色散媒質(zhì)二階時(shí)域參量的演繹

高本慶

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院，北京 100081)

摘要為了實(shí)現(xiàn)色散媒質(zhì)二階時(shí)域參量的變換,提出將色散媒質(zhì)二階參量演繹為時(shí)域參量的方法．以德拜媒質(zhì)水為對(duì)象,依據(jù)其本構(gòu)參量和平面波在空氣-水分界面上頻域反射和透射系數(shù),先建立其頻域超越方程式;再依據(jù)易于得到的本構(gòu)時(shí)域參量和待求的時(shí)域參量建立起其相應(yīng)的時(shí)域超越方程式,對(duì)其用迭代方法可演繹出二階時(shí)域參量．通過時(shí)-頻變換技術(shù)已證明方法的有效性．給出演繹過程和技術(shù)要點(diǎn),并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了討論,展示了因果關(guān)系．本演繹技術(shù)具有拓展延伸的潛力．

關(guān)鍵詞色散媒質(zhì)；時(shí)域參量；迭代

中圖分類號(hào)O441.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1005-0388(2015)04-0635-05

AbstractTo reach the second order time domain parameter of dispersive medium, a new deduction method is presented. The observed medium is the water of Debye type, where a plane wave is incident upon air-water interface that results in reflection and transmission coefficient in frequency domain. The deduction processes are: the frequency domain transcendental equations of above parameters are first set up; then time domain transcendental equations of above parameters are reached by the transform; based on an iterative process the expected time domain parameters are last found out. In paper the method has been validated. The deduction process and technical points are described. The obtained results are discussed that exhibits causality. It is expected that the deduction method has a potential of extension application.

收稿日期：2014-06-16

作者簡(jiǎn)介

Deduction of second order time-varying

parameter in dispersive media

GAO Benqing

(SchoolofInformationandElectronics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

Key words dispersive media; time domain parameter; iterative

引言

自然界中,除真空外幾乎所有的媒質(zhì)都具有色散特性．研究媒質(zhì)色散特性的主要內(nèi)容之一是考察它在外電磁場(chǎng)作用下的物理機(jī)理和本構(gòu)關(guān)系,及電磁波的傳播特性．這種本構(gòu)關(guān)系一般是通過媒質(zhì)的基本電參量表述的．從考察的要點(diǎn)上,媒質(zhì)及波傳播特性,通常是在頻域或時(shí)域上描述的,這兩者間是‘一分為二’的辯證關(guān)系,二者可以通過數(shù)理分析或測(cè)量手段單獨(dú)獲取,也可通過數(shù)理分析而相互變換本文在研究德拜型色散媒質(zhì)水的本構(gòu)參量和平面波在空氣-水分界面上的反射和透射的二階參量基礎(chǔ)上,發(fā)展了一種由頻域二階參量演繹出相應(yīng)時(shí)域參量的漸近迭代技術(shù)．建立了時(shí)域參量的基本方程式,表述了實(shí)施演繹的技術(shù)要點(diǎn)和實(shí)施演繹的過程．并對(duì)演繹的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證和討論,表明在由低頻至自由偶極取向極化的響應(yīng)頻段107~1010Hz上,所得結(jié)果是正確的．

聯(lián)系人： 高本慶 E-mail：gaobq@bit.edu.cn

和演繹．這方面進(jìn)展見相關(guān)文獻(xiàn)[1-4]．

1理論和技術(shù)

1.1由本構(gòu)關(guān)系談起

電磁波與任意媒質(zhì)作用時(shí),其電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H都對(duì)媒質(zhì)的原子產(chǎn)生影響,但對(duì)一般媒質(zhì)電場(chǎng)比磁場(chǎng)的影響大得多．如水根據(jù)介質(zhì)磁化規(guī)律[5],水的磁化率很小(-0.9×10-5),故忽略磁場(chǎng)的影響．主要考慮水對(duì)電場(chǎng)的響應(yīng),可用極化強(qiáng)度P或電位移D來描述外加均勻電場(chǎng)的響應(yīng)．當(dāng)外加場(chǎng)是時(shí)諧場(chǎng)時(shí),對(duì)于德拜型媒質(zhì)水可用復(fù)介電常數(shù)描述[1]

ε(ω) =ε′(ω)-iε″(ω)

=εh+(εs-εh)/(1+iωτ).

(1)

式中: εh是高頻介電常數(shù)， εs是靜態(tài)介電常數(shù); ω=2πf; τ是弛豫時(shí)間．對(duì)于媒質(zhì)水:εh=1.8,εs=81,τ=9.4×10-12,即

(2)

通過拉普拉斯變換,可以得到與式(2)對(duì)應(yīng)的時(shí)域式

(3)

式中δ(t)是單位沖擊函數(shù)(Dirac函數(shù))

回顧電磁波在空氣-水分界面上的反射和透射問題．如圖1所示,任一時(shí)諧波向其分界面入射時(shí),在t≥0時(shí)刻,在分界面處,其頻域反射和透射系數(shù)是如下的經(jīng)典公式:

圖1　平面波向空氣-水分界面投射時(shí)的反射和透射

1+R=T;

(4)

(5)

(6)

式中: R和T分別是頻域反射和透射系數(shù); ε(ω)是色散媒質(zhì)水的介電常數(shù)．

1.2演繹方程式

由頻域式(4)、(5)、(6)演繹出相對(duì)應(yīng)的時(shí)域反射和透射系數(shù)r(t)和t(t)是本文的核心．由于式中出現(xiàn)了本構(gòu)參量的無理函數(shù)形式,使得直接通過頻域-時(shí)域的變換法演繹出r(t)和t(t)的難度很大．但在得知如下頻域到時(shí)域變換

(7)

對(duì)此式施以拉普拉斯逆變換,并用二頻域函數(shù)相乘,其對(duì)應(yīng)的時(shí)域參量為卷積形式,得

r(t)=esqr(t)-δ(t)-r(t)*esqr(t),

(8)

(9)

其對(duì)應(yīng)的時(shí)域是

t(t)=2esqr(t)-t(t)*esqr(t).

(10)

式(8)和(10)是關(guān)于r(t)和t(t)的特種超越方程式,可用迭代方法求解(見第2節(jié))．

2實(shí)施和驗(yàn)證

對(duì)式(8)和(10)施以迭代計(jì)算,其實(shí)施步驟和技術(shù)要點(diǎn)如下:

2.1. 迭代步驟

以求r(t)為例,

1) 生成其初始時(shí)間序列r0(i),和esqr(i)序列,i=0,1,…,n;

2) 計(jì)算卷積r0(i)*esqr(i),并對(duì)所得序列的偶數(shù)項(xiàng)采樣，i=0,1,…,n;

由于遞推算法只有加法運(yùn)算，而沒有乘法運(yùn)算，因此，該算法具有較高的運(yùn)算效率。插補(bǔ)計(jì)算的初始條件（i=0時(shí)）如下式所示：

3) 由式(8)求得序列r1(i),稱作1級(jí)近似．

重復(fù)步驟2)和3)得到2級(jí)近似r2(i),以此類推．由式(10)求取t(t)的迭代步驟相似．

2.2幾個(gè)技術(shù)點(diǎn)

1) 關(guān)于響應(yīng)時(shí)間序列的長(zhǎng)度和間隔

時(shí)間的總長(zhǎng)度密切依賴于弛豫時(shí)間τ的大?。?jì)算表明:時(shí)間的總長(zhǎng)度應(yīng)取≥3→5τ,而序列間隔時(shí)間取Δt=τ/100．

由于所求的r(t)和t(t)是用式(8)和(10)通過卷積和代數(shù)運(yùn)算的迭代逼近而求得的,眾所周知:卷積結(jié)果的時(shí)間長(zhǎng)度等于二序列的長(zhǎng)度和減1,這表明:每次迭代將使序列的長(zhǎng)度加長(zhǎng)近一倍．為方便運(yùn)算,本文取esqr(i)和r(i)序列的長(zhǎng)度均為 1 024=210．每次卷積生成的新序列,僅采樣其偶數(shù)項(xiàng)序列以代表卷積結(jié)果．這樣處理,保證了所有時(shí)間序列的長(zhǎng)度不變．

2) 關(guān)于δ(t)的計(jì)算,依其定義可得

(11)

本文取Δ=dt/100,dt=τ/100．

關(guān)于計(jì)算esqr(t)的初始時(shí)間,用Δ=dt/100替代初始時(shí)間0值．

3) 關(guān)于初始時(shí)間序列的選取

初始時(shí)間序列r0(i)和t0(i)可用具有初始沖擊的脈沖,其序列長(zhǎng)度是1 024．例如,r0(i)=1×10-3,i=0,1,2,…,1 024．

2.3結(jié)果和驗(yàn)證

所得結(jié)果r(t)和t(t)示于圖2．其中圖2(a)表示反射系數(shù)隨時(shí)間步數(shù)(步長(zhǎng)Δt=τ/100)的變化,其初始躍升很大,即在時(shí)間步0~1處由-275×102

(a) 時(shí)域反射系數(shù)

(b)時(shí)域透射系數(shù) 圖2　平面空氣-水分界面上時(shí)域反射和透射系數(shù)

躍升到-2.5×10-2,后緩慢上升,仍有小的躍變,但趨于0值．圖2(b)表示透射系數(shù)的變化,其變化規(guī)律與反射系數(shù)相反:初始躍降由1.2至-4.8×10-2,后緩慢變化趨于0值．二者共同特征是:均有一個(gè)初始沖擊(大的躍變),后慢變(包括小躍變)趨于0值．

(a) 幅值

(b) 相角 圖3　平面波向空氣-水分界面入射,其R(t) 的頻譜計(jì)算值與理論值的比較

為了驗(yàn)證圖2(a)的正確性,對(duì)其施以拉氏變換并與其理論值比較,結(jié)果示于圖3．圖3(a)和圖3(b)分別表示頻域反射系數(shù)的幅值和相角隨頻率的變化，由于頻率變化需含概多個(gè)數(shù)量級(jí),故圖中橫軸是對(duì)數(shù)標(biāo)度log10(f)．由圖可見,在f<10GHz時(shí)計(jì)算幅值與理論值幾乎完全重合,而達(dá)10GHz或略大于10GHz時(shí),二幅值仍吻合較好,幅角差為1度．

再驗(yàn)證t(t)的正確性,同理對(duì)其施以拉氏變換,得到T(f)．進(jìn)一步用式(4)考查|1+R(f)|=|T(f)|是否滿足．結(jié)果示于圖4,可見當(dāng)f<10GHz時(shí)二者幾乎完全重合,當(dāng)f=10GHz或略大時(shí),二者仍相近．

圖4　平面波向空氣-水分界面入射,其t(t)的頻譜 |T(f)|與|1+R(f)|的比較

3討論和結(jié)論

1) 本文是由德拜型色散媒質(zhì)復(fù)介電常數(shù)式(2)出發(fā),以平面波在空氣-水分界面上的反射和透射的物理量為對(duì)象,而開展其時(shí)域反射和透射系數(shù)演繹的．如追根求源到20世紀(jì)初的德拜年代,式(2)是用布朗運(yùn)動(dòng)研究自由偶極子取向極化特性而得到的,這類自由偶極子取向極化的響應(yīng)頻段約為107~1010Hz．幸運(yùn)的是,由本文演繹得出的時(shí)域反射和透射特性,在上述頻段上與理論值吻合較好．演繹得出時(shí)間長(zhǎng)度為10個(gè)德拜弛豫時(shí)間τ的r(t)和t(t)具有明顯的初始沖擊和局部躍變分布,這種時(shí)域特性亦與推演復(fù)介電常數(shù)式(2)時(shí)對(duì)激勵(lì)情況的各種假定相一致,可以認(rèn)為本文結(jié)果是前者的‘推演’．

2) 回到圖1和式(4)~(6)．設(shè)空氣中一時(shí)諧波Ei=1eiω t向水面入射,則在分界面兩側(cè)的反射和透射波分別是R(ω)eiω t和T(ω)eiω t,即

Er(ω)=R(ω)Ei, Et(ω)=T(ω)Ei.

(12)

所對(duì)應(yīng)的時(shí)域關(guān)系式為

(13)

令ei=δ(t),則時(shí)域反射和透射波可分別表示:

er(t)=r(t)*δ(t)=r(t);

(14)

et(t)=t(t)*δ(t)=t(t).

(15)

這意味著,本文所得的r(t)和t(t)可以看成是單位沖擊脈沖入射向分界面所產(chǎn)生的響應(yīng)．

3) 研究正弦和余弦型波入射向分界面所產(chǎn)生的響應(yīng):即

ei=sin(ωt)orcos(ωt);t≥0,

(16)

其透射波可分別表示為

e(t)=t(t)*ei.

(17)

這里的透射波是指分界面上媒質(zhì)水一側(cè)面上的波．令入射平面波頻率和時(shí)間步長(zhǎng)為

f=8×109Hz(ω=2πf),Δt=9.4×10-14,

由式(14)得結(jié)果示于圖5．

(a) 總場(chǎng)

(b) 瞬態(tài)場(chǎng)

(c) 穩(wěn)態(tài)場(chǎng) 圖5　正弦和余弦型波平面波向空氣-水 分界面入射,其透射波分布

圖5(a)是透射波(總場(chǎng))分布,其對(duì)應(yīng)正弦余弦波入射的響應(yīng)均已標(biāo)注,在時(shí)間t=0附近透射波隨時(shí)間分布均不同于入射波．其余弦入射波的響應(yīng)尤為明顯;大約在t>300Δt時(shí),透射波場(chǎng)分別趨于正弦和余弦分布．該結(jié)果與經(jīng)典電磁場(chǎng)理論是一致的,即場(chǎng)的通解=瞬態(tài)解+穩(wěn)態(tài)解．可由所得總場(chǎng)(通解)和穩(wěn)態(tài)場(chǎng)提取瞬態(tài)場(chǎng)．圖5(b)表示t<300Δt,正弦和余弦型波入射時(shí)的瞬態(tài)場(chǎng),可見正弦波入射時(shí)的瞬態(tài)場(chǎng)比余弦波入射時(shí)的瞬態(tài)場(chǎng)小得多．需要指出,當(dāng)兩種入射波的幅值為1時(shí),其透射波穩(wěn)態(tài)場(chǎng)的幅值均為0.21(與頻域透射波值一致);但兩種透射波的零值點(diǎn)相對(duì)于其入射波分別移動(dòng)了37Δt(對(duì)應(yīng)相位5度)．

4) 應(yīng)當(dāng)指出,本文解是由迭代逼近得到的,是一種近似解．但多次計(jì)算表明所得結(jié)果r(t)和t(t)的基本特性(二者隨t‘反向’分布,均有初始沖擊和局部躍變分布,后趨于0值)不變化,變化僅出現(xiàn)在其頻譜的高頻段與理論值的逼近程度上．

5) 本文由德拜型色散媒質(zhì)水的介電常數(shù)式出發(fā),初次演繹得出平面波入射向空氣-水分界面上的瞬態(tài)反射和透射波,并討論了瞬態(tài)分布及其因果關(guān)系．可以展望本文的演繹理論和技術(shù)具有拓展延伸的潛力．

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高本慶(1936-),男，安徽人，北京理工大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師．主要研究方向?yàn)闀r(shí)域電磁場(chǎng),微波技術(shù),電磁兼容,天線．

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