戴拓蘇

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)工具學(xué)科，因而學(xué)以致用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一?；瘜W(xué)是以實驗為基礎(chǔ)的實驗學(xué)科，但實際上數(shù)學(xué)知識在化學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用。中學(xué)化學(xué)中雖然計算不是最為重要的內(nèi)容，但在高考中也同樣占有比較大的比重。一般來說，每年的高考化學(xué)題中計算占了試卷總分的18%左右。如果能將數(shù)學(xué)知識巧妙地結(jié)合到化學(xué)的運算中來，可以少犯錯誤，甚至不犯錯誤。本文就化學(xué)知識結(jié)合數(shù)形巧妙應(yīng)用到化學(xué)的問題解決中的范例進行討論，以期能在化學(xué)學(xué)習(xí)中進行數(shù)學(xué)建模而有助于解決化學(xué)問題。

一、數(shù)形結(jié)合防止漏解

例1現(xiàn)有100 mL 2 mol/L的氯化鋁溶液，向其中加入1 mol/L的氫氧化鈉溶液，最終生成的沉淀質(zhì)量為7.8 g，試求所加氫氧化鈉溶液的體積為 。

解析本題是氯化鋁與氫氧化鈉反應(yīng)的計算題，學(xué)生解決此題并不會感到困難。首先寫出化學(xué)方程式：

AlCl3+3NaOHAl（OH）3↓+3NaCl

由化學(xué)方程式即可計算而得到如果要生成氫氧化鋁的沉淀7.8 g，即0.1 mol的氫氧化鋁，則加入的氫氧化鈉的物質(zhì)的量為0.3 mol，根據(jù)氫氧化鈉的溶液濃度為1 mol/L，所以即可得加入的氫氧化鈉的體積應(yīng)為300 mL。“得來全不費功夫”，學(xué)生會沉浸在問題解決的喜悅中。殊不知，其實本題中出現(xiàn)了漏解！由于最終需得的氫氧化鋁沉淀不是反應(yīng)中得到的最大量沉淀，再因為氫氧化鋁是一種兩性的氫氧化物，它還可溶于氫氧化鈉溶液中，所以除了上述的一個可能的解以外，還會有另一種可能，即先加入氫氧化鈉溶液至氯化鋁完全沉淀而得到最大量的沉淀，然后再加入過量的氫氧化鈉溶液，使得生成的氫氧化鋁沉淀發(fā)生部分溶解而得到剩余的沉淀為7.8 g。即先根據(jù)化學(xué)方程式：

AlCl3+3NaOHAl（OH）3↓+3NaCl

計算得到將所有的氯化鋁全部轉(zhuǎn)化成氫氧化鋁沉淀，得到的氫氧化鋁沉淀為0.2 mol，加入的氫氧化鈉的物質(zhì)的量為0.6 mol，而題中要求得到的沉淀為7.8 g，即0.1 mol沉淀，所以還需要向其中加入氫氧化鈉溶液將多出的0.1 mol氫氧化鋁沉淀溶解，發(fā)生反應(yīng)的化學(xué)方程式為：

Al（OH）3+NaOHNaAlO2+2H2O

從而可得將多余的0.1 mol氫氧化鋁溶解還需加入氫氧化鈉0.1 mol，則可得本題的另一解需要加入氫氧化鈉的物質(zhì)的量為0.7 mol，即加入700 mL的1 mol/L氫氧化鈉溶液。

而如果本題在解決的過程中，結(jié)合氯化鋁與氫氧化鈉反應(yīng)過程中沉淀的變化規(guī)律，將其所得到的數(shù)量關(guān)系反映到一個圖形模型中去，則

可以有效地防止漏解。即，先將“100 mL 2 mol/L的氯化鋁溶液，向其中加入1 mol/L的氫氧化鈉溶液直至過量”中的氫氧化鈉溶液的體積設(shè)為自變量，而氫氧化鋁沉淀設(shè)為應(yīng)變量，做出圖像，如圖1所示。由圖中所示可以看出，得到7.8 g氫氧化鋁沉淀分別所加的氫氧化鈉為a mL、b mL兩種情況；再由圖形中的比例特征也不難可以得到a=300 mL，b=700 mL。

圖1

由以上兩種解決問題的方法不難看出，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法可以有效地防止本題中的漏解現(xiàn)象。其實在化學(xué)中這樣的問題也有很多，如將CO2或SO2通入到澄清石灰水中時，得到沉淀的質(zhì)量與CO2或SO2的關(guān)系問題、在偏鋁酸鈉溶液中加入鹽酸時，得到的沉淀質(zhì)量與加入鹽酸的體積或物質(zhì)的量關(guān)系問題等等，都可以通過數(shù)形結(jié)合的方法有效地防止漏解。

二、數(shù)形結(jié)合防止錯解

例2實驗室制備氯氣除了可以用二氧化錳與濃鹽酸在加熱時反應(yīng)獲得氯氣之外，還有其他許多的方法可以獲得，其中的一種方法是用氯酸鉀與濃鹽酸反應(yīng)也可以獲得氯氣，其反應(yīng)的化學(xué)方程式為：

KClO3+6HCl3Cl2↑+KCl+3H2O

現(xiàn)用該方法制備氯氣標況下的體積為4.48 L，則在反應(yīng)中轉(zhuǎn)移的電子數(shù)為 ，被氧化的HCl是 mol。

解析本題是一個氧化還原反應(yīng)的問題。在氧化還原反應(yīng)中存在著一類發(fā)生在不同價態(tài)的同種元素間的氧化還原反應(yīng)，這類氧化還原反應(yīng)發(fā)生的規(guī)則是“同種元素間的氧化還原反應(yīng)，元素化合價不能發(fā)生變化的交叉”。但這對學(xué)生來說是一個難點，比如我們都知道SO2具有還原性，濃硫酸具有氧化性，但是濃硫酸卻不能將SO2氧化，所以可以用濃硫酸與亞硫酸鈉反應(yīng)制備SO2，這就是因為在濃硫酸中的硫元素的化合價是+6價，SO2中的硫元素化合價是+4價，在這兩種價態(tài)間不存在+5價，所以兩者不能發(fā)生氧化還原反應(yīng)，因為一旦發(fā)生反應(yīng)，勢必化合價的變化一定會發(fā)生交叉。本題中也是一個發(fā)生在同一種元素間的氧化還原反應(yīng)，學(xué)生在分析錯成氯酸鉀中氯化合價降低到-1價，而濃鹽酸中的氯元素化合價升高到0價，這樣的分析也顯得很簡潔，很快也就可以得到在反應(yīng)中生成了1 mol氯氣時轉(zhuǎn)移了電子數(shù)是6 mol，而且6 mol的HCl全部被氧化，也就可以順勢計算出了反應(yīng)中生成了標準狀況下的體積為4.48 L氯氣時，即生成0.2 mol氯氣時，轉(zhuǎn)移了1.2 mol電子，被氧化的HCl的物質(zhì)的量為1.2 mol。這樣在解題中也就出現(xiàn)了這樣的錯解。究其原因主要就是因為沒有將該反應(yīng)的特點吃透，沒有抓住發(fā)生在同種元素間的氧化還原反應(yīng)的主要特征。那么，對同種元素間的氧化還原反應(yīng)，如何分析可以防止這種錯解的出現(xiàn)呢？可以通過數(shù)形結(jié)合的方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)中的數(shù)軸來解決這一問題。

數(shù)軸是數(shù)學(xué)中用來表示數(shù)與數(shù)之間關(guān)系判斷的方法，在數(shù)軸上可以反映出數(shù)與數(shù)的并列關(guān)系、包含關(guān)系或是交叉關(guān)系。因而將這種數(shù)學(xué)模型引入到化學(xué)的問題解決中來，就可以解決同種元素間的氧化還原反應(yīng)的分析，而避免出現(xiàn)錯解。本題中的元素化合價變化是發(fā)生在氯元素間，在數(shù)軸上我們可以用“·”表示反應(yīng)前的氯元素的價態(tài)，用“ °”表示反應(yīng)后的氯元素的價態(tài)，然后用線連接反應(yīng)前、后的兩種不同價態(tài)的氯元素的化合價數(shù)值，在連接后的數(shù)軸中不能出現(xiàn)線與線的交叉，這樣就可以把該類氧化還原反應(yīng)的正確原理和化合價的變化情況反映到數(shù)軸中，也就解決了氧化還原反應(yīng)中的一大“疑難雜癥”。本題中的氯元素化合價變化的數(shù)軸圖示如圖2所示。

圖2圖3

由圖2所示可以看出發(fā)生+5價氯元素與-1價氯元素間的氧化還原反應(yīng)，元素的化合價向中間價態(tài)靠攏而不發(fā)生變化的交叉，所以在反應(yīng)中氯氣既是氧化產(chǎn)物，也是還原產(chǎn)物，從而可以知道在該反應(yīng)中每生成1 mol氯氣時只有5 mol的HCl被氧化而轉(zhuǎn)移了5 mol電子，從而根據(jù)題意計算出，生成了0.2 mol氯氣時，反應(yīng)中被氧化的HCl物質(zhì)的量為1 mol，轉(zhuǎn)移了1 mol電子；而與之比較的是前述解法中顯示的錯誤解析，發(fā)生在+5價與-1價的氯元素間的氧化還原反應(yīng)中，錯誤地將+5價氯元素化合價降低分析成了到-1價，由此可以作出圖3所示的分析，我們從圖3中可以看出，其化合價的變化發(fā)生了交叉，這樣的分析就是錯的。所以應(yīng)用這種數(shù)形結(jié)合的模型，可以很一目了然地看出這種同種元素間的氧化還原反應(yīng)的化合價的變化規(guī)則，從而避免了對該類氧化還原反應(yīng)的分析錯誤。

數(shù)學(xué)是純抽象的“無意義”運算，所以它僅僅是一個工具，化學(xué)是對一些數(shù)值賦予了一定物理意義的“有意義”運算。將數(shù)學(xué)中的一些與數(shù)結(jié)合的圖形模型，賦予一定的物理意義后，進行數(shù)形結(jié)合，就可以拓展思維寬度和深度，從而可以尋找到更適合于解決化學(xué)問題的數(shù)學(xué)方法。

（收稿日期：2015-03-20）