標準Ⅱ型馬蹄形斷面水面線的積分算法

張志昌，賈斌

(西安理工大學 水利水電學院，西安710048)

摘要：標準Ⅱ型馬蹄形斷面由于幾何形狀復雜，水面線的計算較為困難，研究其工程設計中的簡化計算方法是完全必要的。根據(jù)標準Ⅱ型馬蹄形斷面的幾何關(guān)系分析了標準Ⅱ型馬蹄形斷面不同區(qū)域內(nèi)相對斷面面積、相對濕周、相對水力半徑、相對水深和相對水面寬度的計算方法。根據(jù)明渠恒定非均勻流水面線的微分方程，給出了標準Ⅱ型馬蹄形斷面水面線的分段試算法公式。根據(jù)最小二乘法擬合原理，給出了j′，F(xiàn)r′2與相對水深h/r1的近似關(guān)系，并以此關(guān)系給出了標準Ⅱ型馬蹄形斷面水面線的積分公式，積分公式為顯函數(shù)關(guān)系式，計算方便。通過3個算例比較了試算法和積分法的結(jié)果，其中試算法的步高取為1 mm，積分法與試算法相比，最大誤差為0.965%，計算精度滿足工程設計要求。

關(guān)鍵詞：標準Ⅱ型馬蹄形斷面；明渠；水面線；分段試算法；積分法

中圖分類號：TV131 文獻標志碼：A

收稿日期：2013-12-02；修回日期：2013-12-16

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51308091)；國家“十二五”科技計劃支撐項目(2011BAB10B05)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費資助項目；歸國留學人員科研啟動基金資助項目

作者簡介：趙紅華(1977-)，女，山東鄆城人，講師，博士，主要從事巖土與環(huán)境力學問題研究，(電話)0411-84706036(電子信箱)zhaoh@dlut.edu.cn。

DOI:10.3969/j.issn.1001-5485.2015.04.013

1研究背景

棱柱體明渠水面線的計算是明渠邊墻高度設計的重要依據(jù)。明渠水面線的計算方法主要有分段試算法、數(shù)值積分法、水力指數(shù)法和簡化計算方法等。分段試算法實際上是將水面線的微分方程變?yōu)椴罘址匠?，由于不需借助圖表而在工程中廣泛應用[1]，但分段試算法計算過程比較復雜，計算精度與所取的斷面水深或流段長度有關(guān)[2]。數(shù)值積分法常用矩形法、梯形法或辛普生法進行近似計算[3]。水力指數(shù)法和簡化計算方法中的參變量需借助表格查算，操作起來比較麻煩。近年來，為了簡化水面線的計算，人們進行了各種嘗試。文獻[4]對水面線計算的水力指數(shù)法采用級數(shù)解，在求解時需先判斷水面曲線的類型，再利用相應的級數(shù)解公式進行分段計算，計算過程比較復雜。文獻[5]對分段試算法公式改造為迭代計算公式，適應于矩形和梯形斷面的水面線計算，不適應于復雜斷面水面線的計算。文獻[6]采用牛頓迭代法計算水面線，文獻[5]認為，該方法只能求解矩形渠道和寬淺河道, 且存在函數(shù)表達式復雜, 計算精度不高, 初值選擇受限等問題。文獻[7]基于恒定漸變流基本微分方程，采用數(shù)值分析理論，得到圓形斷面流程與始、末端水深的解析函數(shù)。文獻[8]采用與文獻[7]同樣的分析方法，得到了梯形斷面恒定漸變流水面線的解析解。文獻[9]采用龍格-庫塔法計算明渠水面線，但該文算例中的計算過程不符合水面線計算的原則，該方法值得商榷。文獻[10]研究了六圓弧蛋形斷面水面曲線的簡化計算方法，該方法通過積分可以直接計算水面曲線，是一種值得借鑒的方法。文獻[11]仍采用文獻[7]的方法計算標準Ⅰ型馬蹄型斷面的水面線。

由以上綜述可以看出，明渠水面線的計算方程比較復雜，近年來采用的迭代法、積分法、級數(shù)解法僅限于矩形或梯形相對簡單的斷面。對于斷面形狀比較復雜的馬蹄形斷面，目前只有標準Ⅰ型馬蹄形斷面的積分計算方法，對于標準Ⅱ型馬蹄形斷面，尚未看到水面線計算的新方法。因此，本文根據(jù)明渠恒定非均勻流水面線的微分方程，通過優(yōu)化擬合給出了標準Ⅱ型馬蹄形斷面水面線的積分方程，以降低分段試算的難度。

2標準Ⅱ型馬蹄形斷面的結(jié)構(gòu)形式

圖1　標準Ⅱ型馬蹄形斷面 Fig.1　Horseshoe cross section of standard type-Ⅱ

標準Ⅱ型馬蹄形斷面如圖1所示，它由底部的弓形、兩側(cè)的扇形和上部的半圓形組成。弓形、兩側(cè)的扇形半徑均為2r，上部半圓形的半徑為r，下部弓形的圓心角為2α，側(cè)面扇形的圓心角為α，α=24.295 19°。標準Ⅱ型馬蹄形斷面的水深可能有3種情況，一是水深處于圖1中的ab線以下(含ab線)；二是水深處于圖1中的ab線與ef線之間(含ef線)；三是水深處于圖1中的ef線以上。第1種情況出現(xiàn)的可能性很小。第3種情況的水深不會充滿拱頂，因《水工隧洞設計規(guī)范》規(guī)定，洞內(nèi)水面線以上的富余空間面積不宜小于隧洞斷面面積的15%，凈空高度不應小于0.4 m，洞內(nèi)水面線以上的富余空間應該控制在此區(qū)域內(nèi)。

3標準Ⅱ型馬蹄形斷面水力參數(shù)計算

3.1　水深處于圖1中的 ab線以下(含 ab線)

此時水深處于底部弓形斷面內(nèi)，相對斷面面積、相對濕周、相對水力半徑、相對水深和相對水面寬度分別為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：A為斷面面積；χ為濕周；h為水深；φ為水深h時的半圓心角，0<φ≤24.295 19°；R為水力半徑；B為水面寬度。

3.2　水深處于圖1中的 ab與 ef線之間(含 ef線)

A/r2=0.196 124 2+4(β-sinβ)+[2cos(α-β)-

0.177 124 3][0.822 875 64-2sin(α-β)]；

(6)

χ/r=4α+4β；

(7)

(8)

h/r=1-2sin(α-β)；

(9)

B/r=4cos(α-β)-2。

(10)

式中0<β≤24.295 19°。

3.3　水深處于圖1中的 ef線以上

A/r2=1.746 497 03+θ+sinθcosθ；

(11)

χ/r=3.392 25+2θ；

(12)

(13)

h/r=1+sinθ；

(14)

B/r=2cosθ。

(15)

式中0<θ<90°。

4水面線的計算

4.1　試算法

標準Ⅱ型馬蹄形斷面水面線的計算仍用明渠恒定非均勻流的水面線的差分公式，該公式為

(16)

Es=hcosω+Q2/(2gA2)。

(17)

式中：h為斷面水深；ω為渠底與水平面的夾角；Q為流量；A為斷面面積；g為重力加速度。

(18)

將式(17)、式(18)代入式(16)，對于一般明渠，底坡很小，cosω≈1，則

(19)

對于標準Ⅱ型馬蹄形斷面，水面曲線的計算公式(19)可以寫成下面的形式，即

(20)

由式(20)可以看出，只要知流量、渠道的粗糙系數(shù)、渠道某一斷面的水深和面積，然后假定另一斷面的水深，判斷計算區(qū)域，用上面求出的A/r2和R/r代入式(20)就可以分段計算標準Ⅱ型馬蹄形斷面的水面線。式(20)為差分方程，計算的精度與所選取的水深或長度有關(guān)，計算時長度不可取太長，否則會造成較大的誤差。

4.2　積分法

水面曲線的微分方程為

(21)

式中：Fr為弗勞德數(shù)，F(xiàn)r2=Q2/(gA3/B)；j=n2Q2/(A2R4/3)=n2Q2χ4/3/A10/3。

標準Ⅱ型馬蹄形斷面的水面寬度可以根據(jù)水深的不同，分別選用式(5)或式(10)或式(15)計算。水力坡度和弗勞德數(shù)可以寫成：

(22)

(23)

將式(22)和式(23)代入式(21)得

(24)

令a=ir16/3/(n2Q2)，b=gr5/Q2，代入上式可得

(25)

表1　積分計算參數(shù) Table 1　Parameters of integral calculation

由標準Ⅱ型馬蹄形斷面水力參數(shù)的計算可以看出，B/r,A/r2和χ/r均為h/r的函數(shù)， Fr′2和j′也應為h/r的函數(shù)，經(jīng)分析Fr′2和j′與1/(h/r)2的關(guān)系如圖2所示，可以看出，F(xiàn)r′2和j′隨著1/(h/r)2的增大而增大，為拋物線型關(guān)系，可以表示為:

(26)

(27)

圖2　Fr′ 2和j′與1/(h/r) 2的關(guān)系 Fig.2　Relationship between Fr′ 2, j′ and 1/(h/r) 2

對圖中的關(guān)系進行擬合，得到式(26)、式(27)中的系數(shù)，見表1。

經(jīng)分析，在表1的適用范圍內(nèi)，j′的最大誤差為2.158%，平均誤差為0.219%，F(xiàn)r′2的最大誤差為1.39%，平均誤差為0.169%。

將式(26)和式(27)代入式(25)得水面曲線的積分關(guān)系為：

(28)

(29)

5水面線計算中所遇問題的處理

在判斷水面線的類型時，必須知道渠道的正常水深和臨界水深。對于正常水深，文獻[12]和文獻[13]都給出了不同水深時的迭代公式，但這些公式均比較復雜，本文利用數(shù)據(jù)處理軟件1stOpt，給出標準Ⅱ型馬蹄形斷面正常水深的顯函數(shù)計算公式，已知正常水深求流量時：

當0

(30)

當0.25

(31)

已知流量求正常水深時：

(32)

(33)

(34)

式(30)、式(31)的最大誤差為1.025%，平均誤差為0.093%，式(32)、式(33)、式(34)的最大誤差為1.114%，平均誤差為0.225%。

對于臨界水深，呂宏興給出了迭代公式，王正中和張寬地給出了直接計算公式，這里用張寬地公式[13]計算臨界水深。

在計算隧洞水面曲線時，當隧洞水流為急流時，需先計算隧洞進口收縮斷面的水深，文獻[14]給出了計算收縮斷面水深的計算公式為

(35)

式中:H0為上游引渠的總水頭；hc為收縮斷面水深；Ac為收縮斷面的面積；A0為引渠斷面的面積;ξ為局部阻力系數(shù)，其值可查參考文獻[1]。對于標準Ⅱ型馬蹄形斷面，相對斷面面積與相對水深的關(guān)系可以用式(1)、式(6)或式(11)計算，為了計算方便，擬合了相對斷面面積和相對水深的關(guān)系為:

當0

(36)

當0.2

(37)

式(36)、式(37)的最大誤差為0.79%，平均誤差為0.156%。

6算例

下面用3個算例來說明積分公式的正確性，一個是水深處于圖1中的ef線以上，一個是水深處于圖1中的ab線與ef線之間，最后一個是水深從ef線以上過渡到ef線以下的3種情況。

6.1　算例1

某引水式電站輸水隧洞斷面為標準Ⅱ型馬蹄形斷面，已知r=1.5 m，底坡i=0.013 1，粗糙系數(shù)n=0.015，上游引渠寬15 m，引渠的過水斷面面積A0為51.83 m2，喇叭形進口，進口局部阻力系數(shù)ξ=0.1，上游進口高程為100 m，水面高程為103.455 m，流量Q=26.22 m3/s，隧洞長1 000 m，試計算沿程水面曲線。

解：

求臨界水深，k=[2Q2/(gr5)]1/3=2.644，由張寬地公式求得hk=2.135 m。

經(jīng)驗算，正常水深的理論值為1.538 m，誤差為0.52%。

假設隧洞進口相對水深0.2

由以上計算可以看出，h

6.1.1試算法

因為水深的計算范圍在1.8 ～1.56 m之間，水深在圖1中的ef線以上，所以計算時相對面積用式(11)計算，相對水力半徑用式(13)計算，θ用式(14)計算，將相對面積、相對水力半徑、流量、底坡、粗糙系數(shù)、半徑代入式(20)，計算的步高間隔取為1 mm，計算水面線長度為175.04 m。

6.1.2積分法

計算得h/r的范圍為1.04 ～1.2，查表1可知，取0.8≤h/r≤1.35段的系數(shù)進行計算,計算水面線長度為176.73 m，與試算法相差為0.965%。

6.2　算例2

萬家寨引黃工程南干1號隧洞的坡降為i=1/1 500，n=0.014，r=2.12 m，流量為8.6 m3/s，計算水面線，已知下游控制斷面水深為1.6 m。

解：

可以看出，正常水深大于臨界水深，為壅水曲線，由下游至上游計算，計算時，取下游控制斷面水深為1.6 m，上游控制斷面水深為h0=(1+1%)h=1.485 m。

6.2.1試算法

水深計算范圍在1.6 ～1.485 m之間，處于圖1中ab線與ef線之間，所以計算時相對面積、相對水力半徑和β分別用式(6)、式(8)和式(9)計算，將計算結(jié)果和流量、底坡、粗糙系數(shù)、半徑代入式(20)，計算的步高間隔取為1 mm，計算水面線長度為1 275.29 m。

6.2.2積分法

計算得h/r的范圍為0.700 5 ～0.754 7，查表1可知，取 0.4≤h/r≤0.8段的系數(shù)進行計算,計算水面線長度為1 279.9 m，與試算法相差為0.361%。

6.3　算例3

某工程輸水隧洞用標準Ⅱ型馬蹄形斷面，已知r=1.5，i=1/1 000，n=0.014，Q=5.0 m3/s，取下游控制斷面為1.7 m，計算水面線。

可以看出，正常水深大于臨界水深，為壅水曲線，由下游至上游計算，計算時，取下游控制斷面水深為h1=1.7 m，上游控制斷面水深為h0=(1+1%)h=1.171 6 m。由于h0/r<1，h1/r>1，所以計算要分為2個部分。

6.3.1試算法

當h/r>1時，即計算范圍為1.7 ～1.5 m，水深在圖1中ef線之上，計算過程與算例1相同，計算的步高間隔取為1 mm，計算結(jié)果為287.0 m。當0.25

6.3.2積分法

計算得h/r的范圍為0.781 ～1.133，根據(jù)表1中的分段范圍，需分為0.781 ～0.8，0.8 ～1.133兩段計算，查表1可知，取0.4≤h/r≤0.8段與0.8≤h/r≤1.35段的系數(shù)進行計算,計算結(jié)果分別為343.07 m與1 075.4 m，相加得1 418.47，與試算法相差為0.085%。

圖3為分段試算法與積分法的計算結(jié)果比較圖。由圖3可以看出，積分法的計算值完全處在分段試算法的曲線上，由此說明本文提出的積分法是可行的，而且計算簡單，精度符合工程設計需要，解決了標準Ⅱ型馬蹄形斷面水面線計算繁瑣的問題。

圖3　分段試算法與積分法 計算結(jié)果比較 Fig.3　Comparison of calculated results between trial-and-error method and integral method

7結(jié)語

本文詳細推導了標準Ⅱ型馬蹄形斷面相對面積、相對濕周、相對水力半徑、相對水深和相對水面寬度的計算公式。給出了分段試算法和積分法2種計算水面線的方法，為了方便地判斷水面線的類型，還給出了正常水深的簡化計算方法。通過算例可以看出，積分法計算簡單，精度滿足設計要求。但在用積分公式計算時需注意，當水深接近臨界水深時，弗勞德數(shù)趨近于1，此時積分方程的分子趨近于零，流線彎曲很大，已不屬漸變流動，積分遇到困難，這時應用分段試算法更為可行。

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(編輯：劉運飛)

Integral Algorithm for Water Surface Profile of Horseshoe CrossSection of Standard TypeⅡ

ZHANG Zhi-chang, JIA Bin

(Institute of Water Resources and Hydro-electric Engineering, Xi’an University of Technology,

Xi’an710048, China)

Abstract:The complex geometrical shape of standard type-II horseshoe cross section makes it difficult to calculate the water surface profile in it. It is necessary to work out a simplified calculation method for engineering design. According to the geometrical shape, the calculation methods of relative cross section area, relative wetted perimeter, relative hydraulic radius, relative water depth and relative width of water surface in different areas of standard type-II horseshoe cross section are given. Furthermore, according to differential equation of water surface profile in open-channel with constant non-uniform flow, the trial-and-error method of flow profile is given. On the basis of least square method, the approximation relationship between j′, Fr′2 and relative depth h/r1 are given, and according to the relationship, the integral formula of water surface profile which is an explicit function with convenient calculation and high accuracy is obtained. The trial-and-error method and the integral method are applied to three examples and comparison between the results shows that the calculation accuracy of integral method meets the requirement of engineering design. The maximum error of integral method is 0.965% compared with the trial-and-error method with 1 mm step high.

Key words: standard type-II horseshoe cross section; open channel; water surface profile; trial-and-error method; integral method

2015,32(04):65-70