第一作者崔培玲女，博士，副教授，1975年4月生

基于相移陷波器的磁軸承不平衡振動全頻自適應控制

崔培玲1,2，趙光再1,2，房建成1,2，李海濤1,2

(1. 北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京100191； 2. 慣性技術(shù)重點實驗室，北京100191)

摘要：為全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)消除磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的不平衡振動力，提出基于相移陷波器的不平衡振動全頻自適應控制方法。直接以構(gòu)造的軸承力作為相移帶通濾波器輸入，將濾波器輸出反饋至控制系統(tǒng)構(gòu)成相移陷波器，達到消除振動力目的。該過程無需考慮功放低通特性對同頻成分影響；通過對系統(tǒng)靈敏度函數(shù)理論分析，在不同轉(zhuǎn)速下自適應調(diào)節(jié)相移角，實現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定。結(jié)果表明，該方法能在全頻范圍內(nèi)有效地消除同頻軸承力。

關鍵詞：磁懸浮轉(zhuǎn)子；不平衡振動；相移陷波器；全頻

基金項目：國家自然基金(61121003, 61203112)；國家民用航天預研項目

收稿日期：2014-04-18修改稿收到日期：2014-09-16

中圖分類號:TH133

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.004

Abstract:The mass unbalance of high-speed magnetically suspended rotor causes unbalance force, which induces synchronous vibration. To suppress the vibration effectively within the operating speed range, a method based on a phase-shift notch filter was proposed. The control strategy of the method is that the magnetic bearing force was calculated and taken as the input of the phase-shift band-pass filter and the output of the filter was fed back to the original system, in which the low-pass characteristic of power amplifier doesn’t need to be considered. Meanwhile, based on the theoretical analysis on the sensitivity function of the overall control system, a stable system in the rotating speed range was achieved based on the adaptive adjustment of phase shift in the band-pass filter with respect to rotor speed. The experimental results show the effectiveness of the proposed approach, which can reduce the synchronous magnetic bearing force within the whole frequency range.

Adaptive control of unbalance vibration for magnetic bearings based on phase-shift notch filter within the whole frequency range

CUIPei-ling1,2,ZHAOGuang-zai1,2,FANGJian-cheng1,2,LIHai-tao1,2(1. School of Instrumentation Science and Optoelectronics Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China；2. Science and Technology on Inertial Laboratory, Beijing 100191, China)

Key words:magnetically suspended rotor; unbalance vibration; phase-shift notch filter; whole frequency range

磁軸承作為無接觸支承結(jié)構(gòu)，具有無摩擦、無需潤滑、支承剛度主動可控等特點[1-2]在高速電機、分子泵及航天器姿態(tài)控制等領域應用廣泛[3-5]。磁懸浮轉(zhuǎn)子因受限加工精度存在殘余不平衡質(zhì)量在高速旋轉(zhuǎn)下產(chǎn)生的不平衡力通過基座傳遞到外部機構(gòu)易引起振動、噪聲。利用磁軸承主動可控特點可對該振動力進行消除，實現(xiàn)零同頻振動控制。

消除磁懸浮轉(zhuǎn)子振動力已有諸多研究，主要有兩種實現(xiàn)方式：①以轉(zhuǎn)子慣性主軸為控制目標，使轉(zhuǎn)子繞慣性主軸轉(zhuǎn)動，消除不平衡振動力；②直接以同頻振動力或力矩為目標，通過消除同頻力或力矩實現(xiàn)。第一種需辨識出轉(zhuǎn)子慣性軸相對參考坐標系位置[6]，抑制效果主要取決于慣性主軸位置的辨識精度。不平衡量較小時傳感器安裝及檢測誤差會使其抑制效果不明顯。第二種通過在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制回路中加入算法，消除控制電流、位移中同頻成分。Shi等[7]采用最小均方(Least Mean Square, LMS)算法，通過產(chǎn)生等增益、反相位的同頻信號，前饋補償同頻電流，實現(xiàn)同頻電流剛度力消除，但該方法未考慮位移剛度力產(chǎn)生的振動，且因LMS算法步長固定，無法兼顧系統(tǒng)穩(wěn)定性及收斂速度要求，僅適用某特定轉(zhuǎn)速范圍。Bi等[8]用重復學習算法通過自適應調(diào)節(jié)學習增益，雖能實現(xiàn)大轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對同頻電流的抑制，但僅消除同頻電流剛度力，未消除同頻位移剛度力，近似零同頻振動控制。劉彬等[9]在電流環(huán)中加入同頻位移剛度力補償，實現(xiàn)同頻振動力消除，并在低轉(zhuǎn)速下用高轉(zhuǎn)速辨識出的轉(zhuǎn)子慣性軸位置消除低轉(zhuǎn)速的同頻振動力，達到整個工作頻率范圍內(nèi)對同頻力的有效抑制；但該文獻并未考慮功放的低通特性對同頻位移剛度力前饋補償效果影響。而轉(zhuǎn)速會存在檢測誤差，開環(huán)補償?shù)南辔徽`差會隨時間逐漸積累，補償效果逐漸降低。針對功放的低通特性，魏彤等[10]通過離線測試獲得磁軸承功放參數(shù)，在恒定工作轉(zhuǎn)速下對位移剛度力前饋補償中功放導致的同頻成分幅值衰減及相位滯后進行補償。而功放幅值、相位隨轉(zhuǎn)速變化，且隨溫度等環(huán)境影響產(chǎn)生系統(tǒng)參數(shù)攝動，在全轉(zhuǎn)速下采用功放離線模型難以精確補償因同頻位移剛度力產(chǎn)生的振動[11]。

對此，本文提出基于相移陷波器的磁軸承不平衡振動全頻自適應控制方法。直接以同頻振動力為控制目標，將構(gòu)造的軸承力輸入至相移帶通濾波器，該濾波器輸出反饋至原控制系統(tǒng)電流環(huán)構(gòu)成相移陷波器，其中相移陷波器為對傳統(tǒng)陷波器的改進。通過在傳統(tǒng)陷波器中引入相移角對定義系統(tǒng)靈敏度函數(shù)相位進行有效補償，可解決傳統(tǒng)陷波器影響系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。該陷波器中包含功放環(huán)節(jié)，能對功放低通特性進行自適應補償，且無需考慮功放對同頻成分影響，達到有效消除同頻振動力目的，并實驗驗證該方法的有效性。

1含不平衡質(zhì)量的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子模型(文獻[8])見圖 1。設轉(zhuǎn)子中心面為Π，徑向磁軸承電磁鐵A、B中心面分別為Π1、Π2。A、B的定子中心間連線與Π交于N，轉(zhuǎn)子幾何軸與Π、Π1、Π2分別交于O、O1、O2，轉(zhuǎn)子慣性主軸與Π、Π1、Π2分別交于C、C1、C2。在Π內(nèi)，以N為原點建立慣性坐標系NXY，以O為原點建立以轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度Ω轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)坐標系Oεη，見圖 2。

圖1　磁懸浮轉(zhuǎn)子示意圖 Fig.1 The diagram of magnetically suspended rotor

圖2　坐標系示意圖 Fig.2 The coordinate diagram

設OC、O1C1、O2C2長度分別為l、m、n，OC與Oε坐標軸夾角為，O1C1、O2C2在Π上投影與Oε坐標軸夾角分別為α、β，O1、O2、C1、C2在Π上投影在坐標系NXY中的坐標分別為(XA,YA)、(XB,YB)、(xA,yA)、(xB,yB)，則有

(1)

(2)

以AX通道為例，徑向磁軸承力FAX在平衡點附近的線性化方程為

FAX=Kh(xAX+ΘAX)+KiiAX[xAX+ΘAX]

(3)

式中：FAX為AX通道徑向軸承力；iAX[xAX+ΘAX]為磁軸承電流；Kh為位移剛度；Ki為電流剛度。

單通道磁軸承控制系統(tǒng)見圖3。該系統(tǒng)由控制器、功放、電磁鐵-轉(zhuǎn)子組成，傳遞函數(shù)分別為Gc(s)、Gw(s)、P(s)。將不平衡質(zhì)量等效為施加于轉(zhuǎn)子位移信號中的同頻擾動信號d(t)，其拉普拉斯變換為d(s)。

圖3　磁軸承控制系統(tǒng)框圖 Fig.3 The block diagram of magnetic bearing control system

2全頻自適應主動振動控制方法

F(s)=-Kii(s)+KhX(s)=

-KiC(s)[X(s)-Θ(s)]+Kh[X(s)-Θ(s)]

(4)

圖4　位移剛度力補償原理圖 Fig.4 The block diagram of displacement stiffness force compensation

2.1基于相移陷波器的磁軸承不平衡振動自適應控制原理

圖5　基于相移陷波器的 磁軸承不平衡振動抑制原理圖 Fig.5 The block diagram of suppressing unbalance vibration for magnetic bearing based on phase-shift notch filter

為有效解決功放低通特性及傳統(tǒng)陷波器的穩(wěn)定性，提出基于相移陷波器的磁軸承不平衡振全頻自適應控制方法。據(jù)式(3)，實現(xiàn)對同頻力的抑制需消除電流同頻剛度力Kii[ΘAX]及位移同頻剛度力KhΘAX。通常位移、電流剛度為已知量。本文直接以同頻軸承力為控制目標，將構(gòu)造的軸承力F(s)輸入相移帶通濾波器Nf(s)，輸出Kii[ΘAX]+KhΘAX反饋至原控制系統(tǒng)的電流環(huán)構(gòu)成相移陷波器N(s)，見圖 5，其等效原理見圖 6。其中，相移陷波器N(s)為在傳統(tǒng)陷波器基礎上引入相移角，其傳遞函數(shù)為

(5)

據(jù)式(5)得同頻量Kii[ΘAX]+KhΘAX經(jīng)陷波器N(s)后獲得有效抑制，達到消除同頻振動力目的。由于陷波器N(s)中含功放，對功放低通特性進行自適應補償，故該過程無需考慮功放對同頻成分影響。以不平衡量d(s)為輸入、軸承力F(s)為輸出，傳遞函數(shù)為

(6)

圖6　磁軸承不平衡振動抑制等效原理圖 Fig.6 The equivalent block diagram of suppressing unbalance vibration

2.2全頻穩(wěn)定性分析

據(jù)式(6)得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

1+KiGc(s)Gw(s)P(s)-KhP(s)+

εKiNf(s)Gw(s)=0

(7)

式(7)可轉(zhuǎn)化為

(8)

定義靈敏度函數(shù)為

(9)

在原系統(tǒng)穩(wěn)定前提下，S(s)極點均位于左半平面。式(8)可簡化為

s2+Ω2+ε(scosθ-Ωsinθ)S(s)=0

(10)

由式(10)知，ε=0時存在s=±jΩ。將ε作為自變量、s為應變量，ε→0時對ε求導可得在s=±jΩ附近s隨ε的變化趨勢，即

(11)

滿足式(11)可保證閉環(huán)特征根在左半平面。其中，arg[·]為幅角。式(10)兩邊對ε求導得

(12)

由式(11)、(12)知，使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足

-90°

(13)

對靈敏度函數(shù)S(s)，理論上相位在整個有效頻率范圍內(nèi)從270°變化到-90°，見圖 7，可見無法滿足全頻穩(wěn)定要求。不同轉(zhuǎn)速下通過θ不同取值對靈敏度函數(shù)S(s)相位進行自適應補償，使其滿足式(13)。θ隨轉(zhuǎn)速自適應調(diào)節(jié)表達式為

(14)

當Ω1，Ω2滿足式(15)時，式(13)成立，系統(tǒng)在整個有效頻率范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。

(15)

圖7　靈敏度函數(shù)相頻特性曲線圖 Fig.7 Phase-frequency diagram of the sensitivity function

設存在f1，f2，f3使arg[S(jf1)]=180°，arg[S(jf2)]=90°，arg[S(jf3)]=0°，實現(xiàn)整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的系統(tǒng)穩(wěn)定。由式(15)得

(16)

對磁懸浮剛性轉(zhuǎn)子，運行轉(zhuǎn)速遠小于一階模態(tài)，因此高頻特性的未建模動態(tài)不予考慮。實際模型St(s)與理論模型S(s)關系可表示為

St(s)=S(s)[1+Δ(s)]

(17)

(18)

(19)

式中：k1=(lgf2-lgf1)/90；k2=(lgf3-lgf2)/90。

(20)

式(16)轉(zhuǎn)化為

(21)

由(21)知，Ω1，Ω2的取值范圍變小，為保證一定穩(wěn)定裕度，取

(22)

系統(tǒng)仿真參數(shù)見表 1。據(jù)表1參數(shù)及對f1，f2，f3的定義，得f1=8.48 Hz，f2=70 Hz，f3=118 Hz。研究對象靈敏度函數(shù)不確定性可設為ρ=0.2，得Ω1=2138 r/min，Ω2=5432 r/min。據(jù)式(14)、(16)，轉(zhuǎn)速為0～2138r/min時陷波器相移θ=-180°；轉(zhuǎn)速為2138～5432r/min時θ=-90°；轉(zhuǎn)速為5432～8000 r/min時θ=0°。ε=1，θ不同取值時關于Ω2的主導根軌跡見圖8。由圖8知，θ=-180°、轉(zhuǎn)速為0～2138 r/min時系統(tǒng)穩(wěn)定；θ=-90°、轉(zhuǎn)速為2138～5432 r/min時穩(wěn)定；θ=0°、轉(zhuǎn)速為5432～ 8000 r/min時穩(wěn)定，滿足轉(zhuǎn)子整個轉(zhuǎn)速范圍的穩(wěn)定。而ε不影響虛軸穿越點，即不影響臨界穩(wěn)定轉(zhuǎn)速。

表1　仿真參數(shù)

圖8　閉環(huán)系統(tǒng)主導根軌跡圖 Fig.8 Dominant root locus of the closed-loop system

3實驗驗證

利用北京航空航天大學研制的磁懸浮控制力矩陀螺樣機進行實驗驗證，見圖 9。磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)用DSP+FPGA控制系統(tǒng)，系統(tǒng)采樣頻率為6.67 kHz。

為驗證本文方法實現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)不平衡振動控制的有效性，在三個轉(zhuǎn)速階段分別以1200 r/min、3600 r/min、6600 r/min進行實驗。位移及電流信號以電壓形式輸出，通過示波器采集，實驗結(jié)果見圖10。由于所用實驗裝置無軸承力傳感器，軸承力由采集的位移、電流按式(3)相加等效而成。圖10(a)軸承力幅值由1.2 N減少到0.25 N，減少79.2%；圖10(b)軸承力幅值由0.75 N減少到0.15 N，減少80%。由圖10(a)、(b)看出，軸承力并非完全收斂于零。因?qū)嶋H系統(tǒng)中傳感器檢測面不均勻及磁軸承非線性等使軸承力含倍頻成分。由圖10(c)看出，高速時軸承力幅值本身較小，加入相移陷波器后有一定衰減，但衰減不明顯，因此時同頻軸承力已非幅值最大振動力。實驗結(jié)果證明該方法能在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)有效減少同頻軸承力，其有效性獲得驗證。

圖9　磁懸浮控制力矩陀螺樣機 Fig.9 The experimental setup of magnetically suspended control moment gyro

(a) θ=-180°,轉(zhuǎn)速1200r/min(b) θ=-90°,轉(zhuǎn)速3600r/min(c) θ=0°,轉(zhuǎn)速6600r/min圖10 轉(zhuǎn)子位移、電流及軸承力響應圖Fig.10Transientresponseofdisplacement,currentandmagneticbearingforce

4結(jié)論

(1)引入相移帶通濾波器構(gòu)成相移陷波器，據(jù)轉(zhuǎn)速自適應補償靈敏度函數(shù)相位，實現(xiàn)整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)消除振動力。且通過設置三個不同相移值能保證一定的穩(wěn)定裕度。

(2)與在零同頻電流基礎上加同頻位移剛度力補償方法相比，本文方法自適應補償功放的低通特性，無需考慮功放對補償效果影響，可簡化設計過程。

(3)利用該方法能消除同頻軸承力，但高速情況下效果不明顯。對其它頻率成分振動力的有效抑制尚待研究。

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