徐家發(fā)

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

常微分方程教學(xué)中的一些思考

徐家發(fā)

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

給出幾類多點(diǎn)、積分邊值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的積分方程的方法，并討論這些問題與其相應(yīng)的零邊值問題的關(guān)系.

常微分方程；邊值問題；積分方程

通常把積分號下出現(xiàn)未知函數(shù)的方程稱為積分方程.未知函數(shù)以線性形式出現(xiàn)的方程稱為線性積分方程，否則，稱為非線性積分方程[1-2].由于實(shí)際發(fā)展的需要，目前研究較多的是所謂的Hammerstein型非線性積分方程：

其中G（x，y）和f（y，u）都是其變元的已知函數(shù)，G（x，y）被稱為格林函數(shù).

眾所周知，在討論微分方程邊值問題解的存在性時，通常的做法是將其轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)的積分方程，然后借助非線性泛函分析中的拓?fù)浞椒ɑ蛘咦兎址椒ǐ@得積分方程解的存在性，運(yùn)用等價性獲得原微分方程解的存在性[3-4].所以，將微分方程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的積分方程顯得尤為重要.例如，二階Dirichlet邊值問題

等價的積分方程為

其中

本文主要討論如何將各種微分方程（包括分?jǐn)?shù)階方程）轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的積分方程，并討論多點(diǎn)、積分邊值問題與對應(yīng)的零邊值問題的關(guān)系.通過兩者關(guān)系的比較，做到由易入難、由簡入繁，這有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

1 整數(shù)階微分方程

以下首先給出問題（2）轉(zhuǎn)化為積分方程（3）的方法，并討論三點(diǎn)邊值問題

和積分邊值問題

易見（2）是（5）的特殊情況，以下給出（5）的等價積分方程.根據(jù)常微分方程的基本知識，我們有

其中A，B是常數(shù).事實(shí)上，對（7）式兩邊求導(dǎo)可得

顯然若a=0，（5）和（2）是同樣的.那么試問：如此繁復(fù)的格林函數(shù)H（x，y）與相對簡單的格林函數(shù)G（x，y）有何關(guān)系？能否用G（x，y）來表示H（x，y）？

在（8）式的計(jì)算中，若做如下處理

在上式最后兩行中，將前兩個積分合并，將第三個、第四個積分合并，可得

由此可見，H（x，y）由G（x，y）來生成，從而若將（5）看成（2）的擾動，新的格林函數(shù)H（x，y）僅需在原有的格林函數(shù)G（x，y）的基礎(chǔ)上加上它的一個變形.

針對積分邊值問題（6），我們先計(jì)算常數(shù)A，B由u（0）=0可知B=0.從而根據(jù)（7）式，有

顯然I（x，y）也是在原有的G（x，y）的基礎(chǔ)上加上它的一個變形.

2 分?jǐn)?shù)階微分方程

分?jǐn)?shù)階微分方程是傳統(tǒng)的整數(shù)階微分方程的推廣，分?jǐn)?shù)階微積分主要是研究任意階積分和微分的數(shù)學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用.數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)用新的分?jǐn)?shù)階模型能更精確地模擬現(xiàn)實(shí)問題，分?jǐn)?shù)階微分方程非常適合用來描述現(xiàn)實(shí)生活中具有記憶和遺傳特性的問題，文獻(xiàn)[5]中列舉了大量的分?jǐn)?shù)階方程在應(yīng)用中的實(shí)例，因此研究這類方程具有非常重要的理論意義和應(yīng)用價值.

以下用具體的分?jǐn)?shù)階微分方程來說明在計(jì)算格林函數(shù)時，亦可采用第二部分中所提到的方法.首先給出本文所使用的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階的定義及相關(guān)知識.

引理1[8]若u,，則

其中N是大于或等于α的最小整數(shù).

定理1 令y∈C[0,1]，則分?jǐn)?shù)階邊值問題

格林函數(shù)J，K見證明過程.

證明 根據(jù)引理3可得

3 結(jié)束語

與零邊值問題相比較而言，處理多點(diǎn)、積分邊值問題更為困難，但由本文提供的方法可以看出，將多點(diǎn)、積分邊值看成是零邊值情形的擾動，它們的格林函數(shù)實(shí)際上就是零邊值基礎(chǔ)上多加一個變形，所獲結(jié)果更為簡潔.

[1]傳璋,侯宗儀,李明忠.積分方程論及其應(yīng)用[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1987.

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[3]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[4]白占兵.分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題理論及應(yīng)用[M].北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社,2013.

[5]鄭祖庥.分?jǐn)?shù)微分方程的發(fā)展和應(yīng)用[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào),2008,26(2):1-10.

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[8]Bai Z,Lü H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation[J].J Math Anal Appl,2005,311(2):495-505.

責(zé)任編輯：劉 紅

Some Considerations in Teaching of Ordinary Differential Equations

XU Jiafa
（School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

In this paper we offer some methods of transforming multi-point and integral boundary value problems into the corresponding integral equations and discuss the relationships between these problems and zero boundary value problems.

ordinary differential equations；boundary value problems；integral equations

O 175.1

A

1674-4942（2015）03-0346-04

2015-07-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371117）；重慶師范大學(xué)基金項(xiàng)目資助（15XLB011）