段益峰，秦麗霞，于建勇

(中國礦業(yè)大學(xué)，江蘇徐州 221116)

復(fù)擺又稱為物理擺，是一剛體繞固定的水平軸在重力的作用下作微小擺動(dòng)的動(dòng)力運(yùn)動(dòng)體系。通過對復(fù)擺物理模型的分析，可以用來測量重力加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及驗(yàn)證平行軸定理等等［1-3］。復(fù)擺的結(jié)構(gòu)形式有多種，圖1a～c圖3所示是3種常見的結(jié)構(gòu)形式不同的復(fù)擺。

圖1 復(fù)擺示意圖

如圖1(a)所示，剛體繞固定軸O在豎直平面內(nèi)作左右擺動(dòng)，G是該物體的質(zhì)心，與軸O的距離為h，θ為其擺動(dòng)角度。若規(guī)定右轉(zhuǎn)角為正，此時(shí)剛體所受力矩與角位移方向相反，即有

又據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，該復(fù)擺又有

其中I為該物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由公式(1)和(2)可得

其中ω2=。若θ很小時(shí)(θ在5°以內(nèi))近似有

此方程說明該復(fù)擺在小角度下作簡諧振動(dòng)，該復(fù)擺振動(dòng)周期為

利用平行軸定理，設(shè)IG為轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心且與O軸平行時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則有

因此，有

根據(jù)公式(7)可測重力加速度。

1 復(fù)擺為固定剛體時(shí)的實(shí)驗(yàn)方案

對于固定的剛體而言，IG是固定的，因而測量重力加速度時(shí)，只需改變質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。設(shè)質(zhì)心離O軸的距離分別為h1和h2，對應(yīng)周期分別為T1和T2，為使計(jì)算簡化，取h2=2h1，則

圖2 復(fù)擺裝置

測量兩組數(shù)據(jù)，即可求出重力加速度值。如圖1a所示裝置，如果擺桿為輕質(zhì)擺桿，質(zhì)量相對擺錘可以忽略，則復(fù)擺質(zhì)心始終在擺錘質(zhì)心，只需要改變擺錘位置，就可以改變質(zhì)心到復(fù)擺轉(zhuǎn)軸的距離，則公式(8)顯然成立。如圖1b所示裝置，通過刀刃懸掛的復(fù)擺，可以通過改變刀刃的懸掛位置，改變復(fù)擺質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離，在改變質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離的過程中，復(fù)擺是一個(gè)固定剛體，其相對過質(zhì)心且平行于懸掛點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是固定值，因此公式(8)也成立［4］，可以用來測量重力加速度。

2 非固定剛體的復(fù)擺裝置的實(shí)驗(yàn)方案

如圖1a，如果擺桿質(zhì)量不能忽略，復(fù)擺質(zhì)心位置由擺桿和擺錘共同決定，對擺桿和擺錘共同組成的剛體并非固定剛體，則公式(8)并不成立［5-6］。如圖2所示的復(fù)擺裝置，擺桿為鐵質(zhì)擺桿，擺桿質(zhì)量ml=620 g。轉(zhuǎn)軸處采用擺桿座固定擺桿，擺桿可在擺桿座內(nèi)滑動(dòng)以調(diào)節(jié)剛體重心的高度，為防止生銹擺桿座采用鋼材制作，擺桿座質(zhì)量mo=60 g，擺桿上還可以安裝可調(diào)節(jié)位置的擺錘，通過調(diào)節(jié)擺桿座和擺錘的位置可以改變復(fù)擺的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。在本裝置中，移動(dòng)擺桿座和擺錘的位置，則復(fù)擺就不是固定剛體，轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心且與O軸平行時(shí)復(fù)擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IG將隨著擺桿座和擺錘移動(dòng)而改變，公式(8)不再成立。因此重新設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案如下:

由于擺桿質(zhì)量分布均勻，對于勻質(zhì)擺桿，其質(zhì)心位于擺桿中心。擺桿座的存在使質(zhì)心位置發(fā)生改變，若在擺桿上安裝一個(gè)擺錘，擺錘質(zhì)量mo與擺桿座質(zhì)量ma相等，均為60 g，若令擺桿座和擺錘相對擺桿中心對稱安置，如圖1c，則復(fù)擺系統(tǒng)質(zhì)心仍在擺桿中心，如此問題可以簡化。

根據(jù)平行軸定律可知，復(fù)擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

其中IG為包括擺桿座、擺桿和擺錘三者相對過各自質(zhì)心且與O軸平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，ml為擺桿質(zhì)量，ma為擺錘質(zhì)量，h為擺桿中心到擺桿座中心的距離。

將公式(9)代入(5)得復(fù)擺振動(dòng)周期為

其中M=m0+ml+ma為擺桿座、擺桿和擺錘的總質(zhì)量，即復(fù)擺的總質(zhì)量。

使擺桿做微小擺動(dòng)(擺角θ在5°以內(nèi))，用多功能微秒計(jì)測出10個(gè)周期的時(shí)間Δt10(s)，然后，保持?jǐn)[桿座和擺錘相對擺桿中心對稱，移動(dòng)擺桿座和擺錘改變質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離h，并測出擺桿擺動(dòng)10個(gè)周期的時(shí)間，測量多組數(shù)據(jù)，然后計(jì)算出周期，利用公式(10)即可求出重力加速度的值，相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示［7-8］。

表1 測復(fù)擺的振動(dòng)周期

由公式10變換得線性關(guān)系式

h2=，經(jīng)過線性擬合得

h2=0.2136T2h － 0.0287 則 g=0.2136=9.800037027 m/s2，實(shí)驗(yàn)結(jié)果合理。

3 結(jié) 論

復(fù)擺實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)不同，所依據(jù)的原理就不同，要充分考慮到復(fù)擺各部分在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對測量的影響。本文中，針對擺桿座和擺桿質(zhì)量都較大的情況，分析了擺桿座和擺桿對實(shí)驗(yàn)的影響，提出了利用現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)裝置測量重力加速度的優(yōu)化方案，并利用該方案進(jìn)行了測量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果合理。

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