第一作者邢繼春男，講師，1983年4月生

旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機鉗位機構(gòu)設(shè)計及動力學(xué)分析

邢繼春，顧勇飛，李沖，許立忠

(燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，河北秦皇島0660045)

摘要：提出旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機，該電機具有結(jié)構(gòu)簡單、定位精度高、輸出力矩大、能實現(xiàn)微動壓電電機大行程等優(yōu)點。分析其驅(qū)動原理及關(guān)鍵部件鉗位機構(gòu)設(shè)計方案；考慮杠桿位移放大梁及長柔梁彎曲、扭轉(zhuǎn)振動變形，建立鉗位機構(gòu)動力學(xué)模型，獲得前8階固有頻率及模態(tài)函數(shù)；討論鉗位機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率影響規(guī)律，并實驗驗證理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：尺蠖原理；壓電電機；鉗位機構(gòu)；自由振動

基金項目：秦皇島市科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展計劃項目(201302A026);燕山大學(xué)青年教師自主研究計劃課題(13LGB002)

收稿日期：2014-07-22修改稿收到日期：2014-10-11

中圖分類號:TH113.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.025

Abstract:A rotary inchworm piezoelectric motor was presented. The driving principle of the motor and the configuration design of the clamping mechamisms were introduced. Considering the bending and torsion deformations of a lever amplifcation beam and a long flexible beam, the dynamic model of clamping mechamisms was established. The first eight natural frequencies and modal functions were given. The effects of structure parameters of clamp mechanisms on the natural frequencies were discussed. The test results illustrate the correctness of the theoretical analysis.

Clamp mechanisms design and dynamics analysis of rotary inchworm piezoelectric motor

XINGJi-chun,GUYong-fei,LIChong,XULi-zhong(Yanshan University, College of Mechanical Engineering, Qinhuangdao 066004, China)

Key words:inchworm principle; piezoelectric motor; clamp mechanism; free vibration

超精密驅(qū)動與控制技術(shù)正向智能化、集成化、多樣化、微型化方向發(fā)展[1]。而利用壓電材料逆壓電效應(yīng)的壓電精密驅(qū)動器以具有定位精度高、輸出力大、響應(yīng)速度快、結(jié)構(gòu)形狀多樣化，設(shè)計靈活、結(jié)構(gòu)簡單、易于微型化、直接驅(qū)動、能耗低、發(fā)熱少、無需潤滑維護、可用于真空、不受磁場影響等優(yōu)點在眾多超精密驅(qū)動器中脫穎而出[2]。

尺蠖壓電電機具有大行程，且與高精度高分辨率兼容較好，能克服慣性沖擊式壓電電機輸出力矩小缺點，已成功用于精密驅(qū)動領(lǐng)域。因現(xiàn)有尺蠖壓電電機中大多為直線型微位移驅(qū)動器[3]，將尺蠖壓電驅(qū)動機理用于精密旋轉(zhuǎn)驅(qū)動技術(shù)實例較少，因而限制其在微動精密控制領(lǐng)域的應(yīng)用[4-6]。

本文提出的新型旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機，具有結(jié)構(gòu)簡單、定位精度高、輸出力矩大、能實現(xiàn)微動壓電電機大行程等優(yōu)點。其中鉗位機構(gòu)作為夾持電機轉(zhuǎn)子的關(guān)鍵部件其振動穩(wěn)定性及動力學(xué)問題直接影響電機驅(qū)動性能。因此，通過探索尺蠖旋轉(zhuǎn)壓電電機關(guān)鍵部件鉗位機構(gòu)設(shè)計及動力學(xué)模型建立，給出鉗位機構(gòu)固有頻率及模態(tài)函數(shù)求解方法，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對鉗位機構(gòu)的動力學(xué)性能影響，為旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機設(shè)計開發(fā)提供理論依據(jù)。

1電機驅(qū)動原理

旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電微動電機主要由轉(zhuǎn)子、鉗位機構(gòu)、底板、驅(qū)動機構(gòu)、基座、底座組成，見圖1。

圖1　旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機 Fig.1 Rotory inwormch piezoelectric motor

驅(qū)動原理見圖2，時序驅(qū)動信號見圖3。①對壓電疊堆1(a)輸入圖3(a)的時序信號致其伸長，鉗位機構(gòu)2(a)頂住轉(zhuǎn)子；②將壓電疊堆1(b)輸入圖3(b)的時序信號致其伸長，由于驅(qū)動機構(gòu)利用杠桿位移放大原理，使驅(qū)動機構(gòu)3(a)彎曲，鉗位機構(gòu)2(a)利用與轉(zhuǎn)子間摩擦力帶動轉(zhuǎn)子5順時針轉(zhuǎn)過一定角度θ；③將壓電疊堆1(c)輸入圖3(c)的時序信號致其伸長，鉗位機構(gòu)2(b)頂住轉(zhuǎn)子后逐個撤銷壓電疊堆1(a)、1(b)的電壓信號(圖3(a)、(b))，鉗位機構(gòu)2(a)及驅(qū)動機構(gòu)3(a)恢復(fù)原狀。此時鉗位機構(gòu)2(b)帶動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過角度θ；④將壓電疊堆1(d)輸入圖3(d)的時序信號后致其伸長，驅(qū)動機構(gòu)3(b)彎曲，鉗位機構(gòu)2(b)帶動轉(zhuǎn)子順時針轉(zhuǎn)過度θ。逐個撤銷壓電疊堆1(c)、1(d)，鉗位機構(gòu)2(b)及驅(qū)動機構(gòu)3(b)恢復(fù)原狀。轉(zhuǎn)子共轉(zhuǎn)過角度3θ，電機完成一個周期動作，時序信號又回到初始狀態(tài)，壓電疊堆1(a)開始伸長，重復(fù)上周期動作實現(xiàn)完整的連續(xù)運動。

圖2　驅(qū)動原理示意圖 Fig.2 Driving principal schematic

圖3　時序驅(qū)動信號 Fig.3 Driving signal

2鉗位機構(gòu)設(shè)計及位移放大原理

旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機關(guān)鍵部件鉗位機構(gòu)利用柔性機構(gòu)彈性變形實現(xiàn)壓電陶瓷輸出位移的放大及轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動夾持。鉗位機構(gòu)采用對稱結(jié)構(gòu)集成杠桿位移放大及三角位移放大原理見圖4。

圖4　位移放大原理 Fig.4 Displacement amplifier principal

由圖4(b)，當在A點處施加作用力F時忽略A點水平位移，設(shè)A點垂直位移為δ1；因B點繞鉸鏈轉(zhuǎn)動，由杠桿放大原理知C點位移為δ2，則放大倍數(shù)為

(1)

鉗位機構(gòu)采用對稱式結(jié)構(gòu)可提高系統(tǒng)剛度、消除C及C′點附加位移，故該兩點位移為δ2。根據(jù)三角放大原理，當C及C′點發(fā)生垂直位移δ2時，鉗位機構(gòu)前端會發(fā)生水平位移δ3，不僅可將垂直平位移轉(zhuǎn)換成水平位移，且位移得到放大。該過程已忽略結(jié)構(gòu)變形影響，見圖4(c)、(d)。D點未產(chǎn)生位移前長柔梁、水平線及垂直線組成△acb。當a點移動位移δ2到達a′時c點移動到c′產(chǎn)生位移δ3，而長柔梁水平夾角θ減小一微小角度，φ由幾何圖中關(guān)系可得

(2)

(3)

式中：L為梁長。

設(shè)放大倍數(shù)為β，得

(4)

由于鉗位機構(gòu)變形因有壓電疊堆激勵后伸長產(chǎn)生，變形量較小，遠小于桿長，故減小的角度φ較小。則無窮小量sinφ≈φ，1-cosφ≈φ2/2。因此，式(4)簡化為

(5)

由式(5)看出，鉗位機構(gòu)長柔梁放大倍數(shù)β與l無關(guān)，近似等于桿與水平位置夾角的正切值。鉗位機構(gòu)將壓電疊堆變形通過杠桿、三角放大后，總放大倍數(shù)η為

η=αβ

(6)

3鉗位機構(gòu)自由振動分析

3.1動力學(xué)模型簡化

電機運行時鉗位機構(gòu)變形主要發(fā)生于杠桿放大梁與長柔梁，且該結(jié)構(gòu)具有對稱性，故取其一半進行動力學(xué)研究。簡化鉗位機構(gòu)動力學(xué)模型并假設(shè)：

(1)杠桿放大梁長度小于截面高度5倍，考慮截面剪切及轉(zhuǎn)動慣量，認為該梁段為鐵木辛柯梁。

(2)杠桿位移放大梁右端部分設(shè)為集中質(zhì)量m。

(3)考慮杠桿位移放大梁柔性鉸鏈彎曲變形，忽略拉伸變形，將柔性鉸鏈設(shè)為鉸鏈與卷簧組合，卷簧剛度為K，利用直圓型柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動剛度公式[7]

式中：E為鉗位機構(gòu)材料彈性模量；b為鉸鏈寬度；t為凹口處最小厚度；R為切口半徑。

(4)將長柔梁右端簡化為固定端，見圖5(a)。

(5)同時考慮杠桿放大梁及長柔梁彎曲、縱向振動變形，將簡化后動力學(xué)模型分解為兩部分均勻梁，并按圖5(b)中x1，y1，x2，y2方向分別建立笛卡爾局部坐標系，原點為B(C)。

圖5　鉗位機構(gòu)動力學(xué)模型 Fig.5 Dynamic model of clamp mechanism

3.2梁縱向振動

設(shè)梁長為li(i=1,2)，截面積為Si，材料密度、彈性模量為ρ，E。忽略振動過程中橫向變形，即橫截面保持平面。設(shè)ui(xi,t)表示梁上距原點x處在t時刻縱向位移，則動力學(xué)方程為

(7)

式中：c2=E/ρ。

用分離變量法將ui(xi,t)表示為φui(xi)q(t)，則梁縱向振動模態(tài)函數(shù)為

φui(x)=D1icos(βxi)+D2isin(βxi)

(8)

式中：β2=ρω2/E。

3.3杠桿放大梁彎曲自由振動

考慮杠桿放大梁為等截面鐵摩辛柯梁，其自由振動方程為

(9)

式中：w1(x1,t)為梁橫向位移；κ為截面形狀因數(shù)；G為剪切模量；I1為極慣性矩。

僅考慮截面轉(zhuǎn)動慣量影響忽略剪切變形，式(9)可簡化為

(10)

將方程解w1(x1,t)分離變量，寫成φw1(x1)q(t)梁彎曲振動模態(tài)函數(shù)，設(shè)一般形式為

φw1(x)=C1cos(s1x1)+C2sin(s1x1)+

C3cosh(s2x1)+C4sinh(s2x1)

(11)

γ4=ρS1ω2/EI1；δ2=ρω2/E。

3.4長柔梁彎曲自由振動

設(shè)梁長為l2，材料密度、彈性模量分別為ρ及E，截面積及極慣性矩為S2(x2)、I2(x2)，利用達朗伯原理得彎曲振動方程為

(12)

將方程解w2(x2,t)分離變量，寫成φw2(x2)q(t)梁彎曲振動的模態(tài)函數(shù)，一般形式為

φw2(x)=B1cos(px2)+B2sin(px2)+

B3cosh(px2)+B4sinh(px2)

(13)

式中：p4=ρS2ω2/EI2。

3.5邊界條件

長柔梁(圖5)固定端A點邊界條件為

(14)

質(zhì)量塊m距鉸鏈較近，可認為a≈l1。杠桿放大梁D端邊界條件為

(15)

在鉗位機構(gòu)兩桿結(jié)合處B(C)點，據(jù)彈性體連續(xù)性及力平衡性條件，考慮兩桿伸縮、彎曲關(guān)系，可得在連接點B-C處連續(xù)性條件為

(16)

式中：ζB，ζC分別為B、C點轉(zhuǎn)角。

連接點B-C的力平衡條件為

(17)

因此，系數(shù)A1i,A2i,Cj,Bj(j=1,2,3,4)及參數(shù)ω應(yīng)滿足的頻率方程由梁邊界條件確定。

4結(jié)構(gòu)分析

4.1固有頻率及模態(tài)函數(shù)

鉗位機構(gòu)材料為黃銅，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。用以上動力學(xué)方程求得鉗位機構(gòu)自由振動固有頻率及模態(tài)函數(shù)，見表2及圖6。由圖6看出，①所得鉗位機構(gòu)固有頻率隨模態(tài)階數(shù)增加非線性增加，其中第四與第五階、第六與第七階模態(tài)較接近分別相差333 Hz、109 Hz。②在鉗位機構(gòu)前五階模態(tài)中，兩部分梁的縱向振動模態(tài)存在一個峰值，隨固有頻率增加振動模態(tài)峰值由原點向x1(x2)方向移動，且一、三階模態(tài)中杠桿放大梁的縱向振動最大變形量大于長柔梁。③由于長柔梁厚度h2小于杠桿放大梁厚度h1，因此隨固有頻率增加同階模態(tài)中長柔梁彎曲振動模態(tài)函數(shù)出現(xiàn)峰值個數(shù)及振動模態(tài)峰值大于杠桿放大梁。

表1　結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　固有頻率(Hz)

圖6　模態(tài)函數(shù) Fig.6 Mode function

4.2靈敏度分析

利用表1分別改變系統(tǒng)參數(shù)θ、l1、l2、h1、h2及鉸鏈凹口處最小厚度t，分析其對鉗位機構(gòu)固有頻率及模態(tài)函數(shù)影響規(guī)律，見圖7。由圖7看出，①長柔梁水平夾角θ在50°～80°間變化時鉗位機構(gòu)一、二階固有頻率非線性增大，而三階則非線性減小。②改變杠桿放大梁長度l1、厚度h1，長柔梁長度l2、厚度h2時(圖7(b)～(f))，鉗位機構(gòu)固有頻率呈不規(guī)則鋸齒狀變化。在l1、h1、l2、h2某些變化區(qū)間，隨l1、l2增加固有頻率非線性有規(guī)律降低；隨h1、h2增加固有頻率非線性有規(guī)律增加，而相鄰區(qū)間固有頻率發(fā)生突變。因鉗位機構(gòu)模態(tài)振型在參數(shù)變化到某值時發(fā)生模態(tài)振型突變。③杠桿放大梁鉸鏈凹口處最小厚度t在0.5～2 mm間變化時，鉗位機構(gòu)固有頻率緩慢增加，隨階數(shù)增加固有頻率增加趨勢明顯。

5實驗

圖8為利用SZCJ捶擊法振動測試系統(tǒng)對旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機鉗位機構(gòu)前三階固有頻率進行測試，測試結(jié)果見圖9。本實驗用激振力錘作為振動源，激振時要求盡量避免各次錘擊形成規(guī)定的節(jié)拍。據(jù)香農(nóng)采樣定理，要求采樣頻率至少應(yīng)為信號本身所含最高頻率的2.54倍～6倍，取采樣頻率10 000 Hz，采樣時間0.2 s。當激勵信號在脈沖結(jié)束后主要成分為噪聲。隨時間增加信/噪比不斷降低。此時須加特殊窗函數(shù)，對相應(yīng)信號加指數(shù)窗，對力信號加力窗，以提高頻率響應(yīng)函數(shù)計算的精度及信/噪比。將測試系統(tǒng)所得鉗位機構(gòu)前三階固有頻率與理論計算結(jié)果相比獲得理論分析計算結(jié)果相對偏差，見表3。由表3看出，理論值與測量值前三階相對偏差分別為2.7%、4.6%、4.0%，均小于5%，從而驗證理論分析的正確性。

圖7　固有頻率隨參數(shù)變化 Fig.7 The natural frequency changing with parameters

圖8　捶擊法固有頻率測試系統(tǒng) Fig.8 Impact hammer modal testing

頻率ω1ω2ω3理論值/Hz170419482535測試值/Hz1751.772042.52640.5偏差/% 2.74.64.0

圖9　測試結(jié)果(采樣頻率10 000 Hz) Fig.9 Test results

6結(jié)論

(1)給出旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機驅(qū)動原理，分析鉗位機構(gòu)設(shè)計方案及位移放大倍數(shù)。建立旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機鉗位機構(gòu)動力學(xué)模型，求得鉗位機構(gòu)固有頻率與模態(tài)函數(shù)。

(2)通過改變鉗位機構(gòu)參數(shù)、分析固有頻率變化規(guī)律知，固有頻率隨θ增大，鉗位機構(gòu)一、二階固有頻率非線性增大，三階固有頻率非線性減小；固有頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化呈不規(guī)則鋸齒狀變化。

(3)理論計算結(jié)果與用捶擊法測得鉗位機構(gòu)固有頻率小于5%，驗證理論分析的正確性。

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