第一作者王濤男，博士生，1983年8月生

通信作者沈銳利男，博士，博士生導(dǎo)師，1963年7月生

基于動(dòng)力非線性有限元法的索-梁相關(guān)振動(dòng)研究

王濤，沈銳利

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，成都610031)

摘要：根據(jù)考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性的有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分算法，開發(fā)了有限元程序SD_FEM。使用該程序建立了精細(xì)的索-梁組合結(jié)構(gòu)有限元模型，計(jì)算了結(jié)構(gòu)的自振特性與結(jié)構(gòu)在外部動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)。分別討論了當(dāng)整體結(jié)構(gòu)自振頻率與拉索局部自振頻率有1∶1、2∶1和不成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致拉索振動(dòng)的狀況。分析了數(shù)值計(jì)算結(jié)果，總結(jié)了索-梁相關(guān)振動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律。

關(guān)鍵詞：拉索；振動(dòng)；動(dòng)力特性；幾何非線性；有限元方法

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178396)

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-05-29

中圖分類號:TU317文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Cable-beam vibration study with nonlinear dynamic FEM

WANGTao,SHENRui-li(School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:A nonlinear FEM program named SD-FEM was developed based on the FE dynamic time history integral algorithm considering geometric nonlinearity. A micromesh FE model for a cable-beam structure was built by using the program, its natural vibration characteristics and its vibration response under external dynamic loading were calculated. The situations of local cable vibration caused by cable-beam vibration were discussed when the ratio of the global natural frequency of the model to the natural frequency of cable was 1∶1, 2∶1 and not a multiple, respectively. The numeric calculation results were analyzed, and the essential rules of cable-beam vibration were summarized.

Key words:cable; vibration; dynamic character; geometrical nonlinearity; FEM

斜拉橋拉索在端部位移激勵(lì)下的大幅振動(dòng)現(xiàn)象是國內(nèi)外較為關(guān)注的研究課題。Max Irine[1]在其著作中較為詳盡地討論了索結(jié)構(gòu)的靜力與動(dòng)力理論。Nayfeh[2]在其研究著作中通過理論方法詳細(xì)地論述了非線性振動(dòng)的各種重要性質(zhì)。汪圣剛[3-6]分別建立并完善了拉索在端點(diǎn)位移作用下發(fā)生大幅振動(dòng)的理論計(jì)算模型，對拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下振動(dòng)的機(jī)理與振動(dòng)特性進(jìn)行了詳細(xì)研究與討論。De Sá Caetano[7]在其研究著作中對拉索振動(dòng)的理論方法做了較為全面的總結(jié)。Gattullia[8-9]分別使用了更為精細(xì)的理論方法、數(shù)值計(jì)算方法，討論了索-梁組合結(jié)構(gòu)在端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下的振動(dòng)特性。陳丕華等[10]針對單根拉索在端點(diǎn)位移作用下的振動(dòng)特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。

目前業(yè)界的研究表明，對于斜拉橋這樣一個(gè)復(fù)雜的索、梁組合結(jié)構(gòu)，拉索與整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)往往是互相影響的。

王濤等[11]將索-梁組合結(jié)構(gòu)中拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下的振動(dòng)定義為索-梁相關(guān)振動(dòng)，基于拉索的非線性振動(dòng)方程開發(fā)了“索動(dòng)力單元”，該單元在靜力計(jì)算時(shí)為普通的桿單元，在動(dòng)力特性計(jì)算中可以根據(jù)拉索軸力計(jì)算拉索的各階自振頻率，在動(dòng)力時(shí)程計(jì)算過程中根據(jù)拉索理論振動(dòng)方程計(jì)算拉索的動(dòng)拉力對整體結(jié)構(gòu)的作用，將拉索局部振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)整合在了一起，計(jì)算了索-梁組合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的特性，較為合理的討論了拉索局部振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的關(guān)系。

為了在動(dòng)力時(shí)程計(jì)算中更好地模擬結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)受力情況，在本文研究中，以考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性的有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分算法為基礎(chǔ)，開發(fā)了有限元程序，構(gòu)建了精細(xì)的索-梁組合結(jié)構(gòu)有限元模型，根據(jù)非線性振動(dòng)力理論原理，分析了計(jì)算結(jié)果，總結(jié)了索-梁相關(guān)振動(dòng)的規(guī)律。

1非線性有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分

1.1基本理論

若要完全考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性，則必須在動(dòng)力時(shí)程積分的每一步中使用平衡迭代。本文使用的非線性Newmak-β法的基本假定與普通的Newmak-β法相同，可以寫為：

(1a)

(1b)

其中各個(gè)參數(shù)表達(dá)式可以參見文獻(xiàn)[12]。與線性計(jì)算方法不同，考慮幾何非線性時(shí)，有限元結(jié)構(gòu)t+Δt時(shí)刻的振動(dòng)方程為：

Δ t)}+{ R({ δ( t+Δ t)})}=

(2)

將式(1)代入式(2)，可以得到：

(a0[M]+a1[C]){δ(t+Δt)}+{R({δ(t+Δt)})}=

{F({δ(t+Δt)})}+{Fe({δ(t+Δt)})}+

(3)

這樣，有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分問題就轉(zhuǎn)化為在每一個(gè)時(shí)間步求解非線性方程組(3)的問題。

可以使用牛頓迭代法來求解式(3)。式(3)左端中結(jié)構(gòu)振動(dòng)的恢復(fù)力向量{R}是節(jié)點(diǎn)位移向量{δ}的非線性函數(shù)。對于{R}本文使用的計(jì)算方法與有限元CR列式靜力計(jì)算方法相同，即：對于桿單元通過節(jié)點(diǎn)的伸長來計(jì)算桿件承受的真實(shí)軸力，對于梁單元不僅要計(jì)算導(dǎo)致伸長承受的軸力，還要扣除單元?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)后的計(jì)算節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)值來得到單元承受的實(shí)際彎矩。利用桿端位移計(jì)算桿端力的公式與計(jì)算方法詳見文獻(xiàn)[12-13]，但文獻(xiàn)中主要關(guān)注結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算問題。

在考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性時(shí)，式(3)右端結(jié)構(gòu)承受的外力向量{F}與結(jié)構(gòu)初始力導(dǎo)致的等效外力向量{Fe}(如：ANSYS中初應(yīng)變的概念)也是位移{δ}的非線性函數(shù)。它們都需要通過當(dāng)前迭代步的單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣來計(jì)算。

當(dāng)?shù)词諗繒r(shí)，式(3)左右兩端是不相等的，計(jì)算式(3)兩端的差值就可以得到迭代不平衡力。迭代過程中使用的切線剛度矩陣為等效總體剛度矩陣：

[K]=a0[M]+a1[C]+[K0]

(4)

式中:[M],[C],[K0]分別為將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)更新到當(dāng)前迭代步位置上時(shí)，結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣、靜力計(jì)算的總體切線剛度矩陣。

1.2算法流程

綜上所述，本文中考慮幾何非線性有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分Newmak-β法大致計(jì)算流程如下：

圖1　非線性有限元法計(jì)算流程圖 Fig.1Calculation flow graph of Nonlinear FEM

根據(jù)以上所述計(jì)算原理，本文編制了非線性靜/動(dòng)力計(jì)算程序SD_FEM。為了體現(xiàn)問題的本質(zhì)，同時(shí)簡化模型，提高計(jì)算效率，研究中使用了2維的平面有限元模型。關(guān)于3維空間桿系結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿r(shí)程計(jì)算方法思路與圖1是相同的，只是單元坐標(biāo)變換與結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)恢復(fù)力的計(jì)算更為復(fù)雜。

1.3算例驗(yàn)證

計(jì)算某根拉索(如圖2所示)自重構(gòu)型下，在右端點(diǎn)Y方向位移激勵(lì)作用下發(fā)生大幅振動(dòng)的情況。

圖2　拉索有限元模型圖 Fig.2 FEM model of the Cable

設(shè)拉索有限元模型的各個(gè)參數(shù)為：拉索兩端點(diǎn)距離為l=100 m；彈性模量E=2.01e11 Pa；拉索初始軸力H=1 080 kN；截面面積A=0.006 m2；材料質(zhì)量密度ρ=8 000 kg/m3；重力加速度G=9.8 m/s2。

首先使用本文程序建立圖2中的拉索有限元模型，拉索共分為10個(gè)直桿單元，考慮幾何非線性計(jì)算拉索的靜力構(gòu)型后，計(jì)算拉索的動(dòng)力特性得到拉索模態(tài)如圖3所示。

圖3　拉索振動(dòng)模態(tài) Fig.3 Vibration modes of the Cable

設(shè)圖2中ΔUY=UYsin(ωt)，根據(jù)動(dòng)力特性計(jì)算結(jié)果，這里取端點(diǎn)位移激勵(lì)頻率為0.835 Hz，UY=0.1 m。算例中不考慮阻尼，分別使用ANSYS(使用link1單元)與SD_FEM計(jì)算，使用強(qiáng)制位移施加端點(diǎn)位移激勵(lì)，取動(dòng)力時(shí)程計(jì)算時(shí)間步長Δt=0.02 s(在ANSYS與本文程序中都使用固定時(shí)間步長)，共計(jì)算1 500步，得到拉索的1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線如圖4所示。

圖4　拉索1/2點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程 Fig.4 Vibration time history curves of the 1/2 point of the Cable

觀察圖4 ，可以看出，本文程序SD_FEM非線性動(dòng)力時(shí)程計(jì)算結(jié)果與ANSYS結(jié)果幾乎沒有差別，這說明了本文程序的正確性與可靠性。由于SD_FEM是桿系結(jié)構(gòu)專用程序，計(jì)算速度較快，在本文作者計(jì)算機(jī)上，完成1 500步的計(jì)算用時(shí)約為12 s，而ANSYS用時(shí)約為3.5分鐘。本文程序計(jì)算速度較快，且提取、整理計(jì)算結(jié)果都相對較為方便。

2索-梁相關(guān)振動(dòng)特性研究

在本節(jié)中，基于文獻(xiàn)[11]中的算例，使用本文程序進(jìn)一步研究索-梁相關(guān)振動(dòng)的特性。

2.1計(jì)算模型

文獻(xiàn)[11]中模型如圖4所示。梁為4個(gè)平面梁單元(①~④)，拉索為3個(gè)可以考慮拉索非線性振動(dòng)效應(yīng)的直桿單元(⑤~⑦)。節(jié)點(diǎn)1,6,7,8完全約束。

圖5　結(jié)構(gòu)有限元模型 Fig.5 Global FEM model of the structure

對于圖4中的拉索，文獻(xiàn)[11]中定義了索-梁相關(guān)振動(dòng)的概念，它容易導(dǎo)致拉索的大幅振動(dòng)包括[3,4,6,8]：

主共振：當(dāng)拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)沿Y1方向分量的頻率與拉索的自振頻率比接近1∶1時(shí)拉索發(fā)生的強(qiáng)迫激勵(lì)作用下的大幅振動(dòng)。

參數(shù)共振：當(dāng)拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)的X1方向分量頻率與拉索的自振頻率比接近2∶1時(shí)，拉索發(fā)生的參數(shù)激勵(lì)作用下的大幅振動(dòng)。

本文中，使用SD_FEM程序建立更為精細(xì)的有限元離散模型，如圖5所示。

圖6　結(jié)構(gòu)有限元模型 Fig.6 Global FEM model of the structure

這里還是按照圖4 中的慣例，將結(jié)構(gòu)上的拉索稱為⑤,⑥,⑦號拉索。拉索⑤較長，分為12個(gè)直桿單元；⑥,⑦號拉索都分為10個(gè)直桿單元，各個(gè)拉索中點(diǎn)節(jié)點(diǎn)編號分別為14,24,33，拉索⑤的1/4點(diǎn)編號為11。

2.2頻率比1∶1時(shí)結(jié)構(gòu)索-梁相關(guān)振動(dòng)特性

取重力加速度G=9.8 m/s2，設(shè)置圖4中模型各個(gè)構(gòu)件的參數(shù)如表2中所示。

表1　結(jié)構(gòu)參數(shù)

按表1參數(shù)，考慮幾何非線性，計(jì)算得到圖4有限元模型在自重作用下的靜力構(gòu)型，拉索⑤,⑥,⑦的軸力分別為3.143e6 N, 3.011e6 N, 2.962e6 N，根據(jù)考慮垂度的拉索自振頻率理論公式計(jì)算[11]，得到各拉索1階自振頻率分別為0.958 Hz, 1.434 Hz, 2.606 Hz。計(jì)算圖4有限元模型在自重靜力構(gòu)型下的動(dòng)力特性，得到整體結(jié)構(gòu)模態(tài)如圖6所示。

圖6　結(jié)構(gòu)振型圖 Fig.6 Vibration modes of the structure

可以看出，整體結(jié)構(gòu)的1階自振頻率與拉索⑤的1階自振頻率比例關(guān)系接近1∶1。

按表1參數(shù)，建立圖5有限元模型，考慮幾何非線性計(jì)算結(jié)構(gòu)在自重下靜力構(gòu)型，再計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性如圖7所示。

圖7　結(jié)構(gòu)振型圖 Fig.7 Vibration modes of the structure

可以看出，如果使用圖4有限元模型，通過有限元模型求出整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，使用解析公式計(jì)算拉索的自振頻率，可以較為容易的分辨、對比拉索的局部自振頻率與整體結(jié)構(gòu)自振頻率。使用圖5有限元模型，拉索的局部振型與整體結(jié)構(gòu)的振型是“混合”在一起的，相對較為不容易分辨。觀察圖6與圖7也可以發(fā)現(xiàn)，這兩種方式是可以對比驗(yàn)證的。

為了考察模型的非線性振動(dòng)特性，使用圖5有限元模型，在計(jì)算結(jié)構(gòu)的靜力構(gòu)型后，在節(jié)點(diǎn)5上施加沿Y0方向的動(dòng)態(tài)力P0sin(ωt)。取動(dòng)態(tài)力頻率在0~3.0 Hz范圍內(nèi)變化，P0=-30 000 N。不慮結(jié)構(gòu)阻尼，動(dòng)力時(shí)程計(jì)算時(shí)間步長取為0.02 s，每個(gè)時(shí)間點(diǎn)計(jì)算5 000步。提取各個(gè)時(shí)間點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 5沿Y0方向，拉索⑤,⑥,⑦中點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)14,24,33)沿Y1方向的最大響應(yīng)，繪制節(jié)點(diǎn)頻率-響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖8　有限元模型各個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率-響應(yīng)曲線 Fig.8 Thefrequency-response curve of the nodes of FEM model

從圖8中可以看出，當(dāng)外激勵(lì)頻率在約0.9 Hz到1.0 Hz 范圍內(nèi)時(shí)，外激勵(lì)頻率接近整體結(jié)構(gòu)與拉索⑤的1階頻率，整體結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)作用發(fā)生了共振。由于整體結(jié)構(gòu)1階自振頻率與拉索1階自振頻率接近1∶1的關(guān)系，拉索⑤(1/2節(jié)點(diǎn)14)在端點(diǎn)位移的帶動(dòng)下發(fā)生了1∶1的主共振，振動(dòng)幅值較大。且頻率-響應(yīng)曲線有向右彎曲的趨勢，體現(xiàn)了“硬彈簧”的性質(zhì)。

當(dāng)外激勵(lì)值在其它拉索自振頻率附近時(shí)，由于整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)較小，拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)幅值較小，拉索振幅較小。當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離拉索與整體結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)都相對很小。

為了研究拉索在索-梁相關(guān)振動(dòng)作用下發(fā)生主共振的特性，使用圖5有限元模型，在計(jì)算結(jié)構(gòu)的靜力構(gòu)型后，在節(jié)點(diǎn)5上，沿Y0方向施加動(dòng)態(tài)力P0sin(ωt)，設(shè)動(dòng)態(tài)力頻率為0.96 Hz,P0=-30 000 N。計(jì)算時(shí)間步長取為0.02 s，共計(jì)算10 000步。

非線性動(dòng)力時(shí)程計(jì)算非線性Newmak-β法中設(shè)置γ=0.505，相當(dāng)于施加了較小的算法阻尼，(經(jīng)過本文試算，這個(gè)阻尼的量級大約相當(dāng)于有限元模型中Rayleigh阻尼[C]=α[M]+β[K]中分別取[M]與[K]為建模初始值，α與β均取為2.0e-4時(shí)的阻尼值)。

動(dòng)態(tài)力頻率接近整體結(jié)構(gòu)的1階自振頻率，會(huì)造成整體結(jié)構(gòu)的共振。首先，提取節(jié)點(diǎn)14的在Y1方向的振動(dòng)時(shí)程曲線如圖9所示。

圖9　節(jié)點(diǎn)14振動(dòng)時(shí)程圖、頻譜圖 Fig.9 Vibration time history and Spectrogram curve of node 14

從圖9中可以看出，在外激勵(lì)作用下，索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致了拉索⑤(1/2節(jié)點(diǎn)14)發(fā)生了1∶1主共振。由于有限元模型動(dòng)力時(shí)程計(jì)算是從自重變形后的狀態(tài)開始的，所以振動(dòng)平衡位置不為零。拉索非線性振動(dòng)有明顯的“拍振”現(xiàn)象，即：發(fā)生共振時(shí)，具有“硬彈簧”性質(zhì)的非線性振動(dòng)幅值不會(huì)在外激勵(lì)作用下持續(xù)增大，而是呈現(xiàn)周期性的漲落[2]。

為了對比各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)程，觀察振動(dòng)的發(fā)展趨勢。將各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)平衡位置設(shè)置為零，然后繪制各節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線的包絡(luò)圖(節(jié)點(diǎn)5振動(dòng)為Y0方向，節(jié)點(diǎn)14,24,33為Y1方向)，如圖10所示。

圖10　各個(gè)節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線包絡(luò)圖 Fig.10 Envelopecurve of time history curve of the nodes

由圖10可以看出，整體結(jié)構(gòu)(節(jié)點(diǎn)5)在外激勵(lì)的作用下發(fā)生了共振，振幅在前50 s內(nèi)迅速增加，由于結(jié)構(gòu)的振幅越來越大，拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)的幅值也越來越大，拉索⑤(1/2節(jié)點(diǎn)14)發(fā)生1∶1主共振幅值也越來越大。

整體結(jié)構(gòu)的振幅沒有在外激勵(lì)作用下大幅增加，對于這個(gè)現(xiàn)象，本文認(rèn)為，主要是由于索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致拉索發(fā)生了1∶1主共振，外激勵(lì)注入的能量較多地被轉(zhuǎn)移到了拉索上，拉索的非線性振動(dòng)“硬彈簧”效應(yīng)限制了拉索的振幅，導(dǎo)致了“拍振”現(xiàn)象，也限制了整體結(jié)構(gòu)的振幅。

觀察圖9與圖10也可以發(fā)現(xiàn)，拉索中點(diǎn)沿Y1正方向振動(dòng)的幅值要大于負(fù)方向的幅值。這體現(xiàn)了非線性振動(dòng)的“振動(dòng)漂移”現(xiàn)象。根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的理論描述與文獻(xiàn)[14]的推導(dǎo)：在理論上，這是由于拉索非線性振動(dòng)方程中恢復(fù)力項(xiàng)包含的2次項(xiàng)造成的，而這個(gè)2次項(xiàng)是由推導(dǎo)中記入了拉索垂度造成的。

取節(jié)點(diǎn)5的振動(dòng)時(shí)程，作FFT變換，得到頻譜圖，如圖11所示。

圖11　節(jié)點(diǎn)5振動(dòng)頻譜圖 Fig.11 Spectrogram curve of node 5

從圖11中可以看出，當(dāng)索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致拉索主共振時(shí)，由于拉索大幅振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的互相影響，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)中包含的主要頻譜成分有所改變。

2.3頻率比2∶1時(shí)結(jié)構(gòu)索-梁相關(guān)振動(dòng)特性

取重力加速度G=9.8 m/s2，設(shè)置圖4中模型各個(gè)構(gòu)件的參數(shù)如表2中所示。

表2　結(jié)構(gòu)參數(shù)

按表2參數(shù)，考慮幾何非線性，計(jì)算得到圖4有限元模型在自重作用下的靜力構(gòu)型，拉索⑤,⑥,⑦的軸力分別為1.088E6 N, 1.486E6 N, 1.889E6 N，根據(jù)考慮垂度的拉索自振頻率理論公式[11]，得到各拉索1階自振頻率分別為0.672 Hz,0.958 6 Hz, 1.870 Hz。計(jì)算圖4有限元模型在自重靜力構(gòu)型下的動(dòng)力特性，得到整體結(jié)構(gòu)模態(tài)如圖12所示。

圖12　結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài) Fig.12 Vibration modes of the structure

可以看出，整體結(jié)構(gòu)的1階自振頻率與拉索⑤的1階自振頻率比例關(guān)系接近2∶1。

按表2參數(shù)，建立圖5有限元模型，考慮幾何非線性計(jì)算結(jié)構(gòu)在自重下靜力構(gòu)型，再計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性如圖13所示。

圖13　結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài) Fig.13 Vibration modes of the structure

由2.3節(jié)的頻率響應(yīng)曲線可以看出，當(dāng)外激勵(lì)作用下整體結(jié)構(gòu)發(fā)生共振且整體結(jié)構(gòu)自振頻率與拉索自振頻率呈一定比例關(guān)系時(shí)，拉索振幅較大。

所以，為了研究拉索在索-梁相關(guān)振動(dòng)作用下發(fā)生參數(shù)共振的特性，使用圖5有限元模型，在計(jì)算結(jié)構(gòu)的靜力構(gòu)型后，在節(jié)點(diǎn)5上，沿Y0方向施加動(dòng)態(tài)力P0sin(ωt)，設(shè)動(dòng)態(tài)力頻率為1.344 Hz,P0=-30 000 N。阻尼設(shè)置與2.2節(jié)相同，計(jì)算時(shí)間步長取為0.02 s，共計(jì)算10 000步。

將各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)平衡位置設(shè)置為零，然后繪制各節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線包絡(luò)圖(節(jié)點(diǎn)5為Y0方向，節(jié)點(diǎn)11,14,24,33為Y1方向)，以及主要關(guān)注的節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)11,14,5)的振動(dòng)頻譜圖，如圖14所示。

圖14　各個(gè)節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線包絡(luò)圖、頻譜圖 Fig.14 Envelope curve of time history curve of the nodes and Spectrogram curve of the nodes

從圖14(a)中可以看出，由于外激勵(lì)頻率接近整體結(jié)構(gòu)的1階自振頻率，外激勵(lì)造成了整體結(jié)構(gòu)的共振，能量通過拉索端點(diǎn)傳遞到了拉索上。拉索⑤的1/2點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)14)發(fā)生了大幅振動(dòng)，同時(shí)拉索⑤的1/4點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)11)也發(fā)生了大幅振動(dòng)。拉索的非線性效應(yīng)導(dǎo)致了節(jié)點(diǎn)發(fā)生振幅漲落的“拍振”，也限制了整體結(jié)構(gòu)的振幅。

觀察 14(b)可以看出，拉索⑤的1/2點(diǎn)的頻譜曲線在拉索大幅振動(dòng)時(shí)較為復(fù)雜，但主要的響應(yīng)頻率在0.69 Hz附近，接近拉索的1階自振頻率，這說明拉索發(fā)生了1階參數(shù)共振。之所以響應(yīng)頻率稍大于拉索的1階自振頻率，這是由拉索非線性振動(dòng)“硬彈簧”造成的振動(dòng)硬化效應(yīng)導(dǎo)致的[2]。

觀察14(c)可以看出，拉索⑤的1/4點(diǎn)在拉索大幅振動(dòng)時(shí)主要的響應(yīng)頻率在0.69 Hz,1.395 Hz這兩個(gè)頻率附近，且后者為前者數(shù)值的2倍。

這說明，由于拉索垂度較小，拉索的2階自振頻率接近1階自振頻率的2倍，外激勵(lì)與拉索2階自振頻率接近1∶1的關(guān)系，外激勵(lì)也導(dǎo)致拉索發(fā)生了2階主共振。拉索1/4點(diǎn)的響應(yīng)不僅包含了1階參數(shù)共振，也包含了2階主共振。

實(shí)際上，本節(jié)模型中發(fā)生索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)，1階參數(shù)共振與2階主共振在拉索⑤上是同時(shí)發(fā)生的耦合振動(dòng)。對比圖13中，有限元離散模型整體結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)與第4階模態(tài)，也可以觀察到這個(gè)趨勢。

使用本文程序，通過提取計(jì)算結(jié)果，繪制了振動(dòng)發(fā)展的動(dòng)畫，可以直觀地觀察到拉索上同時(shí)存在1階參數(shù)共振與2階主共振。但限于表達(dá)方式，以上結(jié)果只能用頻譜圖來說明。

從圖14(d)中可以看出，由于本節(jié)模型發(fā)生索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)，拉索大幅振動(dòng)的情況更為復(fù)雜，整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)包含的主要頻譜成分變得更加復(fù)雜。

2.4頻率比不成倍時(shí)結(jié)構(gòu)索-梁相關(guān)振動(dòng)特性

在實(shí)際斜拉橋中，主梁的質(zhì)量往往較大，拉索低階自振頻率很可能與整體結(jié)構(gòu)自振頻率是不匹配的，拉索低階自振頻率通常大于橋梁結(jié)構(gòu)整體低階自振頻率。在本節(jié)內(nèi)容中研究當(dāng)索、梁頻率不匹配時(shí)結(jié)構(gòu)的索-梁相關(guān)振動(dòng)特性。結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示。

表3　結(jié)構(gòu)參數(shù)

按表3參數(shù)，考慮幾何非線性計(jì)算，計(jì)算得到圖4有限元模型在自重作用下的靜力構(gòu)型，拉索⑤,⑥,⑦的1階自振頻率分別為1.217 Hz, 1.724 Hz,2.861 Hz。計(jì)算圖4有限元模型在自重靜力構(gòu)型下的動(dòng)力特性，得到整體結(jié)構(gòu)模態(tài)如圖15所示。

圖15　結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài) Fig.15 Vibration modes of the structure

可以看出，整體結(jié)構(gòu)的1階自振頻率與拉索⑤的1階自振頻率無1∶1與2∶1的比例關(guān)系。

按表3參數(shù)，建立如圖5有限元離散模型，計(jì)算結(jié)構(gòu)的自重靜力構(gòu)型下的模態(tài)為如圖16所示。

圖16　結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài) Fig.16 Vibration modes of the structure

使用圖5有限元模型，在計(jì)算結(jié)構(gòu)的靜力構(gòu)型后，在節(jié)點(diǎn)5的Y0方向上施加動(dòng)態(tài)力P0sin(ωt)，頻率為0.8Hz,P0=-30 000 N 。阻尼設(shè)置與3.2節(jié)相同，步長取0.02 s，共計(jì)算10 000步。

將各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)平衡位置設(shè)置為零，然后繪制各節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線包絡(luò)圖(節(jié)點(diǎn)5為Y0方向，節(jié)點(diǎn)11,14,24,33為Y1方向)，如圖17所示。

圖17　各個(gè)節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線包絡(luò)圖 Fig.17 Envelopecurve of time history curve of the nodes

觀察圖17，可以看出，由于設(shè)定的外激勵(lì)的頻率與整體結(jié)構(gòu)的1階自振頻率接近。整體結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)作用下發(fā)生了共振，主梁上節(jié)點(diǎn)5的振幅增加較為迅速。在振動(dòng)發(fā)展初期，拉索振動(dòng)幅值增加較小。而在80秒左右，發(fā)生了拉索⑤(1/2節(jié)點(diǎn)14)的振動(dòng)幅度迅速增加的共振現(xiàn)象。

為了研究這個(gè)現(xiàn)象，首先，截取0 s~80 s振動(dòng)時(shí)程數(shù)據(jù)，對節(jié)點(diǎn)5的振動(dòng)時(shí)程作FFT變換，得到振動(dòng)頻譜曲線，如圖18所示。

圖18　節(jié)點(diǎn)5與14振動(dòng)頻譜圖 Fig.18 Spectrogram curves of node 5 and node 14

從圖18的頻譜曲線可以看出，在前80 s內(nèi)，拉索⑤的1/2點(diǎn)振動(dòng)頻譜與主梁接近且振動(dòng)幅值不大。這說明拉索只是在端點(diǎn)位移的帶動(dòng)下發(fā)生了振動(dòng)，并未發(fā)生大幅共振。

截取80 s~100 s之間各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)程曲線(節(jié)點(diǎn)5為Y0方向14,24,33為Y1方向)如圖19所示。

圖19　各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)程曲線 Fig.19 Vibration envelopecurve of the nodes

如圖19，可以看出，在85 s左右，拉索⑤的1/2點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)14)發(fā)生了較大幅度的振動(dòng)。這里截取共振現(xiàn)象最明顯的85~95 s之間，節(jié)點(diǎn)14與節(jié)點(diǎn)5的振動(dòng)時(shí)程，作FFT變換得到頻譜曲線如圖20所示。

圖20　節(jié)點(diǎn)5與節(jié)點(diǎn)14振動(dòng)頻譜圖 Fig.20 Spectrogram curve of node 5 and node 14

觀察圖20 ，可以發(fā)現(xiàn)，整體結(jié)構(gòu)梁上節(jié)點(diǎn)5的頻譜成分基本未發(fā)生變化，在0.8 Hz附近。拉索主要包含的頻率成分為0.399 Hz,1.198 Hz。

本文判斷，拉索⑤在80 s左右之所以發(fā)生大幅共振的原因是：由于整體結(jié)構(gòu)振幅增加，拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)的幅值較大，且拉索自振頻率大于端點(diǎn)位移激勵(lì)的頻率。索-梁相關(guān)振動(dòng)激起拉索發(fā)生了 “超諧波共振”這一非線性振動(dòng)的特有現(xiàn)象。

關(guān)于諧波共振發(fā)生的原因，文獻(xiàn)[2,14]中通過建立拉索大幅振動(dòng)的非線性方程，使用多尺度法從理論上做了較為詳細(xì)的探討。研究結(jié)果表明，對于非線性振動(dòng)系統(tǒng)，振動(dòng)方程的高次近似解中的諧波項(xiàng)與外激勵(lì)的組合可能導(dǎo)致諧波共振(包括次諧波共振與超諧波共振)。數(shù)值計(jì)算與理論分析表明，系統(tǒng)阻尼對諧波共振的抑制作用更為明顯，通常只有當(dāng)外激勵(lì)幅值較大時(shí)才可能發(fā)生較大幅值的諧波共振。

從圖17與19中也可以看出，當(dāng)外激勵(lì)導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)5的振幅達(dá)到接近1 m的時(shí)候(遠(yuǎn)大于圖10與圖14)，才激起拉索⑤發(fā)生共振。這時(shí)，外激勵(lì)能量主要傳遞到拉索上，整體結(jié)構(gòu)的振幅不再增大。

使用圖5有限元模型，在計(jì)算結(jié)構(gòu)的靜力構(gòu)型后，在節(jié)點(diǎn)5的Y0方向上施加動(dòng)態(tài)力P0sin(ωt)，頻率為1.22Hz,P0=-30 000 N 。阻尼設(shè)置與2.2節(jié)相同，時(shí)間步長取0.02 s，共計(jì)算10 000步。得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)最大振幅的包絡(luò)圖如圖21所示。

圖21　各個(gè)節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程曲線包絡(luò)圖 Fig.21 Vibration envelopecurve of the nodes

從圖21中可以看出，由于設(shè)定的外激勵(lì)頻率與整體結(jié)構(gòu)自振頻率差別較大，整體結(jié)構(gòu)不會(huì)在外激勵(lì)作用下發(fā)生共振。外激勵(lì)的頻率接近拉索5的1階自振頻率，能量主要被拉索吸收，拉索5發(fā)生了1∶1主共振，由于整體結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)較小，拉索端部位移激勵(lì)幅值不大，拉索主共振的響應(yīng)相對較小，振動(dòng)幅值的增加速度較慢。

3結(jié)論

(1)本文編制了非線性靜/動(dòng)力有限元計(jì)算程序，通過和ANSYS的對比，驗(yàn)證了程序的可靠性。從計(jì)算原理的本質(zhì)來講，非線性有限元?jiǎng)恿r(shí)程積分算法能更好地體現(xiàn)結(jié)構(gòu)大幅振動(dòng)的受力細(xì)節(jié)。本文索-梁組合結(jié)構(gòu)有限元模型動(dòng)力時(shí)程計(jì)算結(jié)果中可以觀察到“硬彈簧”、“拍振”、“振動(dòng)漂移”、“諧波共振”等非線性振動(dòng)的特有現(xiàn)象，有限元計(jì)算結(jié)果能與傳統(tǒng)的非線性振動(dòng)理論描述互相印證。

(2)對于索-梁組合結(jié)構(gòu)，如果整體結(jié)構(gòu)自振頻率與拉索自振頻率呈1∶1的關(guān)系，當(dāng)主梁上外激勵(lì)頻率接近整體結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，索-梁相關(guān)振動(dòng)容易導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅主共振，外激勵(lì)能量通過主梁傳遞到拉索上，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的振幅不會(huì)大幅增加。由于拉索振動(dòng)的非線性效應(yīng)，拉索大幅振動(dòng)的幅值也是有限的。拉索大幅振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)互相影響，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻譜特性變得復(fù)雜。

(3)如果整體結(jié)構(gòu)自振頻率與拉索自振頻率呈2∶1的關(guān)系，當(dāng)主梁上外激勵(lì)頻率接近整體結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，索-梁相關(guān)振動(dòng)容易導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅參數(shù)共振，外激勵(lì)能量通過主梁傳遞到拉索上，整體結(jié)構(gòu)振幅不會(huì)大幅增加。拉索振動(dòng)的非線性效應(yīng)導(dǎo)致拉索大幅振動(dòng)的幅值也是有限的。由于結(jié)構(gòu)中小垂度拉索的2階自振頻率接近1階自振頻率的2倍，拉索會(huì)在端點(diǎn)位移激勵(lì)下發(fā)生1階參數(shù)共振，同時(shí)發(fā)生2階主共振，這兩種大幅振動(dòng)模態(tài)是耦合的，這種情況下，拉索索力變化更加復(fù)雜，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻譜特性更加復(fù)雜。

(4)如果整體結(jié)構(gòu)頻率與拉索頻率不成倍匹配。當(dāng)主梁上外激勵(lì)接近整體結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，振動(dòng)發(fā)展初期，索-梁相關(guān)振動(dòng)不容易導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅振動(dòng)，振動(dòng)的能量傳遞不明顯，拉索振動(dòng)的非線性效應(yīng)不明顯，整體結(jié)構(gòu)容易發(fā)生大幅振動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)持續(xù)時(shí)間較長，整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值較大導(dǎo)致拉索端部位移激勵(lì)較大時(shí)，索-梁相關(guān)振動(dòng)有可能導(dǎo)致拉索發(fā)生“諧波共振”，這時(shí)，拉索振動(dòng)非線性效應(yīng)變得明顯，整體結(jié)構(gòu)與拉索之間發(fā)生能量傳遞，限制了整體結(jié)構(gòu)振幅的增加。

(5)對于索-梁組合結(jié)構(gòu)，若梁上外激勵(lì)頻率與整體結(jié)構(gòu)頻率不匹配，但外激勵(lì)頻率接近某根拉索自振頻率時(shí)，拉索在外激勵(lì)作用下容易發(fā)生共振，外激勵(lì)能量較多地被發(fā)生共振的拉索吸收。由于外激勵(lì)不會(huì)造成整體結(jié)構(gòu)共振，整體結(jié)構(gòu)吸收能量較少，端點(diǎn)位移激勵(lì)的幅值較小，這種情況下拉索發(fā)生的共振幅值相對較小，振幅增加速度也較慢。

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