蘇建強(qiáng)

一、背景分析

浙教版《數(shù)學(xué)》七上“一元一次方程的應(yīng)用（1）”既是對解一元一次方程學(xué)習(xí)的自然延伸和拓展，也是建構(gòu)方程、函數(shù)模型解決實際問題的起始課，因而該內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計倍受教師的關(guān)注.但通過對大量相關(guān)教參、課件及設(shè)計的研究發(fā)現(xiàn)：一部分設(shè)計中，由于教師漠視了對方程建?；舅枷敕椒ǖ臍w納和提煉，教學(xué)過程成了小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容的翻版和重復(fù)；而絕大部分設(shè)計中，因為缺失了學(xué)生對“為什么列方程”“怎么列方程”“怎么審題”“為什么要檢驗”等問題釋疑的設(shè)計，致使整個教學(xué)過程脫離了學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū).

二、目標(biāo)定位

（1）在實踐探究中通過“類比”理解方程建模的必要性和一般方法，體會模型、類比思想在實際生活中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力；

（2）通過對不同問題解決的類比、歸納，獲得并完善列方程解應(yīng)用題的初步經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識的能力.

三、教學(xué)片段的設(shè)計與實踐

（一）類比算理悟優(yōu)劣

設(shè)計中通過播放一段有關(guān)2014年仁川亞運會的視頻，并由嘉嘉和善善的對話引入正題.

活動背景1 中國隊在此次亞運會上共獲得金牌151枚，銀牌108枚，銅牌83枚.

問題1 中國代表隊獲得的金牌數(shù)是印度代表隊獲得的金牌數(shù)的13倍還多8枚，求印度隊在本屆亞運會上共獲得了幾枚金牌.

學(xué)生很快得到了以下兩種列式的方法：

算式法：（151-8）÷13.

方程法：設(shè)印度隊獲得x枚金牌數(shù)，由題意可得13x+8=151.

問題2 這兩種方法在思考問題的方向上有什么區(qū)別？

生：列算式是逆向的，列方程是正向的.

師：讓我們一起回憶一下小學(xué)里列算式解應(yīng)用題的一般思路：理清數(shù)量關(guān)系（如圖1，教師結(jié)合課件，一邊播放一邊引導(dǎo)學(xué)生分析）.

再倒過來列算式，這時是逆流而上（教師故意放慢語速，并配以自下而上的手勢）.而列方程呢，只要用字母表示未知量，順流而下，省時又省力（教師加快語速，同樣配以自上而下的手勢）.（略停頓）既然這樣，今天我們就選擇順流而下，看看列方程解應(yīng)用題在初中又會是怎樣的呢？（至此新課的導(dǎo)入已是水到渠成）

點評：設(shè)計中教師以仁川亞運會中，中國代表隊和印度代表隊所獲獎牌數(shù)為背景引入新課，符合七年級學(xué)生對新鮮事物充滿好奇的心理特點，從而有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的興趣.再通過類比兩種列式的方法在思維上的異同，輔之以媒體、語速和手勢的變化，使學(xué)生較直觀地感受到列方程的優(yōu)勢所在，既能激起學(xué)生自覺選擇列方程解應(yīng)用題的熱情，又能促使學(xué)生獲得方程建模的先行組織者.

（二）類比三量悟分工

活動背景2 嘉嘉、善善兩人分別從相距49千米的“新聞中心”和“華城體育場”騎自行車相向而行，嘉嘉比善善提前半小時出發(fā)，且每小時比善善少行2千米，當(dāng)善善出發(fā)后2小時兩人相遇.

問題3 根據(jù)已知條件，我們還可以得到哪些信息呢？

生：（幾乎異口同聲）可以求嘉嘉和善善的速度；（零星的幾個聲音）那也可以求他們相遇時所走的路程.

師：那就求一求嘉嘉和善善的速度分別是多少吧！

教師要求學(xué)生獨立完成，之后引導(dǎo)學(xué)生針對解題過程中的問題分析原因，并歸納得列方程解應(yīng)用題的一般步驟.在此過程之中，學(xué)生還展示了不同的設(shè)元方法及所列方程.

方法1：設(shè)嘉嘉的速度為x千米/小時，可得2.5x+2（x+2）=49；

方法2：設(shè)善善的速度為x千米/小時，可得2.5（x-2）+2x=49；

方法3：設(shè)嘉嘉相遇時所走的路程為x千米，可得+2=；

方法4：設(shè)善善相遇時所走的路程為x千米，可得+2=.

問題4 在行程問題所涉及的三個基本量（速度、時間、路程）中，針對嘉嘉、善善來說哪些是已知量，哪些是未知量？

問題5 這兩個未知量在設(shè)元和列方程時，分別扮演了哪個角色？

通過對已知條件的分析可知嘉嘉和善善兩人相遇時所用的時間是已知量，速度及所走路程是未知量.進(jìn)而在對上述4種典型解法的類比分析后，不難歸納得到解決行程問題時三個基本量扮演著不同角色，即“一量知，一量設(shè)，還有一量列等量”.

點評：在教學(xué)設(shè)計中，教師沒有采用師生共同“分析題意—列方程解題—歸納一般步驟”的常規(guī)思路.而是基于學(xué)生已有發(fā)展水平，采用了學(xué)生“體驗列方程解題—交流解題思路—歸納一般步驟”的教學(xué)策略，充分關(guān)注了學(xué)生“主體”地位的發(fā)揮.在引導(dǎo)學(xué)生分析三量間的分工時，教師更以一句“難道，這三量之間還真有分工？”燃起了學(xué)生通過“類比”的方法尋求不同方法中所隱含的規(guī)律的熱情.

（三）類比方程悟本質(zhì)

正當(dāng)學(xué)生沉浸于發(fā)現(xiàn)三量分工的竊喜之中時，教師給出了第6問.

問題6 審題分析有章可循了，列方程有規(guī)律嗎？有怎樣的規(guī)律呢？

教師通過引導(dǎo)學(xué)生類比上述的方法1、方法3所列方程兩邊的代數(shù)式進(jìn)行分析，歸納得到列方程的實質(zhì)是“用不同的代數(shù)式表示同一個量，并用等號連結(jié)”，列方程的基本方法是“直接列，間接列，兩式等號兩邊立”.

師：（教師指著板書中的4種典型解法）請按照大組序號分別選擇對應(yīng)的設(shè)元方法，再列出一個不同形式的方程，并說說方程兩邊的代數(shù)式都表示什么？

片刻之后，學(xué)生所列的方程就五花八門地呈現(xiàn)在黑板上了.

方法1：根據(jù)相遇時嘉嘉所走路程得2.5x=49-2（x+2）；方法2：根據(jù)相遇時善善所走路程得2（x+2）=49-2.5x；方法3：根據(jù)嘉嘉的速度得=-2；方法4：根據(jù)兩人速度差為2得-=2；…endprint

點評：一波未平又起一浪，隨著問題6的解決，讓原本“眼前一亮”的學(xué)生更體會到了數(shù)學(xué)的“神奇”.隨著學(xué)生所列的新方程在黑板上令人眼花繚亂地呈現(xiàn)之時，聽課教師眼中的“列方程解應(yīng)用題，會者自會，不會者學(xué)也學(xué)不會”的“魔咒”不攻自破，學(xué)生心中的“數(shù)學(xué)不難，數(shù)學(xué)問題的解決是有規(guī)律的”之感油然而生.

（四）類比沖突顯地位

活動背景3 某天，游泳中心共賣出門票1601張，折合人民幣的收入為61639元，全價票為每張40元，折扣票每張為全價票的九折.

問題7 請求出這天游泳中心共賣出全價票幾張？

由“活動背景2”的鋪墊，大部分學(xué)生很快就完成了設(shè)元、列方程兩個步驟.不一會兒，幾個解題速度較快的同學(xué)面露“難”色，口中念叨著“老師，怎么票子的張數(shù)不是整數(shù)？”與此同時，在教室里聽課的幾個老師也竊竊私語起來.

師：不會吧！票子的張數(shù)肯定是正整數(shù)，同桌之間互相檢查一下，是不是方程列錯了，要么是方程解錯了，照理不可能有其他原因了.

生：老師，我的做法應(yīng)該沒有問題（聲音顯得有些不自信）.

師：讓我們一起看看這位同學(xué)的解法，問題到底出在哪里？

通過師生共同分析發(fā)現(xiàn)這位同學(xué)的解法的確沒有問題，且75%的同學(xué)采用了類似的做法.此時教師話鋒一轉(zhuǎn)，道明緣由“原來是在網(wǎng)上搜索數(shù)據(jù)時把總收入的個位數(shù)抄錯了”，并引出下問.

問題8 請把總收入的個位數(shù)改一改，使這天賣出的票數(shù)為整數(shù).

隨著教室后排的一個聲音響起（老師，只要把“9”改成“6”就可以了），教師有意安排的“思維沖突”逐漸進(jìn)入了收尾小結(jié)階段.

點評：問題解決后的反思向來是學(xué)生的一個“弱項”，教師再三強(qiáng)調(diào)的“檢驗”在關(guān)鍵時刻學(xué)生還是會“忘了”.在“活動背景2”的解決中，教師只點到為止說明了列方程解應(yīng)用題要求檢驗，并沒有做過多強(qiáng)調(diào).而在“活動背景3”的解決中，教師卻有意安排了一個“錯誤”營造檢驗必要性的“氛圍”，這樣的類比也是本環(huán)節(jié)設(shè)計中獨具匠心之處.隨著從“6錯抄成9”到“9還原成6”（當(dāng)然，9也可還原成2）的“思維沖突”的形成與“數(shù)據(jù)修復(fù)”的完成，驗根反思的必要性也深深映入學(xué)生的記憶之中.

（五）類比情境悟通法

問題9 “活動2”“活動3”中問題的解決都用了列方程的方法，類比兩活動的背景你能找出它們之間的聯(lián)系嗎（教師在“背景”兩字上略加重語氣）？

“如果把票子的單價看作是速度，那么票子的張數(shù)就是時間……”，學(xué)生七嘴八舌地互相補(bǔ)充后，教師如圖2點明了這類問題的實質(zhì)都是a×b=c型的問題.接著教師又如此引導(dǎo)道：“其中三量間的分工，一量知，一量…… ”

點評：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有一定解題的量的積累就不可能有學(xué)生對數(shù)學(xué)本源的質(zhì)的感悟，但只有解題而缺少類比、反思的學(xué)習(xí)將留下的是“入得寶山而空手歸”的遺憾.“問題9”的設(shè)計不僅給人以在整個教學(xué)設(shè)計中有“長江后浪推前浪”之感，還讓人看到了“輕負(fù)高質(zhì)”“走出題?！钡囊痪€曙光.

四、思考

（一）基于學(xué)生疑問明確教學(xué)重難點

在教學(xué)設(shè)計中，很多教師都苦于找不到“過人之處”，抱怨自己的課“很難上”.其實，這樣的課往往是努力方向最明確、潛在亮點最多的課，學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑問就是教學(xué)設(shè)計中的亮點所在之處.本課設(shè)計中，教學(xué)始終圍繞“為什么要列方程而不用算式”“怎么分析題意、審題”“列方程的一般方法是怎樣的”“為什么一定要檢驗”等問題展開，一環(huán)緊扣一環(huán)，每一活動的開展都基于之前學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自然又不流于形式.

（二）著眼學(xué)生能力提升開展類比體驗

鄭毓信教授曾指出數(shù)學(xué)就是要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的眼睛看世界”.而用數(shù)學(xué)的思維思考問題，用數(shù)學(xué)的眼睛看世界的基本方法之一就是“類比”.比較才知事物之間的相同點——聯(lián)系，比較了才明事物之間的不同點——區(qū)別，只有知“聯(lián)系”明“區(qū)別”，才能真正認(rèn)識事物的本質(zhì).本課設(shè)計中，從“選擇列方程的方法解應(yīng)用題”到“問題解決中檢驗必要性的體驗”，都以學(xué)生親身經(jīng)歷為切入點，通過營造適合學(xué)生實際的教學(xué)情境實現(xiàn)“類比”；從“三量之間的分工”“列方程的基本方法”到“不同題型的通解通法”的歸納，無不在學(xué)生一次次的觀察、類比、猜想與驗證中完成. 在一次次的“類比”中，學(xué)生的思維得到了發(fā)展，能力得到了提升.endprint