王志剛，姚 艷，董書一

(1. 阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2. 阜陽城郊中學(xué)，安徽 阜陽 236000；3.蚌埠三十一中，安徽 蚌埠 233000)

導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)探究

王志剛1，姚 艷2，董書一3

(1. 阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2. 阜陽城郊中學(xué)，安徽 阜陽 236000；3.蚌埠三十一中，安徽 蚌埠 233000)

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的核心概念之一，在自然科學(xué)，工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等最優(yōu)化問題中有著非常廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的概念具有較強(qiáng)的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，許多學(xué)生都未能掌握其思想和本質(zhì)。為了幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)，在課堂教學(xué)中可先結(jié)合具有專業(yè)背景的實例和微積分發(fā)展史，引出導(dǎo)數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；再通過極限理論，完成導(dǎo)數(shù)概念的感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華；最后，挖掘?qū)?shù)蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，培養(yǎng)大學(xué)生的辯證唯物主義觀。

導(dǎo)數(shù)；極限；平均變化率；瞬時變化率

高等數(shù)學(xué)是理學(xué)類、工程類和經(jīng)濟(jì)類等專業(yè)的一門必修的基礎(chǔ)課，不僅是該專業(yè)許多后繼課程的重要工具，而且還影響著學(xué)生將來的發(fā)展。導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的核心概念之一，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，在自然科學(xué)，工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等最優(yōu)化問題中有著非常廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)概念具有較強(qiáng)的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，給教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困難[1-4]。為了幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念，在課堂教學(xué)中可先結(jié)合具有專業(yè)背景的實例和微積分發(fā)展史，引出導(dǎo)數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；再通過極限理論，讓學(xué)生完成導(dǎo)數(shù)概念的感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華；最后，挖掘?qū)?shù)蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，培養(yǎng)大學(xué)生的辯證唯物主義觀。

1 導(dǎo)數(shù)概念的引入

自2003年新課程改革以后，“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”成為高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。為了突出導(dǎo)數(shù)概念的思想和本質(zhì)，新課標(biāo)要求高中的導(dǎo)數(shù)教學(xué)不再強(qiáng)調(diào)極限的概念，而利用“逼近的思想”，通過物理上的運動問題和幾何上的切線問題，讓學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，并掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值求解等方面的應(yīng)用。因此，高中生對導(dǎo)數(shù)的概念已具有了感性的認(rèn)識。為了從感性認(rèn)識升華到理性認(rèn)識，大學(xué)教師在導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中，可結(jié)合專業(yè)問題背景和微積分發(fā)展歷程，引導(dǎo)學(xué)生深入探究導(dǎo)數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，真正地理解導(dǎo)數(shù)概念的思想和本質(zhì)。

1.1 結(jié)合專業(yè)問題,引出導(dǎo)數(shù)的概念

由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念，并對“已知路程求速度”，“已知曲線求切線”等問題都有了一定的了解。如果再按這種思路引出導(dǎo)數(shù)的概念，既顯示不出高校教師的教學(xué)水平，也會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生產(chǎn)生“已理解導(dǎo)數(shù)概念”的錯覺。為了激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，我們應(yīng)通過一些與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相關(guān)的實例，引出導(dǎo)數(shù)的概念。例如：電子類專業(yè)，可使用電的傳輸中電流強(qiáng)度的變化率；化工類專業(yè)，可使用化學(xué)反應(yīng)中溶液的濃度變化率；經(jīng)濟(jì)類專業(yè)，可使用彈性函數(shù)，邊際成本等問題。這些實際問題最終都?xì)w結(jié)為“求函數(shù)平均變化率的極限”，從而得到導(dǎo)數(shù)的定義：

(1)

其中Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。另外，(1)式也可以表示成

1.2 通過微積分發(fā)展史，激發(fā)學(xué)生的興趣

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)平均變化率的極限，極限是導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)。但是，在牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分時，他們并沒有利用極限來定義導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)概念的混淆不清，最終引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。例如，計算f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)，按照牛頓的“流數(shù)術(shù)”，令Δx為x處的非零增量，Δy為Δx引起的函數(shù)增量，即Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2-x2=2x·Δx-Δx2,

則

2 導(dǎo)數(shù)概念的升華

根據(jù)高等數(shù)學(xué)教材的編排，在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)深入地學(xué)習(xí)了數(shù)列極限、函數(shù)極限和函數(shù)的連續(xù)性，對極限概念已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，已經(jīng)利用極限理論研究了函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，也對極限的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了比較高的積極性，為導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。因此，在導(dǎo)數(shù)概念引入之后，可引導(dǎo)學(xué)生利用極限理論探討導(dǎo)數(shù)的存在性。提出問題： 什么函數(shù)一定可導(dǎo)？如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？

2.1 可導(dǎo)的必要條件

回顧無窮小的性質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生觀察(1)式的極限。歸納、總結(jié)出(1)式極限存在的充分必要條件是：

當(dāng)x→x0時，f(x)-f(x0)是x-x0的同階或高階無窮小量。

2.2 可導(dǎo)的充要條件

類比左右極限的定義，引出左導(dǎo)數(shù)

(2)

和右導(dǎo)數(shù)

(3)

再借助數(shù)列收斂與子列收斂的關(guān)系的思想，讓學(xué)生總結(jié)出f(x)在x0處可導(dǎo)的充要條件是：f(x)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。

2.3 可導(dǎo)的等價形式

在以往的教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生記住了(2)的形式，但沒有真正理解它的含義，經(jīng)常會產(chǎn)生一些疑惑。通過例1，讓學(xué)生真正理解(1)式的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的概念達(dá)到深度的理解。

例1下面的哪種形式和定義1的(1)式等價。

注解：A,B,C同屬于增量廣義化的問題，即

(4)

提醒學(xué)生要注意：極限中的三個“□”必須“一模一樣”，并且，既可以□→0+，又可以□→0-，才可以與(2)式等價。A是正確的，B和(4)式等價，C和(3)式等價。而D的問題在于，改變了極限定義式中的一靜一動組合，不再包含f(x0)的任何信息，也是錯誤的。例如函數(shù)

3 導(dǎo)數(shù)概念的哲學(xué)思想

教書育人是教師的天職，也是教師的基本使命和主要工作。數(shù)學(xué)和哲學(xué)又有著密切的聯(lián)系。因此，在高等數(shù)學(xué)課堂里，我們不僅要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識，而且要充分利用數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀[6]。

否定之否定揭示了事物的矛盾運動過程，由自我否定向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化的過程。從導(dǎo)數(shù)的幾何意義看，為了求曲線y=f(x)在點A(x0,f(x0))處的切線，在曲線上再取一點B(x0+Δx,f(x0+Δx))，其中Δx≠0。直線AB是曲線的割線，并不是過A點的切線。當(dāng)Δx減小，直線AB開始轉(zhuǎn)動，并向A點的切線逐步逼近。如果Δx→0，直線AB就會趨向于A點的切線。當(dāng)Δx≠0時，割線不可能是切線，是對切線的否定；當(dāng)Δx→0時，直線AB的極限不可能是割線，是對割線的否定。因此割線到切線的轉(zhuǎn)變過程就是否定之否定的過程。在生活中，我們也應(yīng)學(xué)會使用“否定之否定”的哲學(xué)思想處理問題，從事物的對立面出發(fā)，進(jìn)行分析和思考，從而找到解決問題的方案。

綜上所述，高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，應(yīng)突出極限的基礎(chǔ)地位，注重培養(yǎng)學(xué)生利用極限去研究導(dǎo)數(shù)的概念，借助問題驅(qū)動法，激發(fā)學(xué)生的探究意識，實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華。同時，我們也應(yīng)該挖掘?qū)?shù)概念中蘊(yùn)含的辯證法的思想，進(jìn)一步培養(yǎng)大學(xué)生的辯證唯物主義觀。

[1] 王雅萍．淺談導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)策略[J]．通化師范學(xué)院學(xué)報，2013，34(10)：81-82．

[2] 王淑芝．導(dǎo)數(shù)教學(xué)對學(xué)生素質(zhì)教育的培養(yǎng)[J]．吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2009，25(9)：70-71．

[3] 鄭 蓮．關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的幾個典型錯誤解析[J]．成都師范學(xué)院學(xué)報，2013，29(3)：123-124．

[4] 孫亞仙．論高職學(xué)院數(shù)學(xué)的分層教學(xué)[J]．湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)報，2008，7(2)：127-128．

[5] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[6] 王志剛，姚云飛．“最值定理”的教學(xué)探究[J]．阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，31(1)：79-81．

Teachingresearchontheconceptofderivative

WANGZhi-gang1,YAOYan2，DONGShu-yi3

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236037; 2.TheMiddleSchoolofChengjiao,FuyangAnhui236000,China；3.No.31MiddleSchool,BengbuAnhui233000,China)

Theconceptofderivativeisoneofthemostimportantconceptsinadvancedmathematics,andhasaverywiderangeofapplicationsinnaturalscience,engineeringtechnologyandeconomicmanagement.Becauseitisvery

andlogicalsothatmanystudentscannotunderstandthisconcept.Inordertoovercomethedifficulty,wefirstlyintroducethederivativebyexamplesofprofessionalbackgroundandthehistoryofcalculus,secondlyusethelimittheorytoobtaintheconditionofderivative,lastlyexplorephilosophythoughtofthederivativetocultivateundergraduate'sdialecticmaterialisticviewpoint.

derivative；limit；averagerateofchange；instantaneousrateofchange

2015-05-25

安徽省質(zhì)量工程項目(2013zy167，2015jxtd121，2014zy138)；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程(2013jyxm22, 2013jyxm34，2014JXTD01，2013ZYSD05)；阜陽師范學(xué)院"國培計劃"項目(FYGP1402)資助。

王志剛(1979-)，男，博士，副教授，研究方向：非線性偏微分方程。

O172.1

A

1004-4329(2015)04-105-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)04-105-03