孫國

【摘要】高中數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，隨著教育改革的不斷深入，高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用題受到廣泛關(guān)注，尤其在江蘇高考中是每年必考的題型，而求應(yīng)用題的最值問題又是高中應(yīng)用題的常見題型，因此，對高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用題的最值問題展開研究具有重要意義。本文對高中數(shù)學(xué)中解應(yīng)用題的步驟做出歸納，總結(jié)應(yīng)用題中求最值的常見類型，對如何利用數(shù)學(xué)模型來求應(yīng)用題中的最值做出詳細(xì)解釋，旨在為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供理論依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用題 最值問題 數(shù)學(xué)模型

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）12-0116-02

我國的課程改革對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求不斷提高，為響應(yīng)新課改的要求，高中數(shù)學(xué)老師對教學(xué)模式進行改進，在教學(xué)中逐漸重視對學(xué)生進行能力培養(yǎng)，雖然取得了一定進步，但是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中還是存在很多問題。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中求最值的問題一直是高中學(xué)生的弱點，阻礙學(xué)生成績進步，因此，掌握求最值的方法，熟練解決應(yīng)用題對學(xué)好高中數(shù)學(xué)至關(guān)重要。

一、解應(yīng)用題的步驟

（一）審題

審題是做應(yīng)用題的第一步，看懂題意才能開始做題。

首先，分層次。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字比較多，背景較復(fù)雜，所以，學(xué)生首先要做的是將題目的層次劃分出來，突出重點，能夠幫助學(xué)生更快理解題意。

其次，找關(guān)鍵詞。學(xué)生要認(rèn)真閱讀題目，學(xué)會在冗長的文字中找出關(guān)鍵性的詞語，例如，“利潤最大化”，“最小距離”，“最優(yōu)方案”等詞匯。尤其要注意數(shù)字信息，大部分?jǐn)?shù)字在之后的列式中會被利用起來。

最后，找關(guān)系。學(xué)生要找出數(shù)字和關(guān)鍵詞的對應(yīng)關(guān)系，將所有的關(guān)鍵條件串聯(lián)起來，弄清題意，這一步是審題的關(guān)鍵。

（二）建立數(shù)學(xué)模型

高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答必須要利用數(shù)學(xué)模型來進行。利用高中階段學(xué)到的知識構(gòu)建最適合題目的數(shù)學(xué)模型是快速高效解答應(yīng)用題的重要途徑。高中數(shù)學(xué)涉及到的知識廣泛，其中函數(shù)知識是高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是高考的必考點，因此，學(xué)會構(gòu)建函數(shù)模型是學(xué)生做應(yīng)用題的基礎(chǔ)。除函數(shù)的知識外，要做好數(shù)學(xué)應(yīng)用題，學(xué)生還要掌握不等式、數(shù)列等內(nèi)容。數(shù)學(xué)模型的種類要根據(jù)具體情況對題目進行分析才能確定，分析方法有很多種，例如，關(guān)系分析法是通過分析各關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系來建立模型；列表分析法是指將題目中所給的條件用表格更直觀的表示出來；圖像分析法是指對題中所給的圖像進行分析。

（三）利用模型求解

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的是將題目中的信息用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識來進行整合，從而求出答案。在對模型求解的過程中需要用到很多公式來對原始的式子進行變化推理。這個過程要求學(xué)生基礎(chǔ)知識要扎實，掌握課本中的公式和定理并學(xué)會運用。

（四）還原

求解后，將得到的答案運用到應(yīng)用題中，得出最后結(jié)論，完成應(yīng)用題的解答。在此過程中，我們還需要多關(guān)注實際問題背景，注意應(yīng)用題中變量的實際范圍，因此，在還原時，我們要注意檢驗，既要檢驗所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型，也要檢驗結(jié)果是否符合實際問題的要求。

二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中常見的求最值的類型

函數(shù)型。高中的函數(shù)分為基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及分段函數(shù)，其中復(fù)合函數(shù)在高考中最為常見。復(fù)合函數(shù)求最值，要利用公式、定理、換元法等方法將復(fù)合函數(shù)變化出基本初等函數(shù)的形式，降低難度，再根據(jù)函數(shù)的圖形和性質(zhì)求出最值。

如以下例題：

例1：當(dāng)-2≤x≤2時，求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例2：求y=sin2x-2cos2x+3的最大值。

例3：求y=2sinx（2cosx+sinx）-3的最大值。

不等式型。這類題型是以不等式的基本性質(zhì)來構(gòu)建題型的， 在求最值時，可用線性規(guī)劃法來解題。

例1：設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0，y≥0

若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則+的最小值為（ ）。

數(shù)列型。等差、等比數(shù)列的求和公式是這類題型考察的重點。在解決這類題目時，可利用求導(dǎo)法或作差法求出最值。

例1：數(shù)列{an}的通項an=，則數(shù)列{an}中的最大值是________。

綜合型。這類題型是將多個模塊的數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來考察，同樣，解題時也要運用多種方法來求最值。

三、如何利用數(shù)學(xué)模型來求應(yīng)用題中的最值問題

解應(yīng)用題時，如何將應(yīng)用題中的有效信息提取出來，并結(jié)合數(shù)學(xué)語言建立數(shù)學(xué)模型是重難點。以下內(nèi)容通過具體的例子來進行分析。

例2 某公司要租寫字樓，需要的寫字樓有可能為10層以上，每一層為2000平方米，公司的租用預(yù)算為20600000元人民幣，當(dāng)層數(shù)大于或等于10時，每一平米要化肥（560+48x）元。若要保證每平米的綜合花費最低，公司該租用多少層？（綜合費用=購地費+建筑費）

解：f（x）=（560+48x）+（2160×1000）/2000x

=560+48x+10800/x （x≥10）

用基本不等式來求最值，得出 f（x）min=2000

當(dāng)且僅當(dāng)10800/x=48x時，等號成立，求出x=15

答：該公司應(yīng)該租用15層寫字樓才能夠保證每平米的綜合花費最少。

以上解題過程為，先審題，弄清每平方米的綜合費用與什么因素有關(guān)，選出題中的重要數(shù)據(jù)，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運用基本不等式法來求最值，將得出的結(jié)果還原到應(yīng)用題中，寫出答案。

總之，高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題難度較大，要求高中學(xué)生必須掌握扎實的數(shù)學(xué)知識，嚴(yán)格按照解應(yīng)用題的步驟進行解題，先仔細(xì)審題，運用數(shù)學(xué)模型來將文字轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)語言，再選出最合適的方法求出最值，將答案還原到應(yīng)用題中。只有這樣，才能夠突破應(yīng)用題的難關(guān)，提高數(shù)學(xué)成績。

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