楊 杰,廖桂生,李 軍

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室陜西西安710071)

穩(wěn)健的二級(jí)嵌套陣列自適應(yīng)波束形成算法

楊 杰,廖桂生,李 軍

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室陜西西安710071)

針對(duì)信號(hào)模型失配情形下的二級(jí)嵌套陣列波束形成問題,提出一種基于干擾-噪聲協(xié)方差矩陣高效重構(gòu)和半定規(guī)劃的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法.該算法首先利用接收信號(hào)的對(duì)角增長曲線模型,并結(jié)合無需空域搜索的ESPRIT方法,精確重構(gòu)虛擬陣列的干擾-噪聲協(xié)方差矩陣;其次,利用干擾-噪聲協(xié)方差矩陣和少量先驗(yàn)信息構(gòu)造穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成中的優(yōu)化問題,有效減小了傳統(tǒng)最小方差無失真響應(yīng)波束形成器在非理想信號(hào)環(huán)境中的性能損失;最后,采用半定松弛方法得到該優(yōu)化問題的近似表達(dá)形式,即半定規(guī)劃問題,并借助凸優(yōu)化工具包求解.仿真結(jié)果表明,在不同的輸入信噪比和采樣快拍數(shù)情形下,該算法與現(xiàn)有算法相比,具有更高的輸出信干噪比.

二級(jí)嵌套陣列;穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成;干擾-噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu);半定規(guī)劃;半定松弛

自適應(yīng)波束形成作為陣列信號(hào)處理的一個(gè)主要研究方向,在無線通信、雷達(dá)、聲納、射電天文及醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.實(shí)際應(yīng)用場景中,由于存在波達(dá)方向（Direction Of Arrival,DOA)誤差、陣列結(jié)構(gòu)誤差等模型失配因素,導(dǎo)致傳統(tǒng)最小方差無失真響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)波束形成器性能損失嚴(yán)重.基于此,一些穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法[1-5]被先后提出,如對(duì)角加載方法[1]、子空間方法[2]、優(yōu)化最差性能方法（worst-case方法)[3]、連續(xù)二次規(guī)劃（Sequential Quadratic Programming,SQP)方法[4]等.較之傳統(tǒng)MVDR波束形成算法,穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法能有效提高模型失配情形下的陣列輸出信干噪比（Signal to Interference and Noise Ratio,SINR).然而,此類算法仍存在用戶參數(shù)選取困難、先驗(yàn)信息需求較高和干擾-噪聲協(xié)方差矩陣未精確重構(gòu)等缺點(diǎn).

二級(jí)嵌套陣列[6-7]是近年來提出的一種新型陣列結(jié)構(gòu),與具有相同物理陣元數(shù)目（設(shè)為N)的均勻線陣相比,嵌套陣列可通過虛擬變換使自由度擴(kuò)展至O（N2).因此,在自適應(yīng)波束形成算法中,利用二級(jí)嵌套陣列能夠抑制數(shù)目多于物理陣元總數(shù)的干擾信號(hào).文獻(xiàn)[6]研究了二級(jí)嵌套陣列的自適應(yīng)波束形成算法,該算法僅適用于預(yù)設(shè)信號(hào)模型與實(shí)際信號(hào)模型相匹配的情況,若信號(hào)模型失配,則該算法性能急劇惡化.因此,關(guān)于二級(jí)嵌套陣列穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法的研究有必要進(jìn)行開展.

筆者在文獻(xiàn)[6]研究成果的基礎(chǔ)上,提出一種二級(jí)嵌套陣列的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法.該算法首先利用基于旋轉(zhuǎn)不變特性的信號(hào)參數(shù)估計(jì)（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariant Technique,ESPRIT)技術(shù)和接收數(shù)據(jù)的對(duì)角增長曲線（Diagonal Growth Curve,DGC)模型[8]精確重構(gòu)虛擬陣列的干擾-噪聲協(xié)方差矩陣;其次,利用干擾-噪聲協(xié)方差矩陣和少量先驗(yàn)信息構(gòu)造優(yōu)化問題,以求解真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量;最后,利用半定松弛方法將待求解的非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題,并采用凸優(yōu)化工具包求解.理論分析與仿真結(jié)果表明,筆者提出的干擾-噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法具有比文獻(xiàn)[9]中算法更快的運(yùn)算速度和更高的重構(gòu)精度,在不同的輸入信噪比和采樣快拍數(shù)情形下,該算法具有比傳統(tǒng)算法更高的輸出SINR.

1 二級(jí)嵌套陣列信號(hào)模型

二級(jí)嵌套陣列的物理結(jié)構(gòu)如圖1所示,圖中d表示接收信號(hào)載波波長的一半.由圖1可知,二級(jí)嵌套陣列由兩組不同尺寸的均勻線陣組成,其中第一組均勻線陣（即第1級(jí))包含M個(gè)陣元,陣元間距為d;第2組均勻線陣（即第2級(jí))包含N個(gè)陣元,陣元間距為（M+1)d.假設(shè)K個(gè)來自空間不同方向θi（i=1,2,…,K)的遠(yuǎn)場窄帶平面波信號(hào)入射到二級(jí)嵌套陣列上,則輸出信號(hào)的表達(dá)形式為

圖1 二級(jí)嵌套陣列物理結(jié)構(gòu)圖

其中,y（t)=[y1（t),y2（t),…,yM+N（t)]T,表示所有陣元在采樣時(shí)刻t的輸出信號(hào);A=[a（θ1),a（θ2),…,a（θK)],表示所有入射信號(hào)DOA對(duì)應(yīng)的陣列流形矩陣,a（θ)表示θ對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量;s（t)=[s1（t),s2（t),…,sK（t])T,表示采樣時(shí)刻t由所有入射信號(hào)組成的矢量;n（t)[ =n1（t),n2（t),…,nM+N（t]),表示所有陣元接收到的高斯噪聲向量,其均值為0,方差為

假設(shè)不同入射信號(hào)的波形之間互不相關(guān),則由式（1)可得接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

其中,E[·]表示求期望操作,diag（·)表示求對(duì)角矩陣操作,表示各個(gè)入射信號(hào)的功率,IM+N表示（M+N)×（M+N)維的單位矩陣.

將式（2)中的協(xié)方差矩陣按列排成如下向量形式:

式（3)經(jīng)過去冗余元素和向量重排操作[6],可得如下表達(dá)式:

其中,A1等效于陣元位置坐標(biāo)集合為{md,m=-D,-D+1,…,D,D=N（M+1)-1}的虛擬陣列流形矩陣,e表示中心元素為1,其余元素為0的（2D+1)×1維列向量.

式（4)等效為單快拍信號(hào),其協(xié)方差矩陣的秩為1,無法直接應(yīng)用于MVDR波束形成器中.采用文獻(xiàn)[6]提出的空間平滑算法,可得如下平滑協(xié)方差矩陣:

其中,L=M+N;A11表示（D+1)×K維的陣列流形矩陣,其對(duì)應(yīng)的虛擬陣元位置坐標(biāo)集合為{md,m=0,1,…,D};表示（D+1)×（D+1)維的單位矩陣.

在二級(jí)嵌套陣列中,定義虛擬陣列對(duì)應(yīng)的接收信號(hào)協(xié)方差矩陣為

其中,β=L2/4+L/2.

假設(shè)期望信號(hào)的DOA為θ0,則由式（6)可得虛擬陣列對(duì)應(yīng)的MVDR波束形成器權(quán)矢量為[6]

其中,b（θ0)表示（D+1)×1維的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量.

由式（7)可知,該MVDR波束形成器可利用的自由度為D+1,由于D＞（M+N),故采用如上信號(hào)處理方法可抑制數(shù)目多于物理陣元數(shù)的干擾信號(hào),這是相同物理陣元數(shù)的均勻線陣MVDR波束形成器無法達(dá)到的效果.該結(jié)論可由圖2所示陣元總數(shù)為6的二級(jí)嵌套陣列MVDR方向圖驗(yàn)證.圖2中,干擾信號(hào)方向如箭頭所指,期望信號(hào)方向?yàn)?°,信噪比（Signal Noise Ratio,SNR)為10 d B,干噪比（Interference and Noise Ratio,INR)為30 dB.

圖2 二級(jí)嵌套陣列MVDR波束方向圖

2 二級(jí)嵌套陣列穩(wěn)健波束形成算法

2.1 高效干擾-噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法

理想自適應(yīng)波束形成器的采樣協(xié)方差矩陣應(yīng)僅含干擾和噪聲信號(hào),然而,由于實(shí)際應(yīng)用中快拍數(shù)據(jù)內(nèi)往往混雜有期望信號(hào),因而理想干擾-噪聲協(xié)方差矩陣無法得到.在信號(hào)模型失配情形下,利用此非理想?yún)f(xié)方差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)波束形成,會(huì)導(dǎo)致高信噪比下的期望信號(hào)相消現(xiàn)象.為解決上述問題,文獻(xiàn)[9]提出一種基于Capon譜估計(jì)的干擾-噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法.然而,此方法需對(duì)空域進(jìn)行遍歷搜索,計(jì)算復(fù)雜度較大,同時(shí),與信號(hào)功率和DOA的真實(shí)值相比,利用該方法得到的估計(jì)值精度較低.針對(duì)上述問題,文中提出一種高效重構(gòu)算法.該算法首先利用ESPRIT算法精確估計(jì)入射信號(hào)DOA;其次,利用DOA估計(jì)結(jié)果和接收信號(hào)的DGC模型,精確估計(jì)入射信號(hào)幅度;最后,利用非期望信號(hào)區(qū)域內(nèi)的DOA和幅度估計(jì)值,重構(gòu)干擾-噪聲協(xié)方差矩陣.與文獻(xiàn)[9]算法相比,ESPRIT算法無需空域搜索即可確定信號(hào)DOA,因此運(yùn)算復(fù)雜度較低,同時(shí)估計(jì)精度得到提高.利用DGC模型估計(jì)信號(hào)幅度,其精度也明顯高于文獻(xiàn)[9]的結(jié)果.文中算法的具體描述如下.

為利用ESPRIT算法估計(jì)信號(hào)DOA,需對(duì)式（4)所示的單快拍相干數(shù)據(jù)進(jìn)行如下預(yù)平滑處理:首先,將虛擬陣列劃分為L2/4+L/2個(gè)子陣列,其中,第i個(gè)子陣列對(duì)應(yīng)的陣元位置坐標(biāo)集合和陣列接收數(shù)據(jù)分別為{（-i+1+n)d,n=0,1,…,L2/4+L/2-1}和zi,zi表示由z中的第（L2/4+L/2-i+1)個(gè)元素至第（（L2-2)/2+L-i+1)個(gè)元素組成的向量;然后,將每個(gè)子陣列劃分為兩個(gè)陣元數(shù)均為L2/4+L/2-1的子陣列,得到其接收信號(hào)形式^zi=[z1i,z2i]T,其中,z1i和z2i分別表示由zi的前L2/4+L/2-1行和后L2/4+ L/2-1行元素組成的向量;最后,按下式計(jì)算平滑協(xié)方差矩陣:

由式（1)可得接收信號(hào)的DGC模型為[8]

其中,Y、S和N分別表示由所有觀測時(shí)間內(nèi)積累的快拍數(shù)據(jù)組成的接收信號(hào)矩陣、信號(hào)波形矩陣和噪聲矩陣;Γ=diag（σ1,σ2,…,σK).

根據(jù)式（9)及文獻(xiàn)[8]提出的近似最大似然（Approximate Maximum Likelihood,AML)算法,可得入射信號(hào)的幅度估計(jì)值為

其中,A由DOA估計(jì)值和陣列物理結(jié)構(gòu)得到;Φ=Y（I-PS)YH,I表示單位矩陣,PS=SH（SSH)+S,（·)+表示求廣義逆矩陣操作;⊕表示求Hadamard積操作;vecd（·)表示求矩陣對(duì)角向量操作,即取出矩陣中的對(duì)角元素組成向量.

由式（9)和式（10),可得干擾-噪聲協(xié)方差矩陣的表達(dá)式為

容易知道,文獻(xiàn)[9]中重構(gòu)算法的運(yùn)算復(fù)雜度為O（（D+1)2J),其中,J表示空域采樣點(diǎn)數(shù).文中所提重構(gòu)算法的運(yùn)算復(fù)雜度為O（（D+1)3),由于J?D,因此,文中算法的計(jì)算復(fù)雜度較低.

圖3所示為空間3個(gè)非相干信號(hào)入射到六陣元二級(jí)嵌套陣列時(shí),文中算法與文獻(xiàn)[9]算法重構(gòu)出的信號(hào)幅度譜圖,其中,信號(hào)的真實(shí)DOA和幅度由空心圓圈對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)表示.由圖3可知,文中算法的參數(shù)估計(jì)精度較高.

圖3 不同算法重構(gòu)出的信號(hào)幅度譜圖

2.2 基于半定規(guī)劃的穩(wěn)健波束形成算法

以式（11)所得矩陣R替代接收信號(hào)采樣協(xié)方差矩陣,可得信號(hào)模型失配情形下,二級(jí)嵌套陣列中穩(wěn)健波束形成問題的表達(dá)形式為

其中,w表示波束形成權(quán)矢量,b表示預(yù)設(shè)的虛擬陣期望信號(hào)導(dǎo)向矢量,未知向量e表示虛擬陣中真實(shí)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量與預(yù)設(shè)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量之間的誤差.

與求解MVDR波束形成器權(quán)矢量的過程類似,易知式（12)所示優(yōu)化問題的解為

其中,α=1(/（b+e)HR-1（b+e)).將w代入式（12)的目標(biāo)函數(shù)中,易知穩(wěn)健波束形成器的輸出功率為

下面建立一組優(yōu)化問題并使其解向量p比較精確地?cái)M合于真實(shí)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量b+e.其構(gòu)造思路為:在保證式（14)所示輸出功率P最大化（即pHR-1p最小化)的前提下,限制p的取值范圍,避免其擴(kuò)散到干擾信號(hào)空間.各約束條件的具體描述如下.

不失一般性,假設(shè)期望信號(hào)所在空間區(qū)域Θ及陣列物理結(jié)構(gòu)等先驗(yàn)信息已知（實(shí)際陣列物理結(jié)構(gòu)可能與已知信息存在偏差).現(xiàn)定義如下正定矩陣:

對(duì)式（15)中的F進(jìn)行特征分解,可得

其中,Λ1表示由F的K′個(gè)大特征值組成的對(duì)角矩陣,K′表示干擾信號(hào)總個(gè)數(shù),U1表示Λ1對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣,Λ2表示由F的D+1-K′個(gè)小特征值組成的對(duì)角矩陣,U2表示Λ2對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣.

由于式（15)中F的積分區(qū)間為干擾信號(hào)所在空域,故由式（16)可知:若θ∈Θ,則q（θ)≈U2f2;若θ∈,則q（θ)≈U1f1.其中f1和f2為相應(yīng)的擬合向量.根據(jù),易知:下面定義Δ=qH（θ)Fq（θ),則.由式（16)中Λ1和Λ2的定義易知,Δ在期望信號(hào)空域內(nèi)取值較小,在干擾信號(hào)空域內(nèi)取值較大.令,則通過如下約束條件可使p收斂于Θ對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量空間,即

在滿足式（17)所示準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上,需進(jìn)一步考慮降低干擾信號(hào)所在空域內(nèi)的波束方向圖增益.將p代入式（13),可得波束形成權(quán)矢量（忽略常數(shù)因子)R-1p,據(jù)此可計(jì)算出內(nèi)某點(diǎn)的波束方向圖增益為pHR-1q（θ)qH（θ)R-1p（θ∈).將之推廣到全域,可得旁瓣增益的限制條件為

其中,γ表示可容忍的旁瓣增益上界.

經(jīng)過如上分析,易知文中所提穩(wěn)健波束形成算法可表述為如下優(yōu)化問題:

令B=p pH,由矩陣跡的性質(zhì)易知:pHR-1p=tr（R-1B),,pHFp=tr（FB),pHR-1FR-1p=tr（R-1FR-1B),其中,tr（·)表示求矩陣跡操作.利用上述變換可將式（19)改寫為

其中,rank（·)表示求矩陣秩操作.需要注意,由于ran k（B)=1,為非凸約束條件,式（20)所示的優(yōu)化問題是非凸的.采用文獻(xiàn)[10-11]提出的半定松弛方法,可將式（20)轉(zhuǎn)化為如下凸優(yōu)化問題:

其中,B≥0,表示B為半正定矩陣.式（21)所示的半定規(guī)劃問題可通過現(xiàn)有的凸優(yōu)化工具包（如CVX)求解.需要注意,與原問題式（20)相比,求解問題式（21)所得的松弛解可能不是全局最優(yōu)的（如ran k（B)≠1),此時(shí),可采用文獻(xiàn)[10]提出的隨機(jī)選擇方法得到全局最優(yōu)解.此外,式（21)中的用戶參數(shù)γ可由如下半定規(guī)化問題的解確定:

對(duì)比式（21)與式（22)可知,二者約束條件相同.因此,若使γ≥γmin（γmin表示式（22)的最優(yōu)解),則可在保證式（21)可行解存在的前提下,最大程度地壓低旁瓣增益.同時(shí)易知文中算法利用的先驗(yàn)信息較少（僅需已知Θ和粗略的陣列物理結(jié)構(gòu),而傳統(tǒng)算法需已知對(duì)角加載因子、誤差向量e的范圍和噪聲子空間維數(shù)等信息).

3 仿真結(jié)果與分析

通過計(jì)算機(jī)仿真對(duì)比分析不同信號(hào)模型失配情形下,文中算法和傳統(tǒng)算法的波束形成性能.假設(shè)二級(jí)嵌套陣列陣元總數(shù)為6（其第1級(jí)和第2級(jí)的陣元數(shù)分別為3),各陣元位置坐標(biāo)易由圖1所示的陣列物理結(jié)構(gòu)推得.來自空間不同方向的遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)互不相關(guān),而其與加性高斯白噪聲也不相關(guān).期望信號(hào)DOA的預(yù)設(shè)值為5°,空域變化范圍Θ=[0°,10°],兩個(gè)干擾信號(hào)的DOA分別為40°和60°,干噪比均為30 d B.在對(duì)角加載方法中,對(duì)角加載因子取為2σ2n;在子空間方法和SQP方法中,噪聲子空間維數(shù)假設(shè)已知;在worst-case方法中,誤差向量e的上界取為0.3（D+1).各仿真中蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)均設(shè)為200.

圖4 相干散射模型下各算法性能對(duì)比圖

由圖4所示仿真結(jié)果可知,應(yīng)用文中算法所得的陣列輸出SINR曲線最接近最優(yōu)輸出SINR曲線.這是由于與傳統(tǒng)算法相比,文中算法可精確估計(jì)真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量（傳統(tǒng)算法由于不能獲得完備準(zhǔn)確的先驗(yàn)信息,因而估計(jì)精度較低).由圖4所示子空間方法的輸出SINR曲線可知,在低輸入SNR和小采樣快拍數(shù)情形下,該方法的性能最差.這是由于在上述條件下,噪聲子空間與信號(hào)子空間發(fā)生混疊,導(dǎo)致接收數(shù)據(jù)無法投影到理想的信號(hào)子空間.由圖4（a)所示的各傳統(tǒng)算法的輸出SINR曲線可知,在輸入SNR較高時(shí)各算法性能逐漸惡化.這是由于在此條件下,采樣協(xié)方差矩陣中期望信號(hào)占比較大,然而由于期望信號(hào)的先驗(yàn)信息與真實(shí)信息間存在誤差,故此時(shí)各算法對(duì)期望信號(hào)的抑制效應(yīng)增強(qiáng),造成期望信號(hào)相消現(xiàn)象.

仿真2 各算法對(duì)陣列結(jié)構(gòu)誤差和信號(hào)DOA誤差的穩(wěn)健性分析.仿真中考慮由陣元位置誤差和信號(hào)DOA誤差引起的信號(hào)模型失配現(xiàn)象.在不同蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)中,各陣元的位置誤差相互獨(dú)立且均服從[-0.1λ,0.1λ]（λ表示信號(hào)載波波長)區(qū)間的均勻分布,期望信號(hào)DOA服從均值為5°、方差為2°的高斯分布.圖5（a)為快拍數(shù)固定為30時(shí),各算法的陣列輸出SINR隨輸入SNR變化的曲線;圖5（b)為輸入SNR固定為30dB時(shí),各算法的陣列輸出SINR隨快拍數(shù)變化的曲線.

圖5 存在陣元誤差和DOA誤差時(shí)各算法性能對(duì)比圖

與仿真1的結(jié)果類似,由圖5所示各算法性能曲線的對(duì)比效果可知,文中算法具有最優(yōu)的波束形成性能,同時(shí)圖5（a)的仿真結(jié)果也可說明,隨著輸入SNR的增加,文中算法的輸出SINR不會(huì)如傳統(tǒng)算法般逐漸降低.對(duì)仿真2結(jié)果的分析如仿真1中所述,這里不再贅述.

4 結(jié)束語

筆者提出一種基于干擾-噪聲協(xié)方差矩陣高效重構(gòu)和半定規(guī)劃的二級(jí)嵌套陣列穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法.該算法首先利用ESPRIT算法和接收信號(hào)的DGC模型分別估計(jì)干擾信號(hào)的DOA和功率,進(jìn)而精確重構(gòu)干擾-噪聲協(xié)方差矩陣;其次,利用干擾-噪聲協(xié)方差矩陣和少量先驗(yàn)信息構(gòu)造相應(yīng)的優(yōu)化問題,以恢復(fù)真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量;最后,利用半定松弛方法將所得優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題并借助凸優(yōu)化工具包求解.與傳統(tǒng)穩(wěn)健波束形成算法相比,文中算法對(duì)先驗(yàn)信息的需求較低,并可有效消除高輸入SNR下的期望信號(hào)相消現(xiàn)象.仿真結(jié)果驗(yàn)證了文中算法的有效性.

[1]Cox H,Zeskind R M,Owen M H.Robust Adaptive Beamforming[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech and Signal Processing,1987,35(10):1365-1376.

[2]Feldman D D,Griffiths L J.A Projection Approach for Robust Adaptive Beamforming[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1994,42(4):867-876.

[3]Vorobyov S A,Gershman A B,Luo Z Q.Robust Adaptive Beamforming Using Worst-Case Performance Optimization: a Solution to the Signal Mismatch Problem[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2003,51(2):313-324.

[4]Hassanien A,Vorobyov S A,Wong K M.Robust Adaptive Beamforming Using Sequential Quadratic Programming:an Iterative Solution to the Mismatch Problem[J].IEEE Signal Processing Letters,2008,15(1):733-736.

[5]Vorobyov S A.Principles of Minimum Variance Robust Adaptive Beamforming Design[J].Signal Processing,2013,93 (12):3264-3277.

[6]Piya P,Vaidyanathan P P.Nested Arrays:a Novel Approach to Array Processing with Enhanced Degrees of Freedom [J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(8):4167-4181.

[7]Piya P,Vaidyanathan P P.Nested Arrays in Two Dimensions,Part I:Geometrical Considerations[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(9):4694-4705.

[8]Xu L Z,Stoica P,Li J.A Diagonal Growth Curve Model and Some Signal-processing Applications[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(9):3363-3371.

[9]Gu Y J,Leshem A.Robust Adaptive Beamforming Based on Interference Covariance Matrix Reconstruction and Steering Vector Estimation[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(7):3881-3885.

[10]Luo Z Q,Ma W K,Anthony M C,et al.Semidefinite Relaxation of Quadratic Optimization Problems[J].IEEE Signal Processing Magazine,2010,27(3):20-34.

[11]Hu Z,Qiu R C,Browning J P,et al.A Novel Single-step Approach for Self-coherent Tomography Using Semidefinite Relaxation[J].IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters,2014,11(1):114-118.

（編輯:齊淑娟)

Robust adaptive beamforming with the two level nested array

YANG Jie,LIAO Guisheng,LI Jun
(National Lab of Radar Signal Processing,Xidian University,Xi’an 710071,China)

For the beamforming problem in the two level nested array under the condition of signal model mismatch,this paper proposes a robust adaptive beamforming algorithm based on efficient interferenceplus-noise covariance matrix reconstruction and semi-definite programming(SDP).Firstly,by using the diagonal growth-curve(DGC)model of the received signal and the search-free ESPRIT method,we reconstruct the interference-plus-noise covariance matrix of the virtual array precisely;then,the interference-plus-noise covariance matrix and a little prior information are applied to construct the optimization problem in robust adaptive beamforming,which can effectively decrease the performance degradation of the traditional MVDR filter in nonideal signal circumstances;finally,the optimization problem can be approximately expressed as an SDP problem by using the SDP relaxation method,and we can resort to the convex optimization software to solve it.Simulation results demonstrate that the proposed method achieves a higher output SINR under different input SNRs or sampling snapshots circumstances as compared to traditional methods.

two level nested array;robust adaptive beamforming;interference-plus-noise covariance matrix reconstruction;semi-definite programming(SDP);SDP relaxation

TN958

A

1001-2400（2015)06-0030-07

10.3969/j.issn.1001-2400.2015.06.006

2014-10-10

時(shí)間:2015-03-13

國家973計(jì)劃資助項(xiàng)目（2011CB707001);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61231027,61271292)

楊 杰（1989-),男,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:yangjie_xidian@126.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150313.1719.006.html