Weibull統(tǒng)計理論的參數(shù)對混凝土全曲線模型的影響

潘青松，彭剛，胡偉華，徐鑫

(三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院, 湖北 宜昌443002)

摘要：為了解混凝土在不同加載速率下的力學(xué)特性，采用微機(jī)控制電液伺服大型多功能動靜力三軸儀，對強(qiáng)度等級為C15、邊長為150 mm的立方體混凝土試件在不同加載速率為10-5/s，10-4/s，10-3/s，5×10-3 /s下進(jìn)行了單軸壓縮試驗，對不同加載速率下單軸壓縮混凝土的抗壓強(qiáng)度、變形、基于修正后的Weibull統(tǒng)計理論的應(yīng)力應(yīng)變?nèi)€模型參數(shù)等進(jìn)行了研究和分析。結(jié)果表明：修正后的Weibull統(tǒng)計理論模型能較好地擬合混凝土試件在不同加載速率下的全曲線模型；材料的強(qiáng)度硬化特性可以通過Weibull本構(gòu)模型中的參數(shù)m和E值表征；應(yīng)變軟化特性可以通過Weibull本構(gòu)模型中的參數(shù)c值表征。

關(guān)鍵詞：不同加載速率; 混凝土全曲線；Weibull統(tǒng)計理論參數(shù)；強(qiáng)度硬化特性；應(yīng)變軟化特性

中圖分類號：TU502.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1研究背景

在單向受力條件下，對混凝土的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系的定義，很多學(xué)者根據(jù)不同的方法提出了其表達(dá)式[1-5];對于混凝土不同速率下的單調(diào)加載的全曲線，不少研究人員對試驗測得的曲線進(jìn)行擬合和分析[6-10]; 魏曉方[11]、王春來[12]、龍源等[13]利用Weibull統(tǒng)計分布理論和等效應(yīng)變假定原理，推導(dǎo)出基于鋼纖維混凝土單軸受壓狀態(tài)下的損傷本構(gòu)模型。胡海周等[14]、王乾峰[1]指出Weibull統(tǒng)計分布理論不能準(zhǔn)確描述峰值應(yīng)變后的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，對其本構(gòu)模型進(jìn)行了修正，對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段采用Lognormal統(tǒng)計分布規(guī)律進(jìn)行描述，并進(jìn)行了試驗擬合驗證，但只給出了改進(jìn)后的Weibull統(tǒng)計理論各參數(shù)的意義，并未研究各參數(shù)對混凝土強(qiáng)度硬化和軟化的影響情況。鑒此，本文采用改進(jìn)后Weibull本構(gòu)模型中各參數(shù)對不同速率作用下的混凝土強(qiáng)度硬化和軟化的影響展開研究。

2試驗過程

2.1　試件制作及養(yǎng)護(hù)

試驗采用強(qiáng)度等級為C15、尺寸為150 mm的立方體混凝土試件，水泥采用宜昌弘洋水泥有限公司生產(chǎn)的P.O 42.5硅酸鹽水泥，粗骨料為5 ～32 mm連續(xù)級配的碎石，其中5～20 mm小石與20～40 mm中石的比例為4∶6。細(xì)骨料為細(xì)度模數(shù)2.3的連續(xù)級配的天然河沙，使用自來水為拌合用水，混凝土配合比詳見表1。

表1　混凝土材料用量 Table 1　Material proportioning of concrete　kg/m 3

為了使骨料與水泥均勻性分布，采用了先干拌后濕拌的機(jī)械攪拌方式，攪拌時間不超過10 min。試件成型后在室溫下靜置一晝夜后拆模并編號，將編號后的試件置于標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)條件下(溫度為(20±3)℃，濕度95%以上)養(yǎng)護(hù)28 d，其后在自然條件下養(yǎng)護(hù)至試驗開始。

2.2　加載設(shè)備及試驗步驟

加載設(shè)備采用三峽大學(xué)和長春市朝陽試驗儀器有限公司聯(lián)合研制生產(chǎn)的10MN微機(jī)控制電液伺服大型多功能動靜力三軸儀，該系統(tǒng)是由3個獨(dú)立的油缸來施加荷載。軸向變形范圍0 ～10 mm，徑向變形測量范圍0 ～5 mm，位移測量范圍0 ～100 mm，在加載速率為(10-6～10-2)/ s的范圍內(nèi)具有良好的工作性能，能較好地滿足本次試驗的要求。

在不同加載速率下，進(jìn)行了混凝土的加載試驗。試驗過程如下：

(1) 裝樣。

(2) 變形計的安裝與檢查，并開啟數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

(3) 加載，包括預(yù)加載和正式加載2個步驟：預(yù)加載是通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)軟件發(fā)出指令給控制器，使油缸以一定速度上升，直至達(dá)到負(fù)荷限制值；正式加載是試驗之前預(yù)先編寫好加卸載程序，試驗將要開始時，直接調(diào)入寫好的加卸載程序，系統(tǒng)同時開始采集位移值、荷載值、軸向變形值等各種數(shù)據(jù)。

(4) 試件加載完成后，將作動器復(fù)位，關(guān)閉油源，對破壞后的試樣拍照。

(5) 試驗結(jié)束并保存數(shù)據(jù)文件。

3試驗結(jié)果與分析

試驗所得不同加載速率下混凝土試件的峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變數(shù)據(jù)詳見表2；峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變與加載速率的關(guān)系詳見圖1。

表2　試件在不同加載速率下的峰值應(yīng)力及峰值應(yīng)變 Table 2　Peak stress and peak strain of specimen under different loading rates

圖1　峰值應(yīng)力、應(yīng)變與應(yīng)變速率的關(guān)系 Fig.1　Relations of strain rate respectively with peak stress and peak strain

由表2及圖1知，混凝土峰值應(yīng)力隨加載速率的增加抗壓強(qiáng)度都有不同程度的增加。試驗以應(yīng)變率速為10-5/s時的峰值應(yīng)力為混凝土準(zhǔn)靜態(tài)抗壓強(qiáng)度，其抗壓強(qiáng)度分別提高10.62%，20.97%，24.32%；混凝土峰值應(yīng)變隨加載速率的增加而先增加后減小，表明在加載速率增加到一定程度內(nèi)混凝土的變形隨之增加，當(dāng)加載速率超出一定的速率后，混凝土的變形則減小。符合高丹盈[8]、王四巍等[10]提出的：“塑性混凝土強(qiáng)度隨著加載速度的增加而增大,其峰值時的變形隨著加載速度的增加而變小, 但塑性混凝土強(qiáng)度不會隨著加載速度的增長無限增大。”

按照一般經(jīng)驗公式：

(1)

圖2　混凝土靜態(tài)和動態(tài) 試驗峰值應(yīng)力和應(yīng)變速率 的線性關(guān)系 Fig.2　Linear relationship between peak stress and strain rate in static and dynamic tests of concrete

通過公式(1)對表1中混凝土峰值應(yīng)力試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出不同加載應(yīng)變速率下混凝土抗壓強(qiáng)度增長系數(shù)(動態(tài)抗壓強(qiáng)度與準(zhǔn)靜態(tài)抗壓強(qiáng)度的比值)與應(yīng)變速率的關(guān)系，具體擬合圖如圖2所示，其擬合參數(shù)A,B以及相關(guān)系數(shù)R2具體數(shù)值見表3所示。

表3　不同加載應(yīng)變速率下擬合參數(shù) A， B和相關(guān)系數(shù) R 2 Table 3　Fitting parameters A, B, and the correlation coefficient R 2 in the presence of different strain rates

通過圖2可以看出，采用公式(1)得到的混凝土峰值應(yīng)力值隨應(yīng)變速率的變化曲線與本文得到的試驗結(jié)果吻合，擬合的相關(guān)系數(shù)>0.85，說明公式(1)能很好地反映混凝土峰值應(yīng)力與應(yīng)變速率之間的相關(guān)關(guān)系。

4基于Weibull統(tǒng)計理論的全曲線模型參數(shù)分析

4.1　構(gòu)建全曲線模型及模型驗證

法國著名學(xué)者Lemaitre[15]提出了應(yīng)變等價原理，受損材料的應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系可以從無損材料的本構(gòu)方程來導(dǎo)出，只要用受損后的有效應(yīng)力來代替無損本構(gòu)關(guān)系中的名義應(yīng)力即可。根據(jù)這一原理，在損傷后的應(yīng)力應(yīng)變與關(guān)系式中引入損傷變量D得到：

(2)

即

(3)

王春來等[12]推導(dǎo)出基于鋼纖維混凝土單軸受壓狀態(tài)下的損傷本構(gòu)模型。但是當(dāng)混凝土強(qiáng)度超過一定值時，Weibull統(tǒng)計分布理論則不能準(zhǔn)確描述峰值應(yīng)變后的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，需要對其損傷本構(gòu)模型進(jìn)行修正。而對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段采用Lognormal統(tǒng)計分布規(guī)律進(jìn)行描述能比較準(zhǔn)確地反應(yīng)混凝土損傷過程。

改進(jìn)后的統(tǒng)計分布損傷本構(gòu)模型[1]為

(4)

式中：εpk，σpk，E分別為峰值應(yīng)變、峰值應(yīng)力和彈性模量；m和c為形狀參數(shù)，可通過對試驗數(shù)據(jù)擬合得到。

利用式(4)對混凝土試件進(jìn)行擬合分析，見圖3。

圖3　不同加載速率作用下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線 Fig.3　Stress-strain curves under different loading rates

由圖3知，式(4)能較好地擬合混凝土試件在不同加載速率作用下的全曲線模型，尤其是在應(yīng)力峰值前的曲線模擬基本重合，應(yīng)力峰值的模擬準(zhǔn)確一致，應(yīng)力峰值之后的曲線模擬有一定的差別，但大致趨向是一致的。

4.2　Weibull模型參數(shù)對混凝土強(qiáng)度硬化特性及應(yīng)變軟化影響的分析

強(qiáng)度硬化：在應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段，隨著應(yīng)變的增加，應(yīng)力持續(xù)增加，這種現(xiàn)象為混凝土材料的強(qiáng)度硬化特性。

應(yīng)變軟化：在應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段，隨著應(yīng)變的增加，應(yīng)力逐漸減小，這種現(xiàn)象為混凝土材料的應(yīng)變軟化特性。圖4(a)為模型參數(shù)c和E取定值，參數(shù)m從0.8 ～1.2變化的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；圖4(b)為參數(shù)m和c取定值，初始彈性模量E從10 ～20 MPa變化的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

圖4　不同m值、E值下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系全曲線 Fig.4　Complete stress-strain curves in the presence of different values of m and E

由圖4知，當(dāng)峰值應(yīng)變相同時，m值越大，峰值應(yīng)力越大，曲線上升段斜率越大；初始彈性模量E越大，峰值應(yīng)力越大，曲線上升段越陡。結(jié)合圖3知，混凝土材料的峰前強(qiáng)度硬化特性與參數(shù)m和E值的大小相關(guān)。通過式(4)對不同加載速率下的混凝土試件試驗數(shù)據(jù)擬合，得到不同m值，如圖5(a)。

由圖5(a)知，混凝土試件隨著加載速率的增加，m值增加，峰前強(qiáng)度硬化特性越明顯；由圖5(b)知，當(dāng)峰值應(yīng)變相同時，初始彈性模量E越大，峰值應(yīng)力越大，曲線上升段越陡。由圖4知，隨著加載速率的增加，m和E值增加，進(jìn)而峰值應(yīng)力越大，由遞推關(guān)系可得隨著加載速率的增加，峰值應(yīng)力增加，峰前強(qiáng)度硬化現(xiàn)象越明顯。

圖5　不同加載速率下m值、彈性模量的變化 Fig.5　Variations of the value of m and elastic modulus under different loading rates

4.3　峰后應(yīng)變軟化特性分析

在參數(shù)m和E取值相同的情況下，對式(4)中參數(shù)c取值0.5， 1.0， 1.5進(jìn)行分析，如圖6。

圖6　不同c值下應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€ Fig.6　Complete stress-strain curves in the presence of different c values

圖7　不同加載速率下c值 的變化 Fig.7　Variation of the value of c under different loading rates

由圖6知，當(dāng)峰值應(yīng)變相同時，峰值應(yīng)力相同。c值越小，曲線下降段越陡，材料喪失承載力的速度越快，后期的承載能力越低，材料迅速破壞。結(jié)合圖1、圖2知，混凝土材料的峰后應(yīng)變軟化特性與參數(shù)c值的大小相關(guān)。通過式(4)對不同加載速率下的混凝土試件試驗數(shù)據(jù)擬合，得到不同的c值，如圖7。可知，c值隨加載速率的增加，呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢。

5結(jié)論

(1) 混凝土的峰值應(yīng)力隨加載速率的提高而增大；隨加載速率的提高，其變形越來越小。

(2) 對混凝土試件在不同加載速率下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線采用修正后的Weibull統(tǒng)計進(jìn)行了擬合分析。結(jié)果表明：修正后的Weibull能很好地擬合混凝土試件在不同加載速率下的全曲線模型，尤其是在應(yīng)力峰值前的曲線模擬基本重合，應(yīng)力峰值的模擬準(zhǔn)確一致，應(yīng)力峰值之后的曲線模擬有一定的差別，但大致趨向是一致的。

(3) 材料的強(qiáng)度硬化特性可以通過Weibull本構(gòu)模型中的參數(shù)m和E值表征，其控制應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段形狀、影響峰值應(yīng)力的大小。m和E值越大，峰值應(yīng)力越大，上升段越陡。

(4) 材料的應(yīng)變軟化特性可以通過Weibull本構(gòu)模型中的參數(shù)c值表征，其控制應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段形狀。c值越小，曲線越陡，材料承載力下降得越快，隨著加載速率的提高，c值呈現(xiàn)先減小后增加的規(guī)律。

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(編輯：陳紹選)

Application of Weibull Statistical Theory inConcrete’s Parameter Curve Model

PAN Qing-song, PENG Gang, HU Wei-hua, XU Xin

(College of Civil Engineering and Architecture, Three Gorges University, Yichang443002, China)

Abstract:In order to understand the mechanical properties of concrete under different loading rates, we conducted uniaxial compression test on cubic concrete specimens (strength C15, side length 150mm) under different loading rates (10-5/s，10-4/s，10-3/s，5×10-3 /s). The test was carried out by micro-computer controlled electro-hydraulic servo static and dynamic multifunctional triaxial apparatus. The compressive strength of concrete under uniaxial compression, deformation, and stress-strain curve model parameters based on the statistical theory of modified Weibull were studied and analyzed. Results revealed that the modified Weibull strain curve model parameters well fit the complete curve model of concrete specimens under different loading rates. The strength hardening properties could be characterized by the values of parameter m and E in the Weibull constitutive model, and the strain softening behavior can be expressed by parameter c in the constitutive Weibull model.

Key words: different loading rates; concrete’s complete curve; parameters based on Weibull statistical theory; strength hardening property; strain softening property