朱恒元

賦、比、興是詩經(jīng)的三種主要表現(xiàn)手法.賦就是平鋪直敘，把思想感情及其有關(guān)的事物直接表達(dá)出來；比就是打比方，以彼物喻此物，使之更加生動具體、鮮明淺近，便于人們聯(lián)想；興就是先言他物，以引起所詠之詞，由托物起興引出所要表達(dá)的事物、思想、感情，激發(fā)聯(lián)想，增強(qiáng)意蘊(yùn)，產(chǎn)生形象鮮明、情意盎然的藝術(shù)效果.人云“文理相通”， 教學(xué)實踐表明，自覺借鑒和運(yùn)用“賦”“比”“興”手法，就能增強(qiáng)和提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.筆者曾在一次數(shù)學(xué)教研活動中上過一堂“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”公開課，試想從這節(jié)課的教學(xué)展開去，淺談這方面的實踐和認(rèn)識.

一、實錄教學(xué)片段

教學(xué)片段1

師：請思考回答，平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是什么？

生：圓.

師：取一條一定長的細(xì)繩，把兩端固定在同一點，用筆尖把繩子拉緊，使筆尖在黑板上慢慢移動，就可以畫一個圓.請同學(xué)們求出這個圓的方程.

生：x2+y2=r2.

師：皮之不存，毛將焉附？首先，我們應(yīng)設(shè)細(xì)繩的長度，在這里設(shè)2a還是a好？其次，還應(yīng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，如何去建立？

生：2a好.

請一位同學(xué)來做后一項工作，并寫出圓的方程：x2+y2=a2.

師：很好！剛才這位同學(xué)合理地運(yùn)用了建系的兩項原則：1.使兩坐標(biāo)軸盡量經(jīng)過定點；2.充分利用圖形的對稱性.

教學(xué)片段2

師：大家還能說出具有哪些特征的點的軌跡也是圓嗎？

請學(xué)生們回憶教科書中例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中有關(guān)圓的軌跡命題.

生：到兩定點距離平方和等于常數(shù)的點的軌跡是圓；到兩定點距離之比為常數(shù)（不等于1）的點的軌跡是圓等.

師：我們已經(jīng)知道“到兩點距離平方和為常數(shù)”或“到兩定點距離之比為常數(shù)”的點的軌跡，你是否可類似地提出一些軌跡命題進(jìn)行廣泛的探索？類比、聯(lián)想、直覺是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的三大法寶.請同學(xué)們嘗試加以運(yùn)用.

討論片刻，學(xué)生會紛紛提出：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到定點與定直線距離相等的點的軌跡.”

……

師：請同學(xué)在課外運(yùn)用坐標(biāo)法探求它們的方程，運(yùn)用列表描點，繪出大致圖形.剛才有同學(xué)提出“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是什么”，這里當(dāng)然要加上“平面內(nèi)”這個前提.本節(jié)課我們就專門對這個問題作些探討.

取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點，當(dāng)細(xì)繩大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就畫出一個橢圓.

教學(xué)片段3

師：橢圓在哪些地方見過？

生：汽車油罐橫截面的輪廓；天體行星的運(yùn)行軌跡；立體幾何中水平放置的圓的直觀圖……

師：當(dāng)細(xì)繩長度不變時，逐漸增大F1F2，你會發(fā)現(xiàn)圖形如何變化？

生：橢圓越來越扁，最后幾乎變成一條線段.

師：當(dāng)繩長小于F1F2時呢？

生：軌跡不存在.

此時，教師及時引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓定義，并經(jīng)過修改、補(bǔ)充，得出橢圓的確切概念.

生：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫作橢圓.

師：這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作焦距.

教學(xué)片段4

師：由橢圓定義（文字語言）可以發(fā)現(xiàn)橢圓的基本幾何特征——具有對稱性（圖形語言），為研究橢圓的其他性質(zhì)，需要利用坐標(biāo)法建立橢圓的方程（符號語言）.

師：如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？

生：提出兩種方案（見圖1、圖2）.

讓學(xué)生比較、選擇，因為橢圓具有對稱美，所以直角坐標(biāo)系建立也應(yīng)該具有對稱美，無疑選擇方案2好.

師：那對“F1F2”、“距離和這個常數(shù)”如何設(shè)值呢？

師：方程③顯然比方程①簡單.因為橢圓具有對稱美，所以我們同樣渴望方程也具有對稱美！怎么辦？

生：注意到a>c，可設(shè)b2=a2-c2，于是方程③又化為+=1.

師：大功告成.請同學(xué)們回顧一下，當(dāng)初若把焦距及動點到兩焦點的距離之和分別為a和c，會得到美麗的方程③嗎？對美的追求必會獲得美的果實.現(xiàn)在引入b，就是對美的追求！接下來，我們還將看到這種追求得到了美的回報——橢圓的幾何性質(zhì)會鮮明而簡潔地呈現(xiàn)在我們的面前！

師：那么，橢圓的焦點在y軸上，即焦點為F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）時，如圖3，橢圓的方程又應(yīng)該怎樣？憑你的經(jīng)驗和直覺猜猜看.

生：+=1.（a>b>0）

師：為什么？endprint