李文略

（嶺南師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037）

電各向異性介質(zhì)中無(wú)限長(zhǎng)矩形腔內(nèi)電勢(shì)分布

李文略

（嶺南師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037）

電各向異性介質(zhì)中無(wú)限長(zhǎng)矩形腔內(nèi)的電勢(shì)分布，是拉普拉斯方程的邊值問題.腔四壁處均滿足第一類非齊次邊界條件，不能直接應(yīng)用分離變量法求解該邊值問題.這時(shí)，可根據(jù)二階線性齊次偏微分方程解的疊加原理，將該邊值問題分解為4個(gè)能直接應(yīng)用分離變量法求解的邊值問題來進(jìn)行求解.求解的方法可作為現(xiàn)有應(yīng)用分離變量法求解電各向異性介質(zhì)中拉普拉斯方程邊值問題的補(bǔ)充.在令ε11=ε22=ε33=ε的情況下，所得的結(jié)果可適用于電各向同性介質(zhì).

電各向異性介質(zhì)；邊值問題；分離變量法；疊加原理；半幅傅里葉級(jí)數(shù)；矩形腔

陳燊年等系統(tǒng)地研究了介質(zhì)為各向異性的電磁場(chǎng)[1-2]，其中有將分離變量法引進(jìn)研究電各向異性介質(zhì)中拉普拉斯方程的邊值問題，并舉兩例作應(yīng)用示范，所舉之例的邊界條件是不全為第一類齊次邊界條件的，可滿足直接應(yīng)用分離變量法求解.分別以“分離變量法”和“電各向異性介質(zhì)”為檢索詞在中國(guó)知網(wǎng)上進(jìn)行模糊搜索，只發(fā)現(xiàn)1篇研究電各向異性介質(zhì)分離變量法的文獻(xiàn)[3]，其所舉求解電各向異性介質(zhì)中線電荷與兩接地導(dǎo)體平面間的電勢(shì)分布和電解槽的電勢(shì)分布的例子，其邊界條件均滿足直接應(yīng)用分離變量法求解的條件.鑒于有關(guān)研究電各向異性介質(zhì)分離變量法的文獻(xiàn)較為稀少，本文將在前人研究[1-2]的基礎(chǔ)上，以求無(wú)限長(zhǎng)矩形腔內(nèi)的電勢(shì)分布為例（不滿足直接應(yīng)用分離變量法求解的條件），間接應(yīng)用分離變量法求電各向異性介質(zhì)中拉普拉斯方程的邊值問題，而其邊界條件均是第一類非齊次邊界條件.

1 無(wú)限長(zhǎng)矩形腔內(nèi)的電勢(shì)分布

無(wú)限長(zhǎng)矩形腔沿著電各向異性介質(zhì)的主軸坐標(biāo)系O-x1x2x3的x3軸放置（見圖1），其四壁的電勢(shì)分布為φ1、φ2、φ3、φ4，求腔內(nèi)的電勢(shì)分布.

圖1 矩形腔截面圖Fig.1 Section of rectangular

矩形腔無(wú)限長(zhǎng)且內(nèi)部無(wú)電荷，故腔內(nèi)的電勢(shì)與x3無(wú)關(guān)，滿足電各向異性介質(zhì)的二維拉普拉斯方程[1].求腔內(nèi)的電勢(shì)分布即是求解邊值問題

式中：ε11、ε22分別為沿著x1軸和x2軸正方向的介電常數(shù).

邊值問題式（2）的第一類邊界條件均是非齊次的，無(wú)法直接應(yīng)用分離變量法求解.現(xiàn)將邊值問題式（2）分解為四個(gè)邊值問題：

邊值問題1-4均可應(yīng)用分離變量法直接求解.現(xiàn)求解邊值問題1，設(shè)泛定方程存在分離變量的形式解，代入式（3）中的泛定方程

由式（9）求得C=D=0，故u1(ξ1,ξ2)=0為平庸解.

若λ>0，結(jié)合邊界條件式（9），式（7）的本征值和本征函數(shù)為

其中bn為任意常數(shù).將λn代入式（8）中解出Y()ξ2的通解

其中An=bndn.因式（3）中的泛定方程是線性齊次的，根據(jù)疊加原理將本征解疊加在一起，構(gòu)成一般解

式（14）就是邊值問題1的一般解，其中系數(shù)An由是（16）確定.

若λ=0或λ<0，結(jié)合式（19），解式（17），均得，為無(wú)意義的平庸解.

若λ>0，結(jié)合式（19），式（17）的本征值和本征函數(shù)為

其中Bn=bnBξn.因式（4）中的泛定方程是線性齊次的，根據(jù)疊加原理將本征解疊加在一起，構(gòu)成一般解

現(xiàn)確定式（25）中的系數(shù)Bn.將u2（0，ξ2）=φ2代入上式，得

式（25）就是邊值問題2的一般解，其中系數(shù)Bn由是（27）確定.

式（28）就是邊值問題4的一般解，其中系數(shù)Dn由是（29）確定.

式（30）就是邊值問題3的一般解，其中系數(shù)Cn由是（31）確定.

由于邊值問題式（2）中的泛定方程的線性性質(zhì)，它的解是邊值問題1-4解的線性和，即

2 結(jié)語(yǔ)

分離變量法是求電各向異性介質(zhì)的拉普拉斯方程邊值問題的解析方法.求解電各向異性介質(zhì)中諸如式（1）的拉普拉斯邊值問題時(shí)，需先作坐標(biāo)變換得到邊值問題式（2）.但式（2）的第一類邊界條件均是非齊次的，不滿足直接使用分離變量法求解的條件.這時(shí)，可根據(jù)二階線性齊次偏微分方程解的疊加原理，將該邊值問題分解為4個(gè)能直接應(yīng)用分離變量法求解的邊值問題進(jìn)行求解，即將求邊值問題1-4的結(jié)果線性疊加即可得到邊值問題式（2）的解.求解文中所述的拉普拉斯方程邊值問題的方法可作為現(xiàn)有應(yīng)用分離變量法求解電各向異性介質(zhì)中拉普拉斯方程邊值問題的補(bǔ)充.

[1]陳燊年,洪清泉,王建成.介質(zhì)為各向異性的電磁場(chǎng)[M].北京:科學(xué)出版社,2012:88-104.

[2]林文枝,陳燊年.橢圓環(huán)電流在各向異性介質(zhì)中的磁場(chǎng)[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1993,17（3）:87-92.

[3]蘇武潯,陳芳,陳燊年.各向異性介質(zhì)靜電勢(shì)微分方程的分離變量法[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1997,18（1）: 87-92.

[4]顧樵.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:科學(xué)出版社,2014:26.

責(zé)任編輯：劉 紅

Potential Distribution in An Infinite Rectangular Cavity in Anisotropic Dielectric

LI Wenlüe
（College of Basic Education，Lingnan Normal University，Zhanjiang 524037，China）

Potential distribution in an infinite rectangular cavity in anisotropic dielectric is a boundary value problem of La?place equation.Because the walls of the cavity meet the first nonhomogeneous boundary conditions,the Laplace equation boundary value problem cannot be solve directly by applying variable separation methods.According to the superposition principle of the solutions of the two order linear homogeneous partial differential equations,the boundary value problems which are divided into 4 boundary value problems can be solved directly by using method of separation of variables.The method can be used as a supplementary method for solving the boundary value problem of Laplace equation by applying method of separation of variables in anisotropic dielectric.The results can be applied to isotropic dielectric in the situation：ε11=ε22=ε33=ε.

anisotropic dielectric；value problem；method of separation of variables；superposition principle；half-range Fourier series；rectangular cavity

O 441.4

A

1674-4942（2015）03-0257-04

2015-07-08