第一作者蒲育男，碩士,講師，1984年5月生

通信作者滕兆春男，副教授，1969年8月生

Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動(dòng)二維彈性解

蒲育1，滕兆春2

(1. 蘭州工業(yè)學(xué)院土木工程學(xué)院，蘭州730050；2. 蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州730050)

摘要：基于二維線彈性理論，建立Winkler-Pasternak彈性地基上功能梯度(Functionally Graded Material,FGM)梁自由振動(dòng)控制微分方程。假設(shè)材料物性沿梁厚度方向按冪律分布，采用微分求積法(Differential Quadrature Method,DQM)數(shù)值求解4種不同邊界FGM梁自由振動(dòng)無(wú)量綱頻率特性。將計(jì)算結(jié)果與Winkler-Pasternak彈性地基梁對(duì)比表明，該分析方法對(duì)彈性地基梁自由振動(dòng)研究行之有效,并考慮邊界條件、梯度指數(shù)、跨厚比、地基系數(shù)對(duì)FGM梁自振頻率影響。

關(guān)鍵詞：Winkler-Pasternak彈性地基；FGM梁；自由振動(dòng)；無(wú)量綱頻率；微分求積法

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11372123)

收稿日期：2014-07-16修改稿收到日期：2014-10-11

中圖分類號(hào):O343

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.013

Abstract:Based on the two-dimension theory of linear elasticity, the free vibration differential equations for FGM beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundations were derived. The material properties were supposed to change continuously along the thickness of the beam according to the power law distribution. Using the differential quadrature method (DQM), the dimensionless natural frequencies of FGM beams under four different boundary conditions were investigated. The formulations were validated by comparing the results obtained with those available in the literature for homogeneous beams on Winkler-Pasternak elastic foundations. The influences of the boundary conditions, material graded index, length-to-thickness ratio and elastic coefficients of foundations on the non-dimensional frequency parameters of FGM beams were discussed.

Two-dimensional elasticity solutions for free vibration of FGM beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundations

PUYu1,TENGZhao-chun2(1. College of Civil Engineering，Lanzhou Institute of Technology，Lanzhou 730050，China；2. School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Key words:Winkler-Pasternak elastic foundation; functionally graded material beam; free vibration; dimensionless frequency; differential quadrature method

彈性地基梁的動(dòng)力學(xué)研究在工程領(lǐng)域有十分重要意義及廣泛應(yīng)用背景，因此已有諸多對(duì)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究[1-3]。Rosa等[4]研究彈性地基Euler梁在集中質(zhì)量塊作用下的自由振動(dòng)。Chen等[5]結(jié)合狀態(tài)空間法(SSM)及微分求積法(DQM)數(shù)值研究雙參數(shù)彈性地基梁的彎曲與自由振動(dòng)。Ding等[6]用Airy應(yīng)力函數(shù)多項(xiàng)式形式求解彈性地基功能梯度梁在不同邊界條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Ying等[7]用SSM分析簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件的二維彈性地基FGM梁彎曲、自由振動(dòng)。Alshorbagy等[8]采用FEM分析FGM梁自由振動(dòng)。Thai等[9]基于高階剪切梁理論，研究FGM梁彎曲、自由振動(dòng)。然而對(duì)梁自由振動(dòng)研究大多基于不同的梁理論。

經(jīng)典梁理論忽略橫向剪切變形影響，故僅適用細(xì)長(zhǎng)梁。而一階剪切梁理論克服經(jīng)典梁理論局限性，考慮橫向剪切變形影響。本文針對(duì)金屬-陶瓷功能梯度梁，假設(shè)材料性能沿厚度方向呈梯度分布，基于二維線彈性理論，建立Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動(dòng)微分方程，采用二維DQM數(shù)值研究FGM梁自由振動(dòng)無(wú)量綱頻率特性，并與各向同性材料梁結(jié)果比較。結(jié)果顯示，該分析方法適用研究彈性地基長(zhǎng)梁、短梁自由振動(dòng)。且DQM較有限差分、有限元、邊界元等數(shù)值方法具有易收斂、精度高、工作量小等優(yōu)點(diǎn)?？紤]邊界條件、梯度指數(shù)、跨厚比、地基系數(shù)等對(duì)FGM梁自振頻率影響，獲得有益結(jié)論。

1控制微分方程及參數(shù)的無(wú)量綱化

考慮單位寬度金屬-陶瓷功能梯度非均勻材料梁見(jiàn)圖1，其材料性質(zhì)沿厚度方向呈梯度分布。梁的上表面為陶瓷(ZrO2)，下表面為金屬(Ti-6Al-4V)。彈性模量E，泊松比μ，密度ρ等物性參數(shù)是坐標(biāo)z的函數(shù)，用統(tǒng)一式可表示為

(1)

式中：P為梯度指數(shù)。

圖1　Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁 Fig.1 Geometry of a FGM beam on Winkler-Pasternak foundation

設(shè)Winkler-Pasternak彈性地基系數(shù)分別為kp及kw，x方向位移分量為u，z方向位移分量為w，建立坐標(biāo)系(圖1)?；诙S線彈性理論，物理方程為

(2)

式中：Ci j為材料物性系數(shù)，滿足關(guān)系式為

(3)

將幾何方程代入物理方程，再將物理方程代入運(yùn)動(dòng)方程得彈性地基FGM梁自由振動(dòng)微分方程為

(4)

彈性地基梁上下邊界條件為

在z=0處

(5)

在z=h處

σz=0，τxz=0

(6)

考慮4種梁的邊界條件，即

左端簡(jiǎn)支-右端簡(jiǎn)支(S-S)

x=0及x=l處：σx=0及w=0

(7)

左端固支-右端固支(C-C)

x=0及x=l處：u=w=0

(8)

左端固支-右端簡(jiǎn)支(C-S)

(9)

左端固支-右端自由(C-F)

(10)

無(wú)量綱化為

(11)

式中：A為橫截面面積；J為慣性矩；ω為固有頻率；λ為無(wú)量綱頻率。

設(shè)位移分量為

(12)

式中：I為虛數(shù)單位。

將式(11)、(12)代入式(4)及式(5)～式(10)，可得控制微分方程及相應(yīng)邊界條件。

控制微分方程為

(13)

邊界條件為:下邊界η=0處

(14)

上邊界η=1處

(15)

左右邊界ξ=0，ξ=1處

固支端(C)

U=W=0

(16)

簡(jiǎn)支端(S)

(17)

自由端(F)

(18)

2DQM離散化及特征值問(wèn)題

由文獻(xiàn)[10-11]，DQM中梁在x、z方向節(jié)點(diǎn)劃分算式為

式中：Nξ,Nη分別為ξ及η方向節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

一、二階導(dǎo)數(shù)權(quán)系數(shù)矩陣滿足關(guān)系式為

(21)

式中：η與ξ方向權(quán)系數(shù)矩陣類似，此處省略。

微分方程(13)用DQM離散化后為

式(14)、(15)離散化后分別為

(23)

式中：i=1, 2, …,Nξ； j=1。

(24)

式中：i=1, 2, …,Nξ； j=Nη。

式(16)～式(18)離散化后分別為

(25)

(26)

自由端(F)：

(27)

式中：i=1，Nξ；j=2,3,…Nη-1。

式(23)、(24)與(25)～式(27)對(duì)應(yīng)組合可得4種不同邊界條件彈性地基FGM梁，即

左端簡(jiǎn)支-右端簡(jiǎn)支(S-S) 彈性地基FGM梁

左端固支-右端固支(C-C) 彈性地基FGM梁

左端固支-右端簡(jiǎn)支(C-S) 彈性地基FGM梁

左端固支-右端自由(C-F) 彈性地基FGM梁

式(22)與式(23)～式(27)對(duì)應(yīng)聯(lián)立后便構(gòu)成不同邊界條件Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動(dòng)邊值問(wèn)題，用分塊矩陣形式表示為

(28)

[S]{wb}-Ω2[I]{wb}={0}

(29)

式中：[S]=[Sbb]-[Sbd][Sdd]-1[Sdb]；[I]為單位陣； {wb}為特征向量，可描述彈性地基FGM梁自由振動(dòng)振型。

3計(jì)算結(jié)果與分析

算例中FGM梁金屬-陶瓷材料物性系數(shù)分別為Em=122.7 GPa,μm= 0.288 8,ρm= 4 420 kg/m3,Ec=132.2 GPa,μc= 0.333,ρc=3 657 kg/m3，節(jié)點(diǎn)數(shù)Nξ=17，Nη= 13，編寫(xiě)MATLAB程序獲得式(29)特征值問(wèn)題無(wú)量綱頻率。不同地基參數(shù)下各向同性材料(p=0)簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)基頻見(jiàn)表1，其中泊松比μ=0.3，將所得結(jié)果與文獻(xiàn)[4-5]進(jìn)行比較知，本文結(jié)果與其非常接近，且取較少節(jié)點(diǎn)數(shù)即能滿足精度所需，工作量較小，說(shuō)明DQM對(duì)研究本問(wèn)題適用性與優(yōu)越性。當(dāng)s=1/120，1/15時(shí)可視為長(zhǎng)梁(Bernoulli-Euler梁)；s=0.2時(shí)可視為短梁(Timoshenko梁)。由表1可見(jiàn)，本文方法對(duì)長(zhǎng)、短梁自由振動(dòng)分析均適用。

固支-簡(jiǎn)支(C-S)邊界FGM梁在不同厚跨比、不同地基系數(shù)下自由振動(dòng)前三階無(wú)量綱頻率見(jiàn)表2。由表2看出，梁的厚跨比s、Winkler彈性系數(shù)Kw及剪切地基系數(shù)Kp對(duì)頻率均有影響，所得數(shù)值結(jié)果可作為工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的參考依據(jù)。

表1　彈性地基簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)基頻λ 1結(jié)果比較(S-S)，μ=0.3

表2　彈性地基FGM梁自由振動(dòng)前三階無(wú)量綱頻率(C-S)，p=1

各向同性梁(p=0)幾何參數(shù)(跨厚比1/s=l/h)對(duì)C-C梁、S-S梁、C-F梁一階無(wú)量綱頻率影響見(jiàn)圖2，其中泊松比μ=0.3，地基系數(shù)Kw=1 000，Kp=10。由圖2看出，l/h=[2,50]范圍內(nèi)跨厚比越小其對(duì)短梁自由振動(dòng)頻率影響越明顯；跨厚比越大其對(duì)長(zhǎng)梁自由振動(dòng)頻率影響越不明顯。1/s≥10時(shí)跨厚比對(duì)梁頻率影響較小，此時(shí)可視為細(xì)長(zhǎng)梁，符合對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁的劃分界限；但相關(guān)報(bào)道較少。

彈性地基各向同性梁(p=0)在C-C、C-S、S-S、C-F四種邊界下一階無(wú)量綱頻率λ1隨Winkler地基系數(shù)Kw的變化見(jiàn)圖3，其中剪切地基系數(shù)Kp=10，厚跨比s=0.2，泊松比μ=0.3。由圖3可見(jiàn)，Kw=[0,500]范圍內(nèi)，對(duì)四種不同邊界λ1均隨Kw增大而增大，且相同參數(shù)時(shí)基頻由大到小順序?yàn)镃-C梁、C-S梁、S-S梁、C-F梁。而剪切地基系數(shù)Kp對(duì)梁頻率影響類似。由此知，系統(tǒng)地基彈性越大頻率較高，約束越強(qiáng)頻率較大。

Winkler彈性系數(shù)Kw與FGM固支-固支(C-C)梁一階無(wú)量綱頻率λ1關(guān)系曲線見(jiàn)圖4。其中Kw=[0,1 000]，Kp=10，s=0.2。顯然，對(duì)不同梯度指數(shù)p，λ1均隨Kw增大而增大。

剪切地基系數(shù)Kp與FGM簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支(S-S)梁一階無(wú)量綱頻率λ1關(guān)系曲線見(jiàn)圖5，其中Kp=[0,100]，Kw=100，s=0.2。由圖5看出，對(duì)不同梯度指數(shù)p，λ1均隨Kp增大而增大。

跨厚比1/s與FGM固支-簡(jiǎn)支(C-S)梁一階無(wú)量綱頻率λ1關(guān)系曲線見(jiàn)圖6，其中1/s=[5,50],Kw=100，Kp=10.由圖6看出，對(duì)不同梯度指數(shù)p，1/s對(duì)C-S短梁頻率λ1影響明顯，而對(duì)長(zhǎng)梁頻率λ1影響不明顯。在相同參數(shù)下，梯度指數(shù)越大頻率越小。

不同剪切系數(shù)下，F(xiàn)GM固支-固支(C-C)梁Winkler彈性系數(shù)Kw與一階無(wú)量綱頻率λ1的關(guān)系曲線見(jiàn)圖7，其中橫坐標(biāo)用指數(shù)劃分，厚跨比s=h/l=0.2，p=1。由圖7可見(jiàn)，在相同參數(shù)下，頻率λ1先隨地基系數(shù)Kw增大而增大，當(dāng)Kw取得較大值時(shí)頻率基本保持不變(收斂)。表明Kw大到一定值時(shí)地基彈性已逐步過(guò)渡到“剛性”狀態(tài)，Kw對(duì)λ1影響變小。同樣，剪切地基系數(shù)Kp對(duì)梁自由振動(dòng)頻率關(guān)系類似，但相關(guān)報(bào)道較少。

圖2 幾何系數(shù)跨厚比對(duì)一階無(wú)量綱頻率影響Fig.2Theeffectofthegeometricalparameteronthefirstnon-dimensionalfrequencyparameterofthebeamonelasticfoundation圖3 Winkler地基系數(shù)對(duì)一階無(wú)量綱頻率影響Fig.3Thefirstnon-dimensionalfrequencyparameterversusWinklerelasticcoefficient圖4 固支梁一階無(wú)量綱頻率與地基系數(shù)關(guān)系Fig.4Thefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameterofC-CFGMbeamonelasticfoundationversusKw

圖5 簡(jiǎn)支梁一階無(wú)量綱頻率與地基系數(shù)關(guān)系Fig.5Thefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameterofS-SFGMbeamonelasticfoundationversusKp圖6 幾何系數(shù)對(duì)彈性地基FGM固支-簡(jiǎn)支梁一階無(wú)量綱頻率影響Fig.6Theeffectofthegeometricalparameter1/sonthefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameter圖7 FGM固支梁一階無(wú)量綱頻率與地基系數(shù)關(guān)系Fig.7Thefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameterofC-CFGMbeamversusKw

圖8　固支-簡(jiǎn)支梁前三階 無(wú)量綱頻率與梯度指數(shù)關(guān)系 Fig.8 The effect of the material graded index p on the first three non-dimensional frequency parameters of the C-S FGM beam

彈性地基FGM梁在固支-簡(jiǎn)支(C-S)邊界下前三階無(wú)量綱頻率λ與梯度指數(shù)p關(guān)系曲線見(jiàn)圖8，其中p=[0,100]，Kw=100，Kp=10，s=0.2。由圖8看出，λ隨梯度指數(shù)p增大而減小，p增大到一定值時(shí)頻率趨于常數(shù)。該關(guān)系曲線與金屬—陶瓷材料物性有關(guān)，p=0時(shí)FGM梁退化為各向同性陶瓷(ZrO2)梁，p趨于∞時(shí)FGM梁視為各向同性金屬(Ti-6Al-4V)梁。

4結(jié)論

(1)基于二維線彈性理論建立Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動(dòng)方程，用二維DQM獲得不同邊界條件下梁自由振動(dòng)無(wú)量綱頻率，通過(guò)與已有結(jié)果比較表明，DQM對(duì)彈性地基長(zhǎng)、短梁自由振動(dòng)分析行之有效。

(2)Winkler彈性地基系數(shù)與剪切地基系數(shù)均對(duì)梁振動(dòng)頻率有顯著影響。梁自振頻率隨地基系數(shù)增大而增大，地基系數(shù)增大到一定值時(shí)頻率基本不變，地基彈性已逐步過(guò)渡到“剛性”狀態(tài)，即地基彈性越大頻率較高；約束越強(qiáng)頻率較大。地基系數(shù)足夠大，頻率趨于固定值。

(3)幾何系數(shù)跨厚比越小對(duì)短梁自由振動(dòng)頻率影響越明顯，跨厚比越大對(duì)長(zhǎng)梁自振頻率影響越不明顯。跨厚比l/h≥10時(shí)對(duì)梁頻率影響較小，此時(shí)可視為細(xì)長(zhǎng)梁(符合力學(xué)教材對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁的劃分界限)。

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