第一作者溫華兵男，副教授，1977年生

基于FE-SEA混合法的空心阻振質(zhì)量阻振性能研究

溫華兵，彭子龍，劉林波

(江蘇科技大學(xué)振動(dòng)噪聲研究所，江蘇鎮(zhèn)江212003)

摘要：闡述了FE-SEA混合法的基本原理，分別采用FEM、SEA和FE-SEA混合法對(duì)帶阻振質(zhì)量薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)速度進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過(guò)設(shè)計(jì)帶近似等質(zhì)量的空心梁與實(shí)心梁阻振質(zhì)量的薄板結(jié)構(gòu)模型實(shí)驗(yàn)，對(duì)上述三種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)定義特征尺寸與波長(zhǎng)的比值△，找到了各自的控制頻域。結(jié)果表明：采用Δ作為劃分上述三種方法有效頻域的指標(biāo)是可行的；在分析頻率8 kHz范圍內(nèi)，空心阻振質(zhì)量比實(shí)心阻振質(zhì)量的整體阻振效果提高了10 dB左右；尤其是在中高頻區(qū)的阻振效果更加明顯，但在100 Hz以下的低頻區(qū)阻振效果不如實(shí)心阻振質(zhì)量的好。說(shuō)明空心阻振質(zhì)量比實(shí)心阻振質(zhì)量具有更好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：FE-SEA混合法；空心方鋼；實(shí)心方鋼；阻振質(zhì)量；傳遞損失；速度響應(yīng)；特征尺寸

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-03-07

中圖分類號(hào):TB532文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Vibration-isolating performance of hollow-square-steel blocking mass based on hybrid FE-SEA method

WENHua-bing,PENGZi-long,LIULin-bo(Institute of Noise and Vibration, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China)

Abstract:The basic principle of the FE-SEA hybrid method was presented, and a plate structure model with blocking masses was built based on FEM, SEA and FE-SEA hybrid method, separately. By performing the model tests of plate structures with approximate equal-mass hollow beam and solid beam, the predicted results with the above three different methods were verified using tests. Defining a parameter △ to indicate the ratio of characteristic dimension to wavelength, and according to △, the whole frequency range was divided into some parts, the governing frequency ranges suitable for each analysis method were found. The results showed that the method of adopting the parameter △as the index of distinguishing effective frequency ranges is feasible; within the range of 8 kHz, the vibration-isolating performance of the whole structure with hollow blocking mass is nearly 10dB higher than that with solid blocking mass, especially, in mid-high frequency range the vibration-isolating effect is much obvious; however, the vibration-isolating performance of the structure with hollow blocking mass is worse compared with that with solid blocking mass within the frequency range below 125Hz; the hollow blocking mass has a better application prospect than the solid blocking mass does.

Key words:hybrid FE-SEA method; hollow-square steel; solid-square steel; blocking mass; transmission loss; velocity response; characteristic dimension

傳統(tǒng)的分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲輻射的方法主要有確定性分析方法和統(tǒng)計(jì)性分析方法兩大類。前者以有限元法(FEM)為主，它吸取了差分法對(duì)求解域進(jìn)行離散處理的啟發(fā)，又繼承了里茲法選擇試探函數(shù)的合理方法，使得處理的問題更為復(fù)雜，因而得到廣泛的應(yīng)用。但是隨著分析頻率的提高并且為了滿足每個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)6～10個(gè)單元的原則，使得網(wǎng)格急劇增加，計(jì)算成本加大。并且有限元模型的建立是基于系統(tǒng)的確定性物理參數(shù)，實(shí)際的結(jié)構(gòu)在制造和裝配過(guò)程中不可避免產(chǎn)生公差，而系統(tǒng)在高頻區(qū)對(duì)參數(shù)微小變化異常敏感，導(dǎo)致計(jì)算產(chǎn)生嚴(yán)重失真。

而統(tǒng)計(jì)性分析方法目前主要是統(tǒng)計(jì)能量法(SEA)，它從時(shí)間、頻率、空間平均的統(tǒng)計(jì)角度預(yù)測(cè)子系統(tǒng)間的能量流傳遞、各子系統(tǒng)的能量響應(yīng)。但是其理論前提對(duì)于模態(tài)密集的高頻振動(dòng)是合理的，這就使得該方法在有效分析頻率上受到限制。

尤其當(dāng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)在中頻區(qū)內(nèi)承受來(lái)自外界的振動(dòng)與噪聲載荷時(shí)，模態(tài)密度存在較大差異的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出復(fù)雜的力學(xué)特性。單純采用FEM或SEA都無(wú)法解決這類問題[1]。為此，Langley等[2-3]分別創(chuàng)立了基于模態(tài)耦合和波動(dòng)理論的FE-SEA混合法，從而使復(fù)雜結(jié)構(gòu)全頻段的振動(dòng)與聲輻射問題的解決成為可能。

基于阻抗失配機(jī)理，阻振質(zhì)量常常被布設(shè)在板的結(jié)合處，使結(jié)構(gòu)中傳遞的振動(dòng)波受到部分反射，從而達(dá)到隔聲的目的。車馳東等[4]基于波動(dòng)理論研究了多轉(zhuǎn)角阻振質(zhì)量結(jié)構(gòu)對(duì)結(jié)構(gòu)聲的阻抑特性。王獻(xiàn)忠等[5]采用FE-SEA混合法求解含阻振質(zhì)量基座的聲振響應(yīng)問題，并進(jìn)行了雙層殼模型實(shí)驗(yàn)研究。申華等[6]在實(shí)心方鋼阻振的理論基礎(chǔ)上，研究了平板結(jié)構(gòu)受點(diǎn)激勵(lì)時(shí)空心方鋼阻振質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)中振動(dòng)波傳遞的阻抑特性。

對(duì)于不同截面形狀的阻振質(zhì)量的阻振性能目前研究仍然較少，如何使阻振質(zhì)量既滿足有較好的阻振效果又能節(jié)省材料成為阻振質(zhì)量進(jìn)一步研究的問題。由于阻振質(zhì)量和板殼結(jié)構(gòu)之間的模態(tài)密度存在較大差異，尤其當(dāng)所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時(shí)，采用波分析法的解析較為困難，單一使用FEM或SEA所建立的模型也不能用于寬頻范圍的振動(dòng)特性分析。分別采用FEM、SEA和FE-SEA混合法研究了近似等質(zhì)量的空心阻振質(zhì)量與實(shí)心阻振質(zhì)量的薄板結(jié)構(gòu)的阻振特性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1基于波動(dòng)理論的FE-SEA混合法基本原理[3]

1.1系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)方程

類比有限元頻響分析，經(jīng)傅里葉變換FE-SEA混合法中系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

(3)

式中:〈Sqq〉為確定性子系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)：

(4)

符號(hào)·-H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置并求逆的運(yùn)算。

1.2直接場(chǎng)與混響場(chǎng)的互易關(guān)系

隨著隨機(jī)邊界上的不確定性因素的增加，方程(4)里面混響場(chǎng)受擋力f(m)rev趨近下面的極限

(5)

式中:αm為與混響場(chǎng)振幅相關(guān)的比例常數(shù)。

(6)

式中:Em和nm分別為第m個(gè)隨機(jī)子系統(tǒng)在混響場(chǎng)中所具有的能量和第m個(gè)隨機(jī)子系統(tǒng)的模態(tài)密度。

1.3混合連接的功率平衡方程

如圖1所示，對(duì)于與確定性子系統(tǒng)相連的第m個(gè)隨機(jī)子系統(tǒng)，在混合連接處存在以下功率平衡方程

(7)

圖1　隨機(jī)子系統(tǒng)中功率平衡示意圖 Fig.1 Schematic representation of energy flow balance within a statistical subsystem

(8)

式中:

(9)

(10)

(11)

式中:htot,m為第m個(gè)隨機(jī)性子系統(tǒng)在混響場(chǎng)中的能量損耗系數(shù)：

(12)

而Pdiss,m可表示為

Pdiss,m=ωηmEm

(13)

式中:ηm為第m個(gè)隨機(jī)子系統(tǒng)的內(nèi)損耗因子。

將式(8)～(13)代入式(7)，即可對(duì)隨機(jī)性子系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行求解。然后根據(jù)互易關(guān)系，即式(5)～(6)得到作用在確定性子系統(tǒng)上的力譜。最后根據(jù)(1)～(4)建立系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)方程，求解確定性廣義坐標(biāo)下的集合平均值〈Sqq〉，每個(gè)頻率重復(fù)進(jìn)行。

新時(shí)期，新發(fā)展，十八大以來(lái)，我國(guó)進(jìn)入了全面深化改革的新的歷史時(shí)期，鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略規(guī)劃出了新時(shí)期農(nóng)業(yè)農(nóng)村工作的發(fā)展路徑，農(nóng)業(yè)不斷向著綠色、現(xiàn)代化邁進(jìn)。與時(shí)代同步，面對(duì)深化改革和綠色發(fā)展的新要求，化肥流通行業(yè)也在不斷轉(zhuǎn)型升級(jí)，開創(chuàng)出了創(chuàng)新融合發(fā)展的新格局，有力推動(dòng)了化肥工業(yè)的供給結(jié)構(gòu)性側(cè)改革，為新時(shí)代的新農(nóng)業(yè)發(fā)展提供了有力的支持。

2數(shù)值計(jì)算

按照上述基本原理，建立帶近似等質(zhì)量的空心梁與實(shí)心梁板結(jié)構(gòu)的混合法模型，其結(jié)構(gòu)示意圖見圖2。板A～F為邊長(zhǎng)0.5 m厚度3 mm的正方形鋼板，密度7 800 kg/m3，泊松比為0.3，彈性模量為2.1×1011Pa。為了產(chǎn)生入射的平面彎曲波，在A板、B板間加裝了一根大剛度實(shí)心方形截面梁(以下簡(jiǎn)稱中間梁)，并在中間位置施加一隨機(jī)激勵(lì)力，其大小可由下文的實(shí)驗(yàn)測(cè)得，如圖3所示；在A板、C板間布置實(shí)心阻振質(zhì)量(尺

圖2　帶阻振質(zhì)量薄板結(jié)構(gòu)模型 Fig.2 Sheet structure model with blocking masses

寸同中間梁)，在B板、D板間布置空心阻振質(zhì)量，其參數(shù)如表1所示。為了吸收E板與F板邊緣的反射波，以模擬半無(wú)限長(zhǎng)的情況，在E板與F板的上下表面和端部粘貼了5 mm厚粘彈性阻尼材料，其密度為1 000 kg/m3，泊松比0.49。計(jì)算時(shí)各板、阻振質(zhì)量、阻尼材料的內(nèi)損耗因子均來(lái)自下文的實(shí)驗(yàn)測(cè)量，如圖4所示。

表1　阻振質(zhì)量參數(shù)

考慮到FE-SEA混合法中子系統(tǒng)的劃分與波長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，有必要對(duì)結(jié)構(gòu)中波長(zhǎng)隨頻率的變化情況進(jìn)行分析。并且由于薄板中彎曲波長(zhǎng)通常遠(yuǎn)小于拉伸和剪切方向的波長(zhǎng)，模型中的薄板又以彎曲為主，所以只考慮彎曲波即可。薄板或梁中彎曲波長(zhǎng)可表示為[7]：

(14)

圖3 激振力頻譜圖Fig.3Excitingforcespectrogram圖4 內(nèi)損耗因子Fig.4Dampinglossfactor圖5 結(jié)構(gòu)中的彎曲波長(zhǎng)Fig.5Structuralbendingwavelength

由于薄板與阻振質(zhì)量的剛度相差較大，薄板與阻振質(zhì)量分別采用SEA、FEM建模。并且為了驗(yàn)證FE-SEA混合法建模的正確性，還分別采用了FEM、SEA在31.5～8 000 Hz頻率范圍內(nèi)(1/3倍頻程)進(jìn)行分析。同時(shí)，為了找出各自方法的有效頻率區(qū)間，本文還定義了特征尺寸D與波長(zhǎng)λb的比值這一無(wú)量綱數(shù)作為判定上述三種方法有效性的指標(biāo)。

(15)

具體計(jì)算結(jié)果見后文與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的對(duì)比。

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖6　實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng) Fig.6 Experimental site

為了驗(yàn)證基于FE-SEA混合法建立模型的正確性，本文還開展了帶阻振質(zhì)量薄板結(jié)構(gòu)的阻振性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖6所示。實(shí)驗(yàn)時(shí)，為了減小板邊緣的反射波的影響以及粘貼阻尼層后結(jié)構(gòu)阻抗突變的影響，阻尼層被布置成圖6中所示的V形狀，試樣由多根彈性繩懸掛以模擬自由邊界條件。

考慮到中間、左側(cè)實(shí)心梁尺寸、材料完全一樣，且兩次激勵(lì)力大小一樣，同時(shí)為了消除兩次激勵(lì)點(diǎn)輸入阻抗的差異，因此在假定阻尼材料完全吸收邊界反射波的情況下，可以認(rèn)為激勵(lì)點(diǎn)2時(shí)單位激振速度下的C板的平均振動(dòng)速度即為激勵(lì)點(diǎn)1時(shí)左側(cè)實(shí)心梁與右側(cè)空心梁入射波的大小。從而，可以采用傳遞損失來(lái)衡量空心、實(shí)心阻振質(zhì)量的阻振效果。其表達(dá)式為：

(15)

式中:R、ω、v分別為傳遞損失、分析圓頻率、對(duì)應(yīng)板的單位激勵(lì)速度下的平均振動(dòng)速度，角標(biāo)s、h、1、2分別表示實(shí)心、空心、激勵(lì)點(diǎn)1、激勵(lì)點(diǎn)2，上標(biāo)橫線表示平均值，C、D分別表示C板、D板。

激勵(lì)中間梁時(shí)不同區(qū)域板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)速度實(shí)測(cè)值(基準(zhǔn)值為10-6)如圖7所示，傳遞損失的實(shí)測(cè)值如圖8所示。

通過(guò)對(duì)比可見：①位于施加激勵(lì)的中間梁兩側(cè)的A板與B板的振動(dòng)速度實(shí)測(cè)值在4kHz以下差異不明顯，在4kHz以上頻率B板的振動(dòng)速度比A板高5 dB左右。其原因在于：阻振質(zhì)量相當(dāng)于一個(gè)“低通濾波器”，在低頻區(qū)，空心阻振質(zhì)量與實(shí)心阻振質(zhì)量對(duì)入射波的反射能力差別不大；但在高頻區(qū)，空心阻振質(zhì)量的反射能力逐漸凸顯，使得B板的反射波的能量加強(qiáng)，因而振動(dòng)速度幅值比A板高。②D板與C板的振動(dòng)速度在低頻區(qū)差異不明顯；但在800 Hz以上中高頻區(qū)，振動(dòng)速度較C板低5 dB左右，尤其在1.25～2.5 kHz頻率范圍內(nèi)，較C板低10 dB以上；D板的總振動(dòng)速度比C板低12 dB。③在63 Hz以下的低頻區(qū)，實(shí)心阻振質(zhì)量的阻振效果比空心阻振質(zhì)量的好4 dB左右；在0.16～1.25 kHz以上的中頻區(qū)，兩者總體差異不大，但空心阻振質(zhì)量的阻振效果略好2 dB左右；在高于1.25 kHz的高頻區(qū)，兩者的阻振效果逐步加大，尤其在1.25～2.5 kHz頻率范圍內(nèi)，空心阻振質(zhì)量的阻振效果比實(shí)心的高10 dB左右。

由此發(fā)現(xiàn)，空心阻振質(zhì)量比實(shí)心阻振質(zhì)量在較高頻區(qū)的阻振效果更加明顯。其原因可能在于：高頻區(qū)空心阻振質(zhì)量由于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的差異，對(duì)于入射波的反射能力比實(shí)心阻振質(zhì)量好，在中間梁受到同等激勵(lì)的情況下，使得D板的振動(dòng)水平比C板低。

圖7 不同區(qū)域的振動(dòng)速度實(shí)測(cè)值Fig.7Velocitymeasuredvaluesofdifferentareas圖8 傳遞損失的實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.8Measuredvaluesoftransmissionloss圖9 C板的振動(dòng)速度比較Fig.9ComparisonofvibrationvelocityofsheetC

分別采用FEM、SEA、FE-SEA混合法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到C板、D板的振動(dòng)速度對(duì)比結(jié)果分別如圖9、圖10所示。由于薄板的特征尺寸為其對(duì)角線長(zhǎng)0.707 m，空心梁與實(shí)心梁的特征尺寸為0.5 m，根據(jù)(15)式可得結(jié)構(gòu)的特征尺寸D與波長(zhǎng)λb的比值Δ隨頻率的變化曲線如圖11。

圖10　D板的振動(dòng)速度比較 Fig.10 Comparison of vibration velocity of sheet D

圖11　Δ隨頻率的變化曲線 Fig.11 Variation curves of Δ with infrequency

通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)：

(1)對(duì)于C板、D板的振動(dòng)速度，當(dāng)頻率低于125 Hz時(shí)，其FEM的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值最接近；在0.16～4 kHz的中頻區(qū)，F(xiàn)E-SEA的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值最接近；而當(dāng)頻率高于5 kHz時(shí)，SEA的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值最接近。

(2)C板與D板振動(dòng)速度的FEM計(jì)算結(jié)果，隨著分析頻率的提高，逐漸偏離實(shí)驗(yàn)值，呈下降趨勢(shì)。其主要原因在于有限元在高頻區(qū)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)、振動(dòng)速度載荷的不確定性以及結(jié)構(gòu)制造工藝誤差異常敏感，使得誤差不斷積累。而SEA的計(jì)算結(jié)果在4 kHz以下，基本上高于實(shí)測(cè)值，且誤差較大，主要原因在于結(jié)構(gòu)沒有達(dá)到較高的模態(tài)密度，不滿足SEA理論假設(shè)的基本前提。

(3)C板與D板的振動(dòng)速度的FE-SEA混合法計(jì)算結(jié)果在中頻區(qū)與實(shí)驗(yàn)值吻合的較好，整體誤差在3dB以內(nèi)。且整個(gè)模型劃分為672個(gè)有限元單元，6個(gè)統(tǒng)計(jì)能量子結(jié)構(gòu)，采用1.98 GHz的CPU臺(tái)式計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間大約20 s，計(jì)算效率較FEM大幅度提高。

由Δ隨頻率的變化曲線可見：

(1)當(dāng)結(jié)構(gòu)中所有子系統(tǒng)的Δ≤1.5時(shí)，即特征長(zhǎng)度小于3個(gè)半波長(zhǎng)時(shí)，可統(tǒng)一采用FEM對(duì)結(jié)構(gòu)整體分析；當(dāng)所有子系統(tǒng)的Δ≥1.5，即特征長(zhǎng)度可以容納至少3個(gè)半波長(zhǎng)時(shí)，整體結(jié)構(gòu)采用SEA進(jìn)行分析；介于上述兩類情況之間的頻率區(qū)間，采用FE-SEA混合法進(jìn)行處理。

(2)Δ隨頻率的變化曲線所反應(yīng)的規(guī)律與圖9、圖10的對(duì)比結(jié)果基本符合，說(shuō)明采用結(jié)構(gòu)的特征尺寸D與波長(zhǎng)λb的比值Δ作為劃分FEM、SEA、FE-SEA混合法的有效控制區(qū)是可行的。

(3)顯然在不同頻域內(nèi)合理的選擇計(jì)算方法可以使誤差減小到最低限度，但是即使如此，來(lái)自實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算的誤差仍然不可避免。其中一個(gè)主要原因在于結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子數(shù)量級(jí)相對(duì)較小，造成測(cè)量誤差較大。

4結(jié)論

設(shè)計(jì)了帶近似同質(zhì)量的空心阻振質(zhì)量與實(shí)心阻振質(zhì)量的薄板結(jié)構(gòu)模型，并分別采用FEM、SEA、FE-SEA混合法對(duì)其阻振性能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究，通過(guò)對(duì)板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)速度數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比，得到以下主要結(jié)論：

(1)近似同質(zhì)量下的空心阻振質(zhì)量的阻振效果在低頻區(qū)沒有實(shí)心阻振質(zhì)量的好，但在中高頻區(qū)其傳遞損失逐漸凸顯，隨頻率呈上升趨勢(shì)，在大部分頻率下其阻振效果比實(shí)心阻振質(zhì)量好，尤其在高頻區(qū)，阻振效果更加明顯。在分析頻率8kHz范圍內(nèi)，空心阻振質(zhì)量比實(shí)心阻振質(zhì)量的整體阻振效果提高了10 dB左右。

(2)結(jié)構(gòu)的特征尺寸D與波長(zhǎng)λb的比值Δ隨頻率的變化曲線在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下呈直線上升趨勢(shì)。當(dāng)結(jié)構(gòu)中所有子系統(tǒng)的Δ≤1.5時(shí)，即特征長(zhǎng)度小于3個(gè)半波長(zhǎng)時(shí)，可統(tǒng)一采用FEM對(duì)結(jié)構(gòu)整體分析；當(dāng)所有子系統(tǒng)的Δ≥1.5，即特征長(zhǎng)度可以容納至少3個(gè)半波長(zhǎng)時(shí)，整體結(jié)構(gòu)采用SEA進(jìn)行分析；介于上述兩類情況之間的頻率區(qū)間，采用FE-SEA混合法進(jìn)行處理。

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