楊淑萍，劉熙娟，陳多花

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

一個(gè)具有正負(fù)剛度的分段線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究

楊淑萍，劉熙娟，陳多花

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

用數(shù)值積分的方法仿真一個(gè)具有正負(fù)剛度的分段線性振蕩系統(tǒng)，得到了該系統(tǒng)在某些參數(shù)域中的相圖、時(shí)域響應(yīng)圖和分岔圖.數(shù)值分析表明：發(fā)生非受迫性振動(dòng)時(shí)，無(wú)論從怎樣的初值開(kāi)始，系統(tǒng)最終的運(yùn)動(dòng)都趨于穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；發(fā)生受迫性振動(dòng)時(shí)，在特定的參數(shù)條件下，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)趨于穩(wěn)定的極限環(huán)；另外，增大阻尼和激勵(lì)幅值可以有效地控制系統(tǒng)的混沌行為.

分段光滑系統(tǒng)；負(fù)剛度；分岔；數(shù)值仿真

本文用數(shù)值方法對(duì)一個(gè)具有正負(fù)剛度的分段線性動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到了系統(tǒng)在某些參數(shù)域中的時(shí)間響應(yīng)圖、相圖和分岔圖，從而直觀地顯示了系統(tǒng)在這些參數(shù)域中的穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài).

1 分段線性振蕩系統(tǒng)模型

負(fù)剛度設(shè)備[1-2]（Negative stiffness device）實(shí)驗(yàn)裝置如圖1的（a）所示，圖（b）是裝置原理對(duì)應(yīng)的理論模型圖.采用自適應(yīng)負(fù)剛度作為輔助裝置可以顯著減少振動(dòng)，設(shè)備可提高自適應(yīng)負(fù)剛度的地震保護(hù)效果[3-4]，所以對(duì)其動(dòng)態(tài)特性分析的研究是非常必要的.

理論上的回復(fù)力[5]（圖2虛線）形式為：

圖1 負(fù)剛度裝置Fig.1 Negative stiffness device(NSD)

其中Δ是彈簧的壓縮長(zhǎng)度，K是預(yù)壓彈簧剛度K=4、Δ=1.0、l=0.8.

實(shí)驗(yàn)裝置中用fs近似代替f得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程[6-7]如下：

圖2 回復(fù)力位移關(guān)系的比較Fig.2Comparison of force–displacement relationships

其中回復(fù)力表示為分段線性函數(shù)：

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置中的回復(fù)力Fig.3 Restoring force of experiment device

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

2.1 非受迫性振蕩的相圖及時(shí)域響應(yīng)圖分析

當(dāng)激勵(lì)幅值F=0，系統(tǒng)為非受迫性振蕩.不動(dòng)點(diǎn)是分段線性回復(fù)力的三個(gè)零回復(fù)力點(diǎn)，如圖3所示.將系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：c=0.2，k=-3，此時(shí)解得系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)為（-4，0）、（0，0）、（4，0）.系統(tǒng)的相圖及其對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)圖，如圖4所示.從圖4可以看出，對(duì)于不同的初值（0.1，0.1）和（-0.1，-0.1），系統(tǒng)相軌線分別趨于不動(dòng)點(diǎn)（4，0）和（-4，0），這兩種不動(dòng)點(diǎn)具有穩(wěn)定焦點(diǎn)的性質(zhì).

2.2 受迫性振蕩的相圖及時(shí)域響應(yīng)圖分析

將系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：k=-2.0，c=0.05，F(xiàn)=2.0，Ω= 0.6，分別取不同初值（5，5）、（-5，5）、（0.1，5）、（3，4）時(shí)相圖及時(shí)域響應(yīng)圖，見(jiàn)圖5.

從圖5可以清晰地觀察到，在不同的初始條件下振蕩都收斂到同一個(gè)極限環(huán).但同時(shí)也可以看出，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，極限環(huán)鄰域內(nèi)的所有軌線并不都趨于極限環(huán)，可知在這組參數(shù)下極限環(huán)不太穩(wěn)定.

再將系統(tǒng)參數(shù)設(shè)為：k=-3.0，c=0.9，F(xiàn)=11.0，Ω= 1.2，得到系統(tǒng)的相圖及時(shí)域響應(yīng)圖，如圖6所示.

從圖6可以看出，隨著時(shí)間的增加，系統(tǒng)的相軌線始終收斂到極限環(huán)，此參數(shù)下極限環(huán)較穩(wěn)定.

2.3 分岔圖分析

2.3.1 剛度比k變化

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)值為：c=0.1，F(xiàn)=1.0，Ω=0.4，x2隨k變化，發(fā)生分岔見(jiàn)圖7（a）.

從分岔圖上可以看出，當(dāng)k的值介于-1.7和-0.5之間時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了混沌行為.當(dāng)k>-0.5時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入一周期運(yùn)動(dòng).而當(dāng)k介于-2.85和-1.7之間時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入三周期運(yùn)動(dòng).增大c值而保持其它參數(shù)不變，當(dāng)c=0.4時(shí)，x2隨k變化發(fā)生的分岔圖，見(jiàn)圖7（b）.從圖7可以看出，系統(tǒng)的混沌行為和周期三窗口消失，這說(shuō)明增大阻尼可以控制系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng).

2.3.2 阻尼c變化

設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)為：k=-0.4，F(xiàn)=5.0，Ω=1.2，x2隨c變化發(fā)生分岔見(jiàn)圖8.當(dāng)c=0.32時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入三周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)c=0.8時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入一周期運(yùn)動(dòng).而當(dāng)c<0.15時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)，這進(jìn)一步驗(yàn)證了增大阻尼可以控制系統(tǒng)的混沌行為.

圖4 非受迫性振蕩的相圖及時(shí)域響應(yīng)圖Fig.4 Phase diagrams and time response diagrams of unforced oscillation

圖5 受迫性振蕩的不同初值時(shí)的相圖及時(shí)域響應(yīng)圖Fig.5 Phase diagrams and time response diagrams of forced oscillation under different initial values

圖6 受迫性振蕩在特定參數(shù)下穩(wěn)定的極限環(huán)Fig.6 Stable limit cycle of forced oscillation under certain parameters

圖7 當(dāng)k變化的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram when k varies

圖8 當(dāng)c變化時(shí)的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram when c varies

2.3.3 激勵(lì)幅值F變化

設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)為：k=-0.4，c=0.2，Ω=1.2，x2隨F變化發(fā)生分岔，見(jiàn)圖9.從圖9可以看出，當(dāng)F<2或F> 8.1時(shí)，振子表現(xiàn)為一周期振動(dòng).當(dāng)F介于2和8.1之間時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)則在混沌和倍周期運(yùn)動(dòng)之間交替出現(xiàn).總之，非常大或非常小的激勵(lì)幅值都將導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生有界的周期振動(dòng).

圖9 當(dāng)F變化時(shí)的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram when F varies

3 結(jié)論

對(duì)一個(gè)具有正負(fù)剛度的分段線性振蕩系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值分析，得到結(jié)論如下：

1）系統(tǒng)發(fā)生非受迫性振動(dòng)時(shí)，無(wú)論從怎樣的初值開(kāi)始，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)最終都趨于平衡點(diǎn).

2）系統(tǒng)發(fā)生受迫性振動(dòng)時(shí)，在特定的參數(shù)條件下，運(yùn)動(dòng)趨于穩(wěn)定的極限環(huán).

3）從阻尼、剛度比、激勵(lì)幅值對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)速度的分岔過(guò)程的影響中，增大阻尼和激勵(lì)幅值可以有效地控制系統(tǒng)的混沌行為.

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責(zé)任編輯：劉 紅

Research on a Piecewise Linear Dynamic System with Positive and Negative Stiffness

YANG Shuping，LIU Xijuan，CHEN Duohua
（School of Mathematics and Physics，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

A piecewise linear vibration systems with positive and negative stiffness is analyzed by the numerical integration method.Through the numerical analysis，the phase diagrams,time response diagrams and bifurcation diagrams in some pa?rameters domain were obtained.Analysis showed that the oscillation converged to fixed points under all the initial conditions if the oscillator was unforced;As for the forced system,the oscillation converged to a stable limit cycle depending on the giv?en parameters；Damping and excitation amplitude was adequately enough to reduce the chaotic behavior.

piecewise-smooth system；negative stiffness；bifurcation；numerical simulation

O 193

A

1674-4942（2015）03-0245-05

2015-07-08

甘肅省國(guó)際科技合作計(jì)劃項(xiàng)目（1104WCGA195）