范傳強(qiáng)，徐宏達(dá)

（遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

一個(gè)模糊壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理

范傳強(qiáng)，徐宏達(dá)

（遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

證明了一個(gè)完備距離空間中模糊壓縮映射公共不動(dòng)點(diǎn)定理，并給出了一個(gè)合理的不等式.

壓縮映射；不動(dòng)點(diǎn)；模糊集

1 準(zhǔn)備知識(shí)

定義1 設(shè)集合X非空，若d∶X×X→[0，+∞）滿足：（1）d（x，y）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y，（2）d（x，y）≤d（x，z）+ d（z，y），則稱d是距離，（X，d）是距離空間.

定義2 設(shè)（X，d）是距離空間，{xn}?X,x∈X,稱{xn}收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)

X中的模糊集是域X的函數(shù)，在[0，1]取值.

定義3 若A是模糊集，x∈X,則稱函數(shù)值A(chǔ)（x）為x在A上的類屬度.令F（X）為X的全體模糊子集，Aα={x∈X∶A(x)α}是A∈F(X)的α-截集，A的0-截集是{x∈X∶A(x)>0}的閉包.

設(shè)（X，d）是線性距離空間，W（X）表示X中α-截集都為非空緊凸子集的所有模糊集的全體.

定義4[1]設(shè)A,B∈W(X),α∈[0,1]，定義

令CB（X）是由X的所有非空有界閉子集所構(gòu)成的集合.

定義5[2]若T∶X→CB（X），且對(duì)任意x,y∈X，存在q∈(0,1)，使得H（T（x），T（y））≤qd（x，y），則稱T是壓縮映射.這里

引理1[3]設(shè)（X，d）是一距離空間,A,B∈CB(X),則對(duì)任意的a∈A，都有d（a，B）≤H（A，B）.

引理2[3]設(shè)（X，d）是一距離空間,A,B∈CB(X),則對(duì)任意的a∈A，k>0，存在b∈B，使得d（a，b）≤H（A，B）+k.

Vijayaraju和Marudai在文獻(xiàn)[2]中得到下面不動(dòng)點(diǎn)定理：

定理1 設(shè)（X，d）是完備距離空間，模糊映射F1，F(xiàn)2∶X→W（X）滿足如下條件：

（1）對(duì)每一個(gè)x∈X，存在α(x)∈(0,1]，使得[F1（x）]α（x）和[F2（y）]α（y）是X的非空有界閉子集；

2010 年Akbar和Muhammad對(duì)定理1.1進(jìn)行了修正[4]：

定理2 設(shè)（X，d）是完備距離空間，模糊映射F1，F(xiàn)2∶X→W（X），若對(duì)每一個(gè)x∈X，存在α(x)∈（0，1]，使得[F1（x）]α（x）和[F2（y）]α（y）是X的非空有界閉子集，并且

這里a1，a2，a3，a4都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且a1+a2+a3+a4<1，則F1，F(xiàn)2有共同的不動(dòng)點(diǎn).

Park，Jeong和Cho等先后給出了如下一些模糊壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理：

定理3[5]設(shè)F1，F(xiàn)2∶X→W（X）是滿足如下條件的模糊映射：存在k∈(0,1)，使得

則F1和F2有共同的不動(dòng)點(diǎn).

定理4[6]設(shè)（X，d）是一完備距離空間，若F∶X→X滿足：

其中α，β≥0，α+β<1，則F有唯一的不動(dòng)點(diǎn).

定理5[1]設(shè)（X，d）是完備距離空間，模糊映射F1，F(xiàn)2∶X→W（X）滿足如下條件：

其中k∈(0,1)，則F1和F2有公共的不動(dòng)點(diǎn).

定理6[1]設(shè)（X，d）是完備距離空間，模糊映射F1，F(xiàn)2∶X→W（X）滿足如下條件：

且x≠y其中α，β>0，α+β<1，則F1和F2有共同的不動(dòng)點(diǎn).

定理7[5]設(shè)F1，F(xiàn)2∶X→W（X）是模糊映射，若滿足：存在α，β>0，使得α+β<1，

則F1和F2有一個(gè)公共的不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

近些年，一些學(xué)者在模糊壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)方面做出了深入的研究并且獲得了一些重要成果，可參看文獻(xiàn)[7-10].下面我們借用Vijayaraju和Marudai的概念，證明Cho的關(guān)于完備距離空間中模糊壓縮映射公共不動(dòng)點(diǎn)定理.

定理8 設(shè)（X，d）是完備距離空間，F(xiàn)1和F2是從X到F（X）的模糊映射，且滿足下列條件：

（i）?x,y∈X，存在α(x),α(y)∈(0,1]，使得[F（1x）]α（x）和[F（2y）]α（y）是X的非空有界閉子集；

其中a1，a2>0，且a1+a2<1，則F1和F2有一個(gè)公共的不動(dòng)點(diǎn).

證明 令x0∈X，由條件（i），存在，使得是X的一個(gè)非空有界閉子集.取，則存在α2∈(0,1]，使得是X的一個(gè)非空有界閉子集.因?yàn)楹投际荴的非空有界閉子集，由引理2，存在使得

[1]Park J Y,Jeong J U.Fixed point theorems for fuzzy map?pings[J].Fuzzy Sets Syst,1997:87:111-116.

[2]Vijayaraju P,Marudai M.Fixed point theorems for fuzzy mappings[J].Fuzzy Sets Syst,2003,135:401-408.

[3]Nadler S B.Multi valued contraction mappings[J].Pacific J Math,1969,30:475-488.

[4]Akbar A,Muhammad A.A note on“Fixed point theorems for fuzzy mappings”by P.Vijayaraju and M.Marudai[J]. Fuzzy Sets and Systems,2010,161:1145-1149.

[5]Cho S-H.Fixed point theorems for fuzzy mapping[J].Ap?pl Math Comput,2005,19:485-492.

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責(zé)任編輯：劉 紅

One Fixed Point Theorem for Contraction Fuzzy Mapping

FAN Chuanqiang，XU Hongda（School of Science，Liaoning Shihua University，F(xiàn)ushun 113001，China）

In this paper,we prove a common fixed point theorem for contractive type fuzzy mappings and a rational inequal?ity in a complete metric space.

contraction mapping；fixed point；fuzzy set

O 177；O 159

A

1674-4942（2015）03-0242-03

2015-06-11

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61104066，61374043）