劉坤坤，魏新江，方愛(ài)麗

（魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái)264025）

0 引言

在日常生活中，人們對(duì)于各類經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、文化事件都會(huì)有自己的信念（或觀點(diǎn)）。由于信念（或觀點(diǎn)）在很大程度上影響著人們的行為與決策，因此研究信念（或觀點(diǎn)）的形成與演化是一個(gè)具有重要意義的課題。每個(gè)個(gè)體都可能從社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中獲取其他個(gè)體的觀點(diǎn)，還可能接收到反映事件潛在狀態(tài)的外界信號(hào)，并在此基礎(chǔ)上更新自己的信念，新的信念再次融入社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，如此不斷學(xué)習(xí)、更新，推動(dòng)整個(gè)群體信念的動(dòng)態(tài)演化。這種個(gè)體通過(guò)交流與互動(dòng)調(diào)整自己信念的過(guò)程就稱為社會(huì)學(xué)習(xí)。

社會(huì)學(xué)習(xí)理論［1］是由美國(guó)心理學(xué)家阿爾伯特·班杜拉于1976年提出的，到目前為止，已經(jīng)應(yīng)用到社會(huì)學(xué)之外的眾多領(lǐng)域。對(duì)于許多社會(huì)問(wèn)題人們往往想獲取一個(gè)統(tǒng)一的最佳答案，在當(dāng)今大數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，與這些問(wèn)題相關(guān)的信息往往分散在巨大的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，社會(huì)學(xué)習(xí)的目的就在于通過(guò)個(gè)體之間的相互作用使得分散的信息得以整合［2－8］，最終在這些社會(huì)問(wèn)題上達(dá)成共識(shí)。

社會(huì)學(xué)習(xí)的研究一般是以具體的模型為導(dǎo)向，在不同的問(wèn)題上所建立的模型也有所區(qū)別，比較常見(jiàn)的兩種模型，一是基于貝葉斯法則的社會(huì)學(xué)習(xí)，二是基于鄰居信念的社會(huì)學(xué)習(xí)。

基于貝葉斯學(xué)習(xí)的經(jīng)典研究有很多，從序列社會(huì)學(xué)習(xí)模型［9－10］到社會(huì)網(wǎng)絡(luò)模型［11－14］，基于貝葉斯法則的學(xué)習(xí)策略在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。然而，在很多情況下，每個(gè)個(gè)體僅能夠知道很少的其他個(gè)體（比如朋友、同事或者家人）的觀點(diǎn)，甚至可能僅僅掌握自己的經(jīng)驗(yàn)。這種有限的觀察力，加上由整個(gè)網(wǎng)絡(luò)上分散信息所產(chǎn)生的觀點(diǎn)與觀點(diǎn)之間復(fù)雜的相互作用，使得個(gè)體無(wú)法以貝葉斯方式學(xué)習(xí)別人的觀點(diǎn)。另外，基于貝葉斯法則的社會(huì)學(xué)習(xí)需要掌握網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的完整信息，因此計(jì)算的復(fù)雜程度相當(dāng)大。實(shí)際上，人們做決策時(shí)，并不一定會(huì)理性地遵循貝葉斯法則，也有可能采取從眾或接受朋友的影響?；卩従有拍畹母虏呗裕跏嫉慕?jīng)典研究是DeGroot于1974年提出的模型［15］，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在適當(dāng)?shù)臈l件下群體信念能夠收斂到一致，但是卻不一定收斂到真實(shí)信念。人們還就基于鄰居信念的社會(huì)學(xué)習(xí)做了后續(xù)研究［16－19］。Golub和Jackson在DeGroot模型基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，得到進(jìn)一步的結(jié)論：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)，如果社會(huì)中不存在有影響力過(guò)大的個(gè)體，那么這種漸近一致的信念將收斂到真實(shí)信念［20］。雖然基于鄰居信念的更新策略建模比較簡(jiǎn)單計(jì)算也不復(fù)雜，但是不能保證個(gè)體的信念一定收斂到真實(shí)信念，即使能夠收斂到真實(shí)信念也必須滿足網(wǎng)絡(luò)是無(wú)限增長(zhǎng)等特定的條件，這就限制了基于鄰居信念的更新策略在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的普遍使用。

由此可見(jiàn)，單獨(dú)使用基于貝葉斯法則的更新策略或者基于鄰居信念的更新策略，都存在著一定的問(wèn)題，所以我們考慮在社會(huì)學(xué)習(xí)策略中將二者結(jié)合起來(lái)。2012年，Jadbabaie等［21］在研究社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體信念更新過(guò)程中，個(gè)體的信念更新將由個(gè)體自己的信念和其鄰居的信念共同決定，其中個(gè)體自己的信念由貝葉斯法則更新，理論結(jié)果表明如果滿足網(wǎng)絡(luò)是強(qiáng)聯(lián)通的等條件，那么所有個(gè)體最終能夠達(dá)到漸近學(xué)習(xí)。他們還進(jìn)一步說(shuō)明，在強(qiáng)連通的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，社會(huì)交流可以整合出全局的基本狀態(tài)信息，這種信息整合能夠避免使用貝葉斯法則更新帶來(lái)的計(jì)算成本，并且這個(gè)模型可以在有限規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)中使用，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和個(gè)體的影響力程度都不能阻礙社會(huì)學(xué)習(xí)，這就避免了單獨(dú)使用上述任何一種策略帶來(lái)的問(wèn)題。Ali Jadbabaie等所使用的模型，要求每一時(shí)刻的信念更新時(shí)個(gè)體自己的信念必須由貝葉斯法則進(jìn)行更新，個(gè)體與鄰居之間必須要交流，但是考慮實(shí)際情況社會(huì)個(gè)體不一定每次都要采取貝葉斯法則更新。本文考慮社會(huì)個(gè)體的異質(zhì)性和復(fù)雜性，提出了一種復(fù)合策略。個(gè)體在更新信念的過(guò)程中，每一時(shí)刻個(gè)體依據(jù)一定的概率選擇兩種策略之一進(jìn)行自己的信念更新，或者采用貝葉斯更新策略，或者根據(jù)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中鄰居信念來(lái)更新的策略，而在下一時(shí)刻，個(gè)體還要依概率選擇兩種策略之一進(jìn)行信念更新，并且每個(gè)個(gè)體的策略選擇概率是不同的，這就體現(xiàn)了個(gè)體的多樣性和復(fù)雜性，與實(shí)際社會(huì)中個(gè)體的動(dòng)力學(xué)行為相符，在此基礎(chǔ)上建立的模型與Ali Jadbabaie的模型相比更能體現(xiàn)出個(gè)體的主觀選擇性。這種基于復(fù)合策略的社會(huì)學(xué)習(xí)模型能夠更好地體現(xiàn)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體的復(fù)雜行為，更好地展現(xiàn)社會(huì)個(gè)體的信念學(xué)習(xí)過(guò)程。

1 模型

1.1 預(yù)備知識(shí)

社會(huì)網(wǎng)絡(luò)可抽象為圖G＝ （N ，E），其中N＝ ｛1，2 ，…，n｝為社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體的集合，E為個(gè)體之間相互作用構(gòu)成的邊集合。個(gè)體之間相互作用的權(quán)重矩陣記為Q＝（qiij）n×n，qij代表個(gè)體i與個(gè)體j之間的相互作用權(quán)重，對(duì)?i，滿足若個(gè)體i和個(gè)體j之間有直接的相互作用，則qij＞0，就稱個(gè)體i與個(gè)體j互為鄰居，若個(gè)體i和個(gè)體j之間沒(méi)有直接相互作用，則qij＝0，個(gè)體i的所有鄰居的集合記為Ni＝｛j｜qij＞0｝。

所有可能的狀態(tài)的集合記為Θ＝｛θ1，θ2，…，θK｝，其中潛在的真實(shí)狀態(tài)θ＊∈Θ。個(gè)體i在t時(shí)刻對(duì)狀態(tài)θk的信念表示為Pi，t（θk），初始信念為 Pi，0（θk）。個(gè)體所接收到的信號(hào)集合為st＝｛s1，t，s2，t，…，sn，t｝∈S1×S2×…×Sn≡S，是根據(jù)似然函數(shù)P（st｜θ）產(chǎn)生，其中si，t∈Si表示個(gè)體i在t時(shí)刻觀察到的信號(hào)，Si表示個(gè)體i的信號(hào)空間。Pi（·｜θ）為P（st｜θ）的第i個(gè)邊緣分布，稱為個(gè)體i的信號(hào)結(jié)構(gòu)。這里假設(shè)每個(gè)個(gè)體的信號(hào)結(jié)構(gòu)都是已知的。

1.2 更新策略

1）基于貝葉斯法則的更新策略：個(gè)體i在t＋1時(shí)刻接收到信號(hào)si，t＋1，對(duì)于狀態(tài)θk的信念按照下列貝葉斯法則更新：

2）基于鄰居信念的更新策略：由于網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體之間的相互影響，每一時(shí)刻，個(gè)體都會(huì)綜合鄰居的信念對(duì)自己的信念進(jìn)行更新，個(gè)體i基于鄰居信念的更新策略公式為

其中，權(quán)重值qij也可理解為個(gè)體i對(duì)個(gè)體j的信任度，特別地，當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，qii為個(gè)體i的自信度。

在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)體并不一定完全理性，也不一定完全非理性，因此個(gè)體進(jìn)行信念更新時(shí)，并不一定都采取基于貝葉斯法則的更新策略，也不一定都采用基于鄰居信念的更新策略，可能有的個(gè)體采用貝葉斯更新，有的個(gè)體采用基于鄰居信念更新，我們提出一種復(fù)合策略模型，定義一個(gè)個(gè)體策略選擇概率αi，根據(jù)個(gè)體的異質(zhì)性，假定每個(gè)個(gè)體的策略選擇概率αi是不相同的，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體會(huì)以概率αi選擇貝葉斯更新策略，以概率1－αi選擇基于鄰居信念的更新策略，即在t＋1時(shí)刻個(gè)體i的信念更新復(fù)合策略為

1.3 定義及命題

定義2 等價(jià)觀測(cè)狀態(tài)：若個(gè)體i在狀態(tài)θm和θn的條件下的信號(hào)結(jié)構(gòu)相同，即Pi（·｜θm）＝Pi（·｜θn），則稱個(gè)體i不能識(shí)別狀態(tài)θm和θn，狀態(tài)θm和θn為個(gè)體i的等價(jià)觀測(cè)狀態(tài)。

假如所有個(gè)體對(duì)狀態(tài)空間Θ＝｛θ1，θ2，…，θK｝中某兩個(gè)狀態(tài)等價(jià)觀測(cè)，那么所有的信號(hào)失去了對(duì)這兩個(gè)狀態(tài)的辨別能力，個(gè)體也就失去了接收到信號(hào)的意義，所以本文假設(shè)不存在對(duì)所有個(gè)體來(lái)說(shuō)都等價(jià)觀測(cè)的狀態(tài)。命題1 假設(shè)真實(shí)狀態(tài)為θ＊

1）策略選擇概率αi：0＜αi≤1

2）社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中至少有一個(gè)個(gè)體對(duì)真實(shí)狀態(tài)的信念為正，即?i∈N，使Pi，0（θ＊）＞0

3）不存在對(duì)所有個(gè)體來(lái)說(shuō)都等價(jià)觀測(cè)的狀態(tài)

在上述的條件下，按照復(fù)合策略法則（3）進(jìn)行信念更新，則所有個(gè)體都能達(dá)到漸近學(xué)習(xí)。

圖1 含有5個(gè)個(gè)體的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)Fig.1 A social network with 5agents

2 仿真

在仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定若每個(gè)個(gè)體對(duì)于真實(shí)狀態(tài)的信念滿足Pi，t（θ＊）＞0.999 9，則認(rèn)為所有個(gè)體達(dá)到了漸近學(xué)習(xí)，時(shí)刻t為達(dá)到漸近學(xué)習(xí)的時(shí)間。以圖1所示社會(huì)網(wǎng)絡(luò)為例，N＝｛1，2，3，4，5｝ ，狀態(tài)空間Θ＝ ｛θ1， θ2｝，假定θ1為真實(shí)狀態(tài)，每個(gè)個(gè)體所接收到的信號(hào)是相互獨(dú)立的，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)個(gè)體的信號(hào)空間相同，都為Si＝ ｛s1，s2，s3，s4｝，個(gè)體的信號(hào)結(jié)構(gòu)也相同，設(shè)為

給定每個(gè)個(gè)體的初始信念為

假設(shè)個(gè)體之間相互作用的權(quán)重在它和其鄰居之間平均分配，若個(gè)體i鄰居的數(shù)目為di，即它的度數(shù)為di，計(jì)算權(quán)重時(shí)要加上個(gè)體本身，則個(gè)體i與其鄰居相互作用的權(quán)重值如圖1個(gè)體1鄰居數(shù)為4，它的度數(shù)d1＝4，它及其鄰居相互作用的權(quán)重值q1j全部等于，在每次更新的過(guò)程中，權(quán)重值保持不變。同理得到所有個(gè)體之間的相互作用權(quán)重，從而相互作用權(quán)重矩陣Q為

為了體現(xiàn)個(gè)體的異質(zhì)性，以及觀察策略選擇概率對(duì)于社會(huì)個(gè)體的影響，對(duì)于策略選擇概率αi選擇4種不同的取值范圍，對(duì)上述實(shí)例利用復(fù)合策略法則（3）進(jìn)行信念更新，得到仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 在不同的策略選擇概率下，社會(huì)個(gè)體信念的演化圖Fig.2 The evolution of social individuals′beliefs under different strategy selection probabilities

從上述仿真結(jié)果可以看出：1）在滿足命題1條件下，所有個(gè)體對(duì)真實(shí)狀態(tài)的信念最終都能收斂到1，即所有個(gè)體都達(dá)到了漸近學(xué)習(xí)，從而整個(gè)社會(huì)也就達(dá)到了漸近學(xué)習(xí)；2）當(dāng)策略選擇概率在不同的取值范圍時(shí)，整個(gè)社會(huì)達(dá)到漸近學(xué)習(xí)的時(shí)間不同。

為了體現(xiàn)策略選擇概率對(duì)于學(xué)習(xí)速率的影響，對(duì)策略選擇概率所處的范圍進(jìn)行劃分，分別對(duì)處于不同取值范圍策略選擇概率下的學(xué)習(xí)時(shí)間取了500次實(shí)驗(yàn)平均，結(jié)果如表1所示。

表1 策略選擇概率在不同的取值范圍下，個(gè)體達(dá)到漸近學(xué)習(xí)的時(shí)間Tab.1 Individuals′asymptotic learning time under different ranges of strategy selection probabilities

從表1可以直觀地看出，每個(gè)個(gè)體的策略選擇概率αi取值越小，即選擇基于貝葉斯法則更新策略的個(gè)體較少時(shí)，雖然最后也能達(dá)到漸近學(xué)習(xí)，但是所花的時(shí)間比較長(zhǎng)；每個(gè)個(gè)體的策略選擇概率αi取值越大，即選擇基于貝葉斯法則更新策略的個(gè)體較多時(shí)，學(xué)習(xí)的速度是最快的。也就是說(shuō)策略選擇概率與學(xué)習(xí)時(shí)間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

3 結(jié)論

人類的社會(huì)學(xué)習(xí)，是在復(fù)雜的社會(huì)環(huán)境中進(jìn)行的，考慮社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性以及個(gè)體的異質(zhì)性，我們采用復(fù)合策略去研究個(gè)體的社會(huì)學(xué)習(xí)，才與人類動(dòng)力學(xué)行為相符。本文將基于貝葉斯法則的更新策略和基于鄰居信念的更新策略結(jié)合起來(lái)，讓每個(gè)個(gè)體合理選擇策略，既能發(fā)揮個(gè)體的主觀能動(dòng)性，又能與外界環(huán)境相交流，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，滿足一定條件時(shí)，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)個(gè)體都能夠達(dá)到漸近學(xué)習(xí)，并且每個(gè)個(gè)體的策略選擇概率取值越大，漸近學(xué)習(xí)的速度也越快。

基于復(fù)合策略的信念更新，更加符合人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中所進(jìn)行的學(xué)習(xí)，跟單一策略相比較，得到結(jié)果更確切且更加符合人們的認(rèn)知。但是還有些問(wèn)題有待于繼續(xù)探討：1）本文只是選擇雙策略進(jìn)行研究，是否還可以加入其他策略有待于進(jìn)一步研究；2）個(gè)體之間相互作用的權(quán)重值，在每次信念更新時(shí)，是保持不變的，但在實(shí)際生活中由于每次信念更新之后，個(gè)體會(huì)對(duì)鄰居又加強(qiáng)了了解，所以在分配權(quán)重的時(shí)候可能會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，這也是下一步需要考慮的問(wèn)題；3）本文仿真實(shí)驗(yàn)中，假定是不存在頑固個(gè)體或者是具有較大影響力的個(gè)體，對(duì)于這些個(gè)體的存在是否能影響到社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體達(dá)到漸近學(xué)習(xí)，以及即使達(dá)到漸近學(xué)習(xí)是否又影響到學(xué)習(xí)的速率，這也是以后將要研究的問(wèn)題；4）文中采取的只是以無(wú)向網(wǎng)絡(luò)為例，對(duì)于含有較少個(gè)體的網(wǎng)絡(luò)做了初步的研究，其中社會(huì)個(gè)體是可以達(dá)到漸近學(xué)習(xí)的，進(jìn)一步地，有向社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的社會(huì)學(xué)習(xí)問(wèn)題也亟需探討。

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