劉 芳，許小媛，鄭 義

（1.江蘇開放大學，南京210036；2.南京郵電大學，南京210023）

0 引言

信息的擴散隨著通訊技術(shù)的飛速發(fā)展而變得快捷，現(xiàn)代社會的個體，不論是Internet網(wǎng)絡(luò)的使用者，還是SARS，禽流感等流行性病毒爆發(fā)過程中的人類個體，都更容易獲得有關(guān)蠕蟲病毒或疾病的預警信息。在獲知預警信息情況下，個體會采取相應(yīng)的防護措施，從而影響病毒的傳播動力學進程。預警機制以及由此產(chǎn)生的人類行為，對傳播動力學的影響獲得了廣泛關(guān)注和研究［1－6］。依據(jù)預警信息的來源，可分為全局預警與本地預警，全局預警對應(yīng)現(xiàn)實中官方機構(gòu)使用廣播、電視、報紙、網(wǎng)絡(luò)等手段進行的全局范圍的通知；本地預警則對應(yīng)現(xiàn)實中個體通過接觸、交流獲知的本地鄰居中的警示信息。預警信息一旦產(chǎn)生并傳播，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中即存在兩個傳播過程，即信息的傳播與病毒的傳播。為了反映現(xiàn)實世界的不同情況，相關(guān)研究又分為兩類：預警信息流行度依賴于病毒流行程度［2，5］；預警信息的流行與病毒的傳播過程相互獨立［6］。前者為基于流行程度的模型，反映的是個體依靠獲知染病個體的比例，從而判斷病毒的流行與嚴重程度，進而升級或減少防護行為；后者基于信任建模，即個體不考慮病毒流行程度，以事先假設(shè)的概率對接收到的預警信息進行判斷、采納與繼續(xù)傳播。

預警機制研究中，網(wǎng)絡(luò)拓撲對動力學行為的影響是不可忽略的，交叉覆蓋網(wǎng)絡(luò)［7］，無標度網(wǎng)絡(luò)［5，7］，家庭（社團，群組等，以下均記為家庭）網(wǎng)絡(luò)［8］均得到了關(guān)注。文獻［8］對基于雙層混合假設(shè)的家庭網(wǎng)絡(luò)的早期干預行為進行了研究，并對早期干預措施的延遲（包括常數(shù)和指數(shù)分布延遲）對傳播進程的影響進行了分析仿真，將其分析模型應(yīng)用于2009年H1N1流感數(shù)據(jù)，得到了基于藥物的早期干預措施只有在病毒爆發(fā)的第一個24小時內(nèi)具有遏制有效性的結(jié)論，其方法具有計算高效的特點。

在基于流行程度的預警機制研究中，節(jié)點的風險意識隨著本地和全局的預警信息量成指數(shù)變化，而本地預警信息量正比于染病鄰居數(shù)與節(jié)點總鄰居數(shù)的比值，全局預警信息量正比于網(wǎng)絡(luò)全體染病個體與總?cè)丝诘谋嚷剩?，5］。文獻［2－5］專注于傳播閾值研究，使用節(jié)點脆弱性指標來捕捉預警機制的動力學影響，隨著預警信息量增大，節(jié)點脆弱性下降。染病個體與健康個體一次接觸的傳播成功率設(shè)定為染病個體傳播率與健康個體脆弱性的乘積。文獻［4］對全局預警、本地預警與接觸過程進行了綜合考慮，提出了流行程度和預警信息接觸次數(shù)兩種建模因素，其研究發(fā)現(xiàn)，不同于本地預警和接觸預警，全局預警并不影響傳播閾值。與文獻［2－5］專注于傳播閾值分析不同，本文將研究重點集中于早期傳播動力行為，具體在雙層混合結(jié)構(gòu)的家庭網(wǎng)絡(luò)上，專注于對基本家庭復制數(shù)，雙倍復制時間等指標的計算與分析。

在雙層混合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，考慮預警感知的動力學行為的相關(guān)文獻還較少。文獻［8］專注于早期干預行為的時間有效性研究，對干預機制簡化設(shè)定為傳播率與脆弱性分別下降為干預前的（1－τ）與（1－ρ），其中τ，ρ∈（0，1）且為常數(shù)。我們利用其分段馬爾科夫鏈路徑積分計算方法［8－9］，綜合考慮了家庭網(wǎng)絡(luò)上全局預警與本地預警，對全局預警和本地預警的延遲敏感性進行了對比分析。

1 傳播模型

基于雙層混合假設(shè)的家庭網(wǎng)絡(luò)其基本模型如下［10］：從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)角度，將系統(tǒng)劃分為多群組結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點既屬于全局網(wǎng)絡(luò)，也屬于某個規(guī)模上小得多的特定的家庭，其既與全局范圍內(nèi)的其他家庭成員發(fā)生弱交互行為，同時又與本地家庭成員存在強交互行為，且節(jié)點接觸率在家庭內(nèi)比在家庭間高得多。雙層混合結(jié)構(gòu)可以視為數(shù)學易求解性與真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復雜性的一種折中［11］。

對疾病、蠕蟲病毒以及謠言的傳播行為進行數(shù)學建模研究，已經(jīng)具有較長的歷史，并根據(jù)其在傳播過程中的不同側(cè)重得到了多種數(shù)學模型。在我們工作中，使用SEIR模型進行分析，在種群空間封閉且均勻混合的假設(shè)下，將個體依其傳播狀態(tài)劃分為S（Susceptible，健康易染狀態(tài)）、E（Exposed，潛伏）、I（Infected，感染狀態(tài)）和 R（Removed，移除狀態(tài)，包括免疫、死亡、隔離等多種因素）4個子種群空間，模型如表1所示。

表1 家庭網(wǎng)絡(luò)SEIR模型Tab.1 The SEIR model of household networks

其中，k為家庭規(guī)模，δk為規(guī)模為k的家庭中成員的脆弱性參數(shù)，λL為家庭內(nèi)傳播率，λG為家庭間傳播率，γ為康復率，σ為發(fā)病率，p（k）為規(guī)模為k的家庭在全局網(wǎng)絡(luò)中所占比例，f為病 毒 流 行 程 度，f ＝為當前t時刻規(guī)模為k的家庭中處于感染狀態(tài)成員的數(shù)目。

從傳播率與脆弱性參數(shù)兩方面考慮預警效應(yīng)，當節(jié)點接收預警后，不論是來自本地、全局還是兩者都有，染病個體的群間與群內(nèi)傳播率分別變?yōu)椋?－τ）λG和（1－τ）λL，健康個體的脆弱性參數(shù)則變化為

其中，本地預警效應(yīng)引起的節(jié)點脆弱性變化為δLk，全局預警引起的脆弱性變化為δGk，設(shè)節(jié)點初始脆弱性為1。脆弱性表示健康節(jié)點在受到傳染接觸時，自身免疫力決定的易感染程度，脆弱性下降對應(yīng)節(jié)點感知預警后采取防護措施導致被感染變難的情況。β為個體采納一次本地警示信息后，采取防護行為（個體防護，減少接觸等）對脆弱性的降低程度（0＜β＜1）。健康節(jié)點以當前時刻家庭內(nèi)染病節(jié)點的比例I（t）／（k－1）為概率來選擇采納本地預警。α（0＜α＜1）為個體對本地預警信息多次接觸導致的防護加強效應(yīng)。接觸頻率效應(yīng)（k－1）－α項設(shè)計主要基于兩個假設(shè)：對家庭內(nèi)接觸，個體i一個時步內(nèi)會與家庭內(nèi)所有其他成員發(fā)生接觸，當家庭出現(xiàn)染病個體時，成員間的警示不僅由染病個體發(fā)出，也會由健康個體傳遞，故個體i會接收到k－1次提醒；對家庭間接觸，盡管理論上假設(shè)個體i與家庭外所有成員均以較小概率發(fā)生接觸，但現(xiàn)實中在一個時步內(nèi)，個體只會與其中很小一部分發(fā)生接觸，故外部交互行為可視為家庭在外部所有染病個體集合作用下的一次狀態(tài)變化（S，E→S－1，E＋1），因此δGk中不出現(xiàn)多次接觸效應(yīng)項。此設(shè)定與文獻［2－3］中的一般性假設(shè)相符，即個體接收到來自全局的預警信息時，傾向于將其看成是一個信息片。

在我們工作中發(fā)現(xiàn)，如果全局預警信息以概率f被節(jié)點采納，f為全局染病率，即用式（2）中fρ項表示全局預警效應(yīng)，則節(jié)點的脆弱性指標δGk對早期動力學指標，如家庭基本復制數(shù)、早期增長率等的影響近似為零。家庭復制數(shù)是擁有一個初始染病個體的家庭，從初始時刻到其內(nèi)部病毒傳播過程完全結(jié)束的時間段里，所有染病個體對其它健康家庭的家庭成功傳播數(shù)。因為家庭模型的理想假設(shè)是家庭成員數(shù)有限，全局家庭數(shù)無窮大。因此，在早期種子家庭的病毒傳播壽命里，f值變化很小。文獻［5］亦指出，基于流行程度的全局預警對傳播閾值，病毒爆發(fā)率沒有影響。因此我們使用了與流行程度無關(guān)，脆弱性變化參數(shù)ρ（0＜ρ＜1）固定不變的全局預警模型，對應(yīng)現(xiàn)實中權(quán)威機構(gòu)預警通知的情況。由此，我們的工作集中于固定不變的全局預警與基于本地流行程度動態(tài)變化的本地預警對延遲的動力學敏感性分析。

2 數(shù)學計算

在早期家庭網(wǎng)絡(luò)的傳播動力學研究中，Ball等［10］提出了雙層混合網(wǎng)絡(luò)模型，來研究現(xiàn)實世界以家庭為單位的疾病傳播行為。文獻［12］在Ball等的基礎(chǔ)上，研究了這類網(wǎng)絡(luò)的SIS傳播模型基于馬爾科夫鏈的計算方法，得到

其中，Q＝（qij，i，j∈S）為馬爾可夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，P＝（P1，…，Pn）T為社團中擁有n個感染者的狀態(tài)演化向量。

Ross等將上述方法拓展到SIRS模型（式（4）），并在文獻［13］的馬爾科夫鏈路徑積分方法基礎(chǔ)上（式（5）），得到了家庭基本復制數(shù)R＊（式（6））和早期增長率φ（式（7））的計算式：

其中，基本復制數(shù)R＊考慮的是擁有一個初始傳播個體的家庭在其傳播壽命里對健康家庭的感染家庭數(shù)，雙倍時間Td定義為系統(tǒng)從初始染病個體數(shù)增加一倍感染者所需時間［8］，φ為早期增長率，Td＝ln（2）／φ。

受文獻［8］對馬爾科夫鏈路徑積分分段處理方法啟發(fā)，本文對考慮預警延遲因素的R＊和早期增長率φ的計算分別為

由家庭基本復制數(shù)的定義可知，考察預警影響家庭m0感染健康家庭mj的效果時，預警效應(yīng)是只施加在m0的動力學過程中的，本地預警源于本地流行程度，因此只與m0有關(guān)；而全局預警效果也只存在于m0中，則基于如下假設(shè)：在傳播早期，全局性的干預（如預防藥物發(fā)放，隔絕等）出于成本或社會、經(jīng)濟負面影響的考慮，在疾病大范圍流行之前，只會施加在發(fā)現(xiàn)病例的家庭，公司或社團等局部網(wǎng)絡(luò)。我們的模型也很容易應(yīng)用于全局預警作用于所有家庭的情況，此時c2（X2（t））＝（1－τ）（1－ρ）λGI（X2（t）），I（X2（t））的求解同上。

通過設(shè)定δk構(gòu)成和延遲時間分布，可以比較本地預警和全局預警的動力學影響及其延遲敏感性，在數(shù)值結(jié)果部分進一步分析。

3 數(shù)值結(jié)果

我們將延遲分兩種來考慮：即全局預警延遲和本地預警延遲。借鑒文獻［8］的設(shè)定方法，兩種延遲均存在前后階段，從接觸到采納預警信息為第一階段，使用值為1的常數(shù)延遲；獲得預警后到采取防護為第二階段，使用均值為T的指數(shù)延遲，其中T∈［0，5］。除特別指出，一般參數(shù)均設(shè)為家庭規(guī)模k＝5，發(fā)病率σ＝1，康復率γ＝1，家庭間傳播率λG＝1，家庭內(nèi)傳播率λL＝2，接觸頻率影響因子α＝0.2。

圖1研究僅存在本地預警時的早期動力行為變化規(guī)律，設(shè)τ＝0，ρ＝0。在T∈［1，3］區(qū)間比較3條曲線，可以看出，盡管本地預警效應(yīng)是基于病毒流行程度的，而早期流行程度值較低，本地預警依然對R＊和Td擁有較明顯的影響作用。我們認為這是由家庭模型的人口有限性造成的。值得指出的是，在T∈［5，6］區(qū)間，β＝0曲線趨于平緩而β≠0的兩條曲線依然存在坡度，表明基于流行程度的本地預警效應(yīng)在此時依然發(fā)揮作用，對延遲的敏感性低于預警效應(yīng)取常數(shù)值的情況（β＝0時，δLk＝k－α為常數(shù)）。

為了對圖1中表現(xiàn)出的兩種現(xiàn)象以及我們的分析猜想進行驗證，對圖1的模型進行了改變，以探討引起興趣的兩點：家庭規(guī)模有限與延遲敏感性。圖2首先將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化到復雜的真實世界的家庭規(guī)模分布，星號線、加號線、菱形線分別對應(yīng)2001年英國、2003年印度尼西亞與1990年蘇丹家庭規(guī)模分布［8］。接著，嘗試比較常數(shù)取值的全局預警與基于流行程度的本地預警的延遲敏感性，設(shè)α＝0，即不考慮接觸頻率因素，τ＝0.5，ρ＝0.5，虛線與實線分別對應(yīng)β＝0（即不考慮流行程度引起的動態(tài)變化）和β＝0.5（考慮流行程度）。圖2可以看出，只考慮流行程度的本地預警效應(yīng)隨著平均家庭規(guī)模的增大（英國2.371，印度尼西亞4.235，蘇丹6.536）延遲敏感性降低，衰弱速度在小家庭規(guī)模種群中較快，在家庭規(guī)模較大的種群中衰減變慢，并在5－6個時步的延遲后其作用仍不可忽略。圖2同時指出，在家庭規(guī)模很小的情況下（英國家庭），經(jīng)歷高延遲的本地預警效應(yīng)已經(jīng)大大降低，近乎可以忽略。一個合理的解釋是，由于家庭規(guī)模較小，此時發(fā)生在初始傳播家庭內(nèi)部的傳播過程已經(jīng)接近結(jié)束，即所有的感染節(jié)點已經(jīng)康復。顯然，該現(xiàn)象與傳播壽命與家庭規(guī)模的關(guān)系有關(guān)，因此，在圖3中，利用潛伏期因素，對家庭傳播過程的壽命與預警延遲性的相互關(guān)系進行了進一步討論。

圖1 延遲本地預警對早期動力行為的影響Fig.1 The impact of delayed local awareness on early dynamics

圖2 不同家庭規(guī)模分布下延遲全局預警與本地預警的早期動力學影響Fig.2 The impact of delayed global and local awareness on early dynamics with different household size distributions

圖3考察了不同潛伏期長時，不考慮接觸頻率條件下，即α＝0，基于流行程度的本地預警的延遲實施對早期動力學數(shù)值的影響。假設(shè)系統(tǒng)中不存在全局預警，即ρ＝0，τ＝0.1，β＝0.8。潛伏期變化分別用星號線、加號線、菱形線對應(yīng)σ＝1、σ＝0.5和σ＝0.2（潛伏期長為1／σ）。圖3a可以看出，只考慮流行程度的本地預警效應(yīng)隨著潛伏期長的變化出現(xiàn)臨界點tdelay＝2，當平均延遲在［1，2］區(qū)域內(nèi)時，潛伏期越短，本地預警越能夠利用系統(tǒng)當前時刻的I（t）的數(shù)值實施其影響，R＊數(shù)值越?。浑S著實施延遲的增加tdelay∈（2，6］，本地預警對R＊影響變?nèi)酰藭r潛伏期長對R＊的影響成為主要作用因素，潛伏期越短，第二子代家庭數(shù)R＊越大。對雙倍復制時間Td，主要受到潛伏期長的影響，在tdelay∈［1，2］區(qū)域，本地預警對Td具有一定幅度的影響。

圖3 潛伏期與延遲本地預警對早期傳播行為的影響Fig.3 The impact of latent period and delayed local awareness on early spreading

圖4 延遲全局預警的早期動力行為影響Fig.4 The impact of delayed global awareness on early dynamics

在前面的數(shù)值仿真中，主要關(guān)注于本地預警與全局預警在其它動力學參數(shù)變化下，如家庭規(guī)模，家庭傳播壽命等的變化下，其影響力的延遲敏感性。為了進一步比較兩者的影響，同時也反映某些現(xiàn)實場景中存在的真實情況，此處考慮一種新的假設(shè)，即：系統(tǒng)中個體基于本地流行程度的防護舉措始終存在，官方權(quán)威發(fā)布的全局預警卻存在延遲。由此，設(shè)定α＝0.2，β＝0.5，本地預警從家庭擁有初始感染者開始，就立刻作用于家庭成員上，星號線、加號線、菱形線分別對應(yīng)ρ＝0、ρ＝0.2和ρ＝0.5，全局預警則隨延遲施加到系統(tǒng)中去。可以看出，在延遲與本地預警已作用兩種因素下，不同強度的全局預警作用下的R＊和Td曲線在tdelay∈［5，6］區(qū)域趨向重合，意味著強度的增加已經(jīng)不產(chǎn)生效果。一個合理的解釋為：在這個時間段，I（t）在人口中的比例已經(jīng)明顯上升，本地預警對系統(tǒng)動力行為的影響大大增強，經(jīng)過延遲施加在系統(tǒng)上的全局預警，已經(jīng)對反映系統(tǒng)早期動力行為的指標R＊和Td擁有相對微弱的影響。

4 結(jié)語

文章探討了預警信息接觸次數(shù)，本地預警和全局預警的延遲實施對家庭網(wǎng)絡(luò)的早期動力行為影響。通過對仿真數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)，與一般直觀猜想不同，基于流行的本地預警機制經(jīng)由不同的延遲時間施加在系統(tǒng)中時，始終對系統(tǒng)早期動力行為擁有一定的不可忽略的作用，不論是低延遲實施在早期感染個體稀少的初始時刻，還是經(jīng)歷較高延遲后實施在感染者比例較高的系統(tǒng)狀態(tài)下。仿真發(fā)現(xiàn)，考慮接觸次數(shù)的本地預警，與一定取值下（ρ∈（0，0.5］）的全局預警相比較，具有更低的延遲敏感性。數(shù)據(jù)仿真中對參數(shù)取值的假設(shè)符合相關(guān)預警機制研究的一般假設(shè)：全局預警傾向造成傳播率與脆弱性的減弱，而本地預警傾向于強防護甚至病毒傳播的完全隔絕。由于家庭基本復制數(shù)等指標考察的是預警效應(yīng)在家庭傳播壽命里的累積作用，文章對潛伏期引起的家庭傳播過程變慢，傳播壽命變長的情況進行了分析。結(jié)果顯示，相對于延長預警機制的作用時間，提高當前時刻的傳播者個體數(shù)目對R＊的影響更大。因此，對比潛伏期與延遲預警的動力學影響力，出現(xiàn)臨界點現(xiàn)象，低延遲短潛伏期系統(tǒng)，預警機制大大抑制了新感染個體出現(xiàn)；高延遲下，較短的潛伏期迅速轉(zhuǎn)化已有感染者，其抑制效應(yīng)強于預警作用。文章對預警機制的延遲分析，集中在本地預警與全局預警的延遲敏感性分析，以及引起敏感性指標變化的因素，如家庭規(guī)模分布，家庭傳播壽命等。

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