

圖1 連邊權(quán)重動(dòng)態(tài)演化圖Fig.1 Weight－driven dynamical evolution of linked pairs of vertices

當(dāng)新節(jié)點(diǎn)n加入到網(wǎng)絡(luò)中時(shí)，它以概率Pni與節(jié)點(diǎn)i相連，即新的投資者以Pni的概率將資金用于對(duì)i的投資，i可將資金用于自身發(fā)展或?qū)?jié)點(diǎn)j和k投資，這就是節(jié)點(diǎn)權(quán)重的一級(jí)耦合機(jī)制。當(dāng)i投資給j后，j可將部分資金用于對(duì)k的投資，也就是說i通過j間接對(duì)k進(jìn)行投資，即節(jié)點(diǎn)權(quán)重的二級(jí)耦合機(jī)制。本文僅考慮節(jié)點(diǎn)權(quán)重的一級(jí)耦合機(jī)制，節(jié)點(diǎn)權(quán)重的二級(jí)耦合機(jī)制也可通過類比得到。

因此，用公式（3）來刻畫隨系統(tǒng)中新的投資發(fā)生而導(dǎo)致的有向邊的權(quán)重的動(dòng)態(tài)演化［12］規(guī)律

用｛Yi；i≥1｝表示第i個(gè)顧客到達(dá)系統(tǒng)后進(jìn)行投資的投資數(shù)額，則｛Yi；i≥1｝是獨(dú)立同分布的，且｛Nt；t≥0｝與｛Yi；i≥1｝相互獨(dú)立，則可以將t時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的投資者進(jìn)行投資的金額總數(shù)表示為

3 解析過程

在模型動(dòng)態(tài)演化的過程中，不允許出現(xiàn)自己對(duì)自己進(jìn)行投資的情況，投資者增加對(duì)某只股票投資金額的情況只能通過增加該有向邊的權(quán)重來表示，而不能出現(xiàn)重復(fù)邊。本部分在模型描述所建立股票網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，對(duì)其理論可行性進(jìn)行探討。在分析的過程中，令ω0＝1，且ωij（t），SIi（t），SOi（t）為連續(xù)實(shí)變量［9］。

3.1 新節(jié)點(diǎn)的到達(dá)

at為t時(shí)刻該股票投資網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，則at＝Nt＋m0≈Nt。由于節(jié)點(diǎn)的到達(dá)過程符合參數(shù)為Λ的條件泊松過程，并且由于任意時(shí)刻到達(dá)股票投資系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目是有限的，即E（Λ2）＜∞，由條件泊松過程理論可知，在［0，t］內(nèi)到達(dá)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)的平均數(shù)為tEΛ，即到t時(shí)刻平均有tEΛ個(gè)節(jié)點(diǎn)添加到網(wǎng)絡(luò)中，則E［N（t）］＝tEΛ［10－11］。

3.2 新進(jìn)入系統(tǒng)內(nèi)投資者的投資數(shù)額

｛Xt＝是一個(gè)復(fù)合條件泊松過程，Xt有獨(dú)立增量，且每個(gè)投資者的投資數(shù)額都是有限的，由泊松理論可知，進(jìn)入系統(tǒng)的投資者的投資數(shù)額總和的均值E［Xt］＝tEΛEY1［10－11］。

3.3 入強(qiáng)度分析

假設(shè)ωji（t），SIi（t）為一連續(xù)實(shí)變量，則可得到權(quán)重ωji（t）的變化率為

當(dāng)有新的投資者進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)時(shí)，會(huì)引起股票投資網(wǎng)絡(luò)中入強(qiáng)度的變化，對(duì)于節(jié)點(diǎn)i的入強(qiáng)度SIi（t）來說，它的增加既可以是因?yàn)樾略黾拥耐顿Y者選擇股票i進(jìn)行投資而建立起來的新的連接，也可以是因?yàn)橐怨?jié)點(diǎn)i為終點(diǎn)的連邊的權(quán)重發(fā)生變化，因此，節(jié)點(diǎn)i的入強(qiáng)度SIi（t）滿足動(dòng)態(tài)方程（6）：

由于新的股票投資者i在ti時(shí)刻進(jìn)入股票投資系統(tǒng)的入強(qiáng)度為SIi（t），則解方程（7）得

由于復(fù)合泊松過程不一定是計(jì)數(shù)過程，但是當(dāng)Yi≡c，i＝1，2，…，c為常數(shù)時(shí)，可化為泊松過程［10－11］。根據(jù)前文，令ω0＝1，即Yi≡1，因此可將該復(fù)合條件泊松過程化為參數(shù)為EΛ的泊松過程。

根據(jù)泊松過程理論，第n次事件發(fā)生的時(shí)刻Tn，n＝1，2，3，…，服從Γ分布，即投資者的到達(dá)時(shí)間ti服從Γ分布［10－11］，即

節(jié)點(diǎn)i的瞬態(tài)入強(qiáng)度分布為

節(jié)點(diǎn)i的穩(wěn)態(tài)入強(qiáng)度分布為

網(wǎng)絡(luò)的瞬態(tài)平均入強(qiáng)度分布為

網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)平均入強(qiáng)度為

3.4 出強(qiáng)度分析

假設(shè)ωij（t）、SOi（t）為一連續(xù)實(shí)變量，則可得到權(quán)重ωij（t）的變化率為

與入強(qiáng)度分析過程類似，對(duì)于節(jié)點(diǎn)i的出強(qiáng)度SOi（t）來說，它的增加既可以是因?yàn)樾略黾拥耐顿Y者i選擇股票進(jìn)行投資而建立起來的新的連接，也可以是因?yàn)橐怨?jié)點(diǎn)i為起點(diǎn)的連邊的權(quán)重發(fā)生變化，因此，節(jié)點(diǎn)i的出強(qiáng)度SOi（t）滿足動(dòng)態(tài)方程（15）：

節(jié)點(diǎn)i的瞬態(tài)出強(qiáng)度分布為

節(jié)點(diǎn)i的穩(wěn)態(tài)出強(qiáng)度分布為

網(wǎng)絡(luò)的瞬態(tài)平均出強(qiáng)度分布為

網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)平均出強(qiáng)度分布為

從上述解析過程來看，該網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)入強(qiáng)度分布和穩(wěn)態(tài)出強(qiáng)度分布均為0，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)平均入強(qiáng)度分布和穩(wěn)態(tài)出強(qiáng)度滿足冪律分布，即P（SI＝s）～s－γ，冪律指數(shù)

4 仿真結(jié)果

針對(duì)上文模型，通過數(shù)值仿真檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭泄?jié)點(diǎn)的冪律特性。圖2～圖6分別給出了N＝20 000，λ1＝3，λ2＝4，p1＝0.75，p2＝0.25，N0＝50，W ＝1，m＝1，p3＝0.7時(shí)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)出入強(qiáng)度隨時(shí)間演化規(guī)律圖以及網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均出入強(qiáng)度圖，仿真結(jié)果與解析結(jié)果比較吻合。

從圖2中，可以看到網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)目隨時(shí)間的變化情況，圖中的點(diǎn)表示在時(shí)間t為5 607.982 1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)目N為17 992個(gè)。

圖2 網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)以條件泊松機(jī)制加入過程圖Fig.2 New nodes join in with the mechanism of doubly stochastic Poisson process

圖3 網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)入強(qiáng)度隨時(shí)間演化規(guī)律圖Fig.3 Evolution rule of the node’s in－strength

圖4 網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)出強(qiáng)度隨時(shí)間演化規(guī)律圖Fig.4 Evolution rule of the node’s out－strength

圖3和圖4分別給出了t1＝1.95和t2＝4.26時(shí)加入網(wǎng)絡(luò)中的兩節(jié)點(diǎn)的出入強(qiáng)度隨時(shí)間的演化規(guī)律圖。節(jié)點(diǎn)出入強(qiáng)度的擬合值分別為0.84和0.63，與方程（3）、（11）的解析結(jié)果值0.85和0.65比較吻合。

圖5 網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均入強(qiáng)度分布圖Fig.5 Average steady in－strength of the network

圖6 網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均出強(qiáng)度分布圖Fig.6 Average steady out－strength of the network

在圖5和圖6中通過相同參數(shù)的4次仿真結(jié)果分別給出了網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均出入強(qiáng)度的仿真值和解析估計(jì)值。網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均入強(qiáng)度的4次仿真的理論值均為0.65，仿真值分別為0.62，0.63，0.66，0.64；網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)平均出強(qiáng)度的4次仿真的理論值均為0.86，仿真值分別為0.85，0.84，0.83，0.85。從4次仿真結(jié)果可以看出，該股票投資網(wǎng)絡(luò)演化模型呈現(xiàn)出較明顯的冪律特性，并且仿真結(jié)果與解析估計(jì)值也比較吻合。

5 結(jié)論

本文通過條件泊松過程加入新節(jié)點(diǎn)來建立股票投資網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)模型，該模型同時(shí)考慮了方向、權(quán)重、擇優(yōu)連接機(jī)制和權(quán)重的動(dòng)態(tài)演化，能更真實(shí)地反映出投資網(wǎng)絡(luò)模型實(shí)際的動(dòng)態(tài)變化過程，解析及仿真結(jié)果表明，該網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)出入強(qiáng)度服從冪律分布。模型在考慮動(dòng)態(tài)演化時(shí)僅考慮了節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增長(zhǎng)，并沒有考慮老節(jié)點(diǎn)的退出以及網(wǎng)絡(luò)中既存節(jié)點(diǎn)之間的互連情況，在今后的工作中可以從這幾方面來對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使其能夠更好地描述現(xiàn)實(shí)世界中的股票投資網(wǎng)絡(luò)。

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