張榮芳

【摘要】微積分在高等數(shù)學(xué)教育中占有相當(dāng)重要的地位，是高等數(shù)學(xué)理論分析的基本工具。在微積分中存在著很多辯證矛盾，通過對這些矛盾進(jìn)行深入分析，可以讓學(xué)生對微積分有更清楚、更深刻的認(rèn)識，進(jìn)而幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)難題。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 微積分 矛盾 分析認(rèn)識

【中圖分類號】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）12-0124-01

在高等數(shù)學(xué)中，每一塊的知識都富含了辯證矛盾，微積分這一塊的內(nèi)容可以作為典型，在微積分中，從概念到運(yùn)算、從理論到運(yùn)用、從分析到結(jié)論都有矛盾的身影，在學(xué)習(xí)微積分時，如果能將這些矛盾研究透徹，那么在使用微積分解決數(shù)學(xué)問題時將會有事半功倍的效果。

一、微積分簡介

1.1 微積分的提出

微積分最早可在追溯至公元前三世紀(jì)，在古希臘的阿基米德研究曲面面積、球體體積等問題中有現(xiàn)代微積分的雛形，在我國古代書籍《莊子》中也有相關(guān)問題的提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！边@兩種問題分別代表了微積分中的積分學(xué)和極限。現(xiàn)代微積分真正被作為一門學(xué)科被提出來是在十七世紀(jì)，有牛頓和萊布尼茨從不同角度對微積分進(jìn)行了研究，并運(yùn)用之解決實際問題。

1.2微積分的主要內(nèi)容

現(xiàn)代微積分是高等數(shù)學(xué)中及其重要的一項內(nèi)容，也是高校數(shù)學(xué)科目必修的一項基礎(chǔ)內(nèi)容。微積分主要包括了三項內(nèi)容：微分學(xué)、積分學(xué)和極限（積分學(xué)中又可分為定積分和不定積分兩類）。這三項內(nèi)容分別用于解決不同類型的問題，微分學(xué)主要解決了物體的速度、加速度和曲線上某一點的斜率等數(shù)學(xué)問題的計算；積分學(xué)則較多用來解決物體的表面積或體積等問題；極限一般在對抽象問題具體化分析中運(yùn)用較多。

1.3 微積分的實際意義

在創(chuàng)立微積分學(xué)以前，很多計算問題無法得到合理解決，例如：在求解一個做變加速度的物體在某一時刻的速度問題，在一問題的難點在于，物體的加速度是變化的，導(dǎo)致物體的速度也在變化，這樣就無法用總距離除以總時間得到平均速度這一方法進(jìn)行分析運(yùn)算了；同樣在求曲線上某一點的斜率時，也遇到了困難，斜線上每一點的斜率與鄰近點都是不同的，整體也都是變化的。而微積分學(xué)的創(chuàng)立，完美結(jié)局了這一類的計算問題。微積分不僅在數(shù)量理論上有較為廣泛的應(yīng)用，對解決實際生活中的問題也有較大幫助。

二、微積分中的主要矛盾

矛盾本身具有兩面性，因此矛盾都是成對出現(xiàn)的，在微積分中同樣如此，例如：微分和積分、有限和無限、離散和連續(xù)、近似和準(zhǔn)確、直線和曲線等一些矛盾。對微積分中的這些個矛盾進(jìn)行研究分析，對其有更為深刻的認(rèn)識，在解決數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H生活問題將會更加得心應(yīng)手。

2.1 微分和積分

微分和積分本身就是一對矛盾的關(guān)系，微分是將整體問題或原函數(shù)分解到微小化，對局部問題或?qū)Ш瘮?shù)做具體研究，而積分則是恰恰相反，將局部問題或?qū)Ш瘮?shù)完全反過來，組合尋找整體規(guī)律，解決整體問題或求解原函數(shù)，這兩個求解過程是完全相反的，是一組矛盾關(guān)系的體現(xiàn)。積分和微分的矛盾關(guān)系還體現(xiàn)在運(yùn)算公式上——積分表和微分表，在兩組運(yùn)算公式中，積分和微分公式一一對應(yīng)，由原函數(shù)求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)積分得出原函數(shù)。

2.2有限和無限

極限是微積分中的一個重要分支，有限和無限也是微積分中的一組矛盾，在有限和無限概念中并沒有明確的界限，它們之間可以通過極限運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化，通過有限求解無限，通過無限來認(rèn)識有限，無限是絕對的，有限是相對，這是一對矛盾組合。在極限中，有一經(jīng)典例題，將一米長的木棍，每次截去一半，經(jīng)過多次截去后，問木棍還有多長，這既是將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題，我們運(yùn)用極限理論分析可以得知答案是（1/2），n為截去次數(shù)；同樣的問題反過來看，（1/2）+（1/2）+（1/2）+…+（1/2）=？將無限個分?jǐn)?shù)相加，最后結(jié)果得到的是一個整數(shù)，實現(xiàn)了無限轉(zhuǎn)化為有限。

2.3離散和連續(xù)

連續(xù)和離散是微積分中的一對矛盾，連續(xù)通常需要運(yùn)用離散，而離散通常會轉(zhuǎn)化為連續(xù)。在微積分中，級數(shù)和積分是離散和連續(xù)的典型代表，連續(xù)積分一般要用級數(shù)求和去極限值得到，反過來，連續(xù)積分也可以用微分法求解級數(shù)和。典型的連續(xù)求和例題是求解曲邊梯形面積，需要將連續(xù)曲線分割為離散項，然后求離散和，再求極限得到連續(xù)求和，得到曲邊梯形面積。

2.4直線和曲線

直線和曲線的關(guān)系如同無限和有限的關(guān)系，在高等數(shù)學(xué)中，也同樣有很多代表性的直線曲線例題。直線是相對的，曲線是絕對的，這兩種線是一對矛盾關(guān)系，在求解曲線斜率時，時常將曲線無限切割成微小直線段，這一問題的分析，同時體現(xiàn)了直線和曲線、無限和有限的矛盾關(guān)系，將曲線轉(zhuǎn)化成了直線、將有限轉(zhuǎn)化成了無限來解決曲線的斜率問題。在求解元面積時，同樣將一個元分解成無限多個扇形，將每一個扇形的底邊曲線近似看作直線，如此將曲線問題變成直線問題，實現(xiàn)對復(fù)雜問題的簡單化。在這一類的幾何求解問題中，著重體現(xiàn)了直線和曲線的辯證關(guān)系，同過定積分將這種矛盾關(guān)系運(yùn)用到實際問題分析中，可將無法真實測得的抽象數(shù)據(jù)，通過矛盾分析轉(zhuǎn)化為具體數(shù)據(jù)，進(jìn)而完成對問題的解答。

三、總結(jié)

綜上所述，微積分中的矛盾包含有辨證關(guān)系，通過深入的研究，對微積分中的主要矛盾有了更深刻、更清楚的認(rèn)識，將微積分的矛盾運(yùn)用在一些數(shù)學(xué)問題分析研究中，可將復(fù)雜問題簡單化，對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)具有極大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]王嬌，淺談高數(shù)微積分思想及其在實踐中的應(yīng)用[J]《科技視界》2015（14）