第一作者劉充男，碩士生，1989年6月生

通信作者保宏男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1971年生

邊界幾何參數(shù)對空間平面張拉膜結(jié)構(gòu)固有頻率影響研究

劉充，李玉宇，保宏, 杜敬利

(西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室，西安710071)

摘要：針對空間張拉薄膜陣面結(jié)構(gòu)，用歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)法確定薄膜邊界幾何參數(shù)對固有頻率影響關(guān)系。用Bessel函數(shù)作為薄膜橫向振動偏微分方程的解，建立任意邊界形狀凸單連通薄膜及復(fù)雜邊界薄膜固有頻率求解模型；針對平面張拉薄膜分別求解圓形、L-形、分段圓弧邊界固有頻率；分析研究一定應(yīng)力條件下邊界幾何參數(shù)對薄膜固有頻率影響的內(nèi)在關(guān)系。結(jié)果表明，邊界形狀導(dǎo)致薄膜面積減小、固有頻率增加，反之亦然。

關(guān)鍵詞：空間張拉薄膜結(jié)構(gòu)；歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)；固有頻率；有限元模型

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51305321；51105290；51035006； 51175398)；上海航天科技創(chuàng)新基金項目(SAST201413)

收稿日期：2014-07-16修改稿收到日期：2014-10-17

中圖分類號:TN957.3

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.033

Abstract:For a kind of space pre-tensioned membrane structures, a dimensionless dynamic influential function method has been proposed, which can efficiently figure out the frequencies of arbitrarily shaped, homogeneous membranes with fixed boundaries. A model using the Bessel function as the solution to the partial differential equation for transverse vibration of thin membrane was established which can be used to calculate the natural frequencies of membrane with different radius of curvature and chord length. For planar pre-tensioned membrane, the natural frequencies of membrances with circular, L-shape and subdivided arc boundary conditions were calculated. On the condition of unchanged stresses, the relationships between the natural frequencies and boundary geometrical parameters of membrane were analysed. It is indicated that the boundary which makes the area of membrane larger matches higher frequencies and vice versa.

Natural frequencies of pre-tensioned membrane structure with different boundary geometrical parameters

LIUChong,LIYu-yu,BAOHong,DUJing-li(School of Electromechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

Key words:space pre-tensioned membrane structure; dimensionless dynamic influential function; natural frequency; finite element model

大型空間平面張拉膜結(jié)構(gòu)因質(zhì)量輕、包裝折疊效率高、易于展開等特點，廣泛用于太空可展開結(jié)構(gòu)，如太陽帆、空間望遠鏡防護罩、可展開反射陣列天線等。周邊索網(wǎng)張拉薄膜結(jié)構(gòu)，見圖1、圖2。該結(jié)構(gòu)由支撐桿、張拉懸索、平面薄膜組成，其中，張拉懸索包括外懸索、牽連索、內(nèi)懸索。

針對該類型張拉薄膜結(jié)構(gòu)，Sakamoto[1]理論上證明薄膜外形為圓弧狀時膜內(nèi)應(yīng)力為最佳張緊狀態(tài)，能有效避免褶皺產(chǎn)生；并研究該結(jié)構(gòu)在膜、索給定應(yīng)變條件下內(nèi)外懸索截面積、索膜總質(zhì)量隨圓弧數(shù)目變化的函數(shù)關(guān)系。Park等[2]研究該結(jié)構(gòu)的魯棒性、分析膜面褶皺對固有頻率影響認為，在角點支撐發(fā)生面內(nèi)位移情況下外索能有效抑制角點位移向膜面內(nèi)傳播。Leifer等[3]用ANSYS分析薄膜邊界剪切變形下褶皺出現(xiàn)臨界條件及褶皺幅值、波數(shù)。Tessler等[4]研究由薄膜結(jié)構(gòu)中索、膜大變形產(chǎn)生的幾何非線性，并用薄殼屈曲理論分析褶皺幅值。汪有偉等[5]研究力與邊界弧長數(shù)奇偶性質(zhì)關(guān)系，分別給出優(yōu)缺點。

圖1 索網(wǎng)張拉陣面天線原理樣機Fig.1Thephotoofthemembranearrayantenna圖2 周邊索網(wǎng)張拉薄膜結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2Web-cablegirdedmembranestructure

以上對周邊索網(wǎng)張拉薄膜結(jié)構(gòu)研究多集中于幾何參數(shù)優(yōu)化及薄膜在軌工作表面精度(褶皺)，而有關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率影響研究較少，薄膜固有頻率為反映結(jié)構(gòu)魯棒性及保證形面精度的重要指標(biāo)。

Kang等[6-8]提出歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)法，建立任意凸邊界形狀薄膜固有頻率求解模型及多域法模型，可求解凹陷邊界或區(qū)域內(nèi)部不連續(xù)薄膜固有頻率并推廣到任意邊界形狀板固有頻率求解。然而，該方法假設(shè)薄膜任意點受力相同，均為二軸等值拉伸應(yīng)力狀態(tài)，理論計算不存在任何問題，而工程應(yīng)用中并非任何邊界形狀膜可實現(xiàn)此應(yīng)力狀態(tài)。

為此，本文提出分段圓弧狀邊界膜，通過邊界索管道式張拉，理論上可實現(xiàn)均勻應(yīng)力狀態(tài)；并針對周邊索網(wǎng)張拉薄膜結(jié)構(gòu)，研究索膜在一定應(yīng)力水平下結(jié)構(gòu)參數(shù)對薄膜固有頻率影響。

1任意邊界形狀薄膜振動模型

1.1凸單連通區(qū)域薄膜振動模型

1.1.1歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)

研究任意固定邊界形狀薄膜固有頻率,設(shè)薄膜：①處于均勻二軸等值拉伸應(yīng)力狀態(tài)；②不承受任何彎矩、剪切；③材料均勻各向同性，且面內(nèi)變形較小，滿足Hooker定律；④面內(nèi)張拉剛度遠大于橫向幾何剛度，忽略面內(nèi)振動。

考慮任意形狀均勻薄膜，單位面積質(zhì)量為ρ，單位長度張力為T，變形前完全處于xoy平面，見圖3虛線。

圖3　任意邊界形狀薄膜 Fig.3 Arbitrarily shaped membrane

對該膜邊界Γ進行小位移u(rΓ,t)諧波激勵，其中rΓ為邊界任意點位置矢量。用w(r,t)表示薄膜在t時刻橫向位移，其中r為薄膜任意點位置矢量，則其橫向振動偏微分方程及邊界條件[9]分別為

(1)

w(rΓ,t)=u(rΓ,t)

(2)

對諧波激勵，用分離變量法將w(r,t)、u(rΓ,t)寫為

w(r,t)=W(r)ejωt

(3)

u(rΓ,t)=U(rΓ)ejωt

(4)

式中：ω為激勵源角頻率。

代入式(1)、(2)得

2W(r)+Λ2W(r)=0

(5)

W(rΓ)=U(rΓ)

(6)

式(5)為Helmholtz方程，坐標(biāo)變換后可得Bessel方程，基本解為Bessel函數(shù)，α階Bessel函數(shù)表達式[10]為

引入歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)為

(7)

式中：ω為激勵源角頻率；r,rk分別為點P,Pk位置矢量；J0(x)為零階第一類Bessel函數(shù)。

式(6)為連續(xù)邊界條件，若將薄膜邊界離散化，即用諸多離散點Pi(i=1,2,…,N)表示邊界，則可得對應(yīng)式(6)的離散邊界條件為

W(ri)=U(ri)，(i=1,2,…,N)

(8)

當(dāng)離散點個數(shù)N趨于無窮時，式(8)則會收斂為式(6)。

1.1.2任意固定邊界薄膜方程

在無限大薄膜上選一條與實際薄膜有相同位置、形狀虛構(gòu)邊界(圖3)，沿邊界分配N個點。若P1,P2,...,PN做簡諧振動，設(shè)振幅為A1,A2,…,AN，通過線性疊加，點P總位移響應(yīng)計算式為

(9)

利用式(8)可得

(10)

寫成矩陣形式為

SM(Λ)A=U

(11)

等式(11)稱為系統(tǒng)矩陣方程。對于周邊固定薄膜的自由振動分析，式(11)中令U=0，得

SM(Λ)A=0

求解det[SM(Λ)]=0可得系統(tǒng)特征值即結(jié)構(gòu)固有頻率，薄膜相應(yīng)模態(tài)由式(9)獲得。至此，可求解任意幾何邊界形狀薄膜固有頻率。

1.2復(fù)雜邊界形狀薄膜振動模型

用單域法求解具有凹陷或含孔洞薄膜固有頻率時計算結(jié)果往往不收斂，此因歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)為波形函數(shù)，考慮無限區(qū)域時會從一點沿全方位傳播，而薄膜凹陷或孔洞區(qū)域會隔斷波直線傳播，因此單區(qū)域法求解得不到正確結(jié)果。

圖4　凹陷薄膜被分成兩子區(qū)域 Fig.4 Concavely shaped membrane subdivided into two domains

對兩子區(qū)域分別用歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)單區(qū)域法獲得系統(tǒng)矩陣方程分別為

SMⅠAⅠ=UⅠ

(12)

SMⅡAⅡ=UⅡ

(13)

或?qū)懗?/p>

(14)

(15)

亦可寫為

SM11A1+SM1aAa=U1

(16)

SMa1A1+SMaaAa=Ua

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

分別代入式(17)、(19)，且在邊界Γa上滿足

(22)

(23)

式中：n為公共邊界法線方向，該凹陷薄膜在公共邊界法線方向上C1連續(xù)。

將式(17)、(19)代入式(22)、(23)得

SM(Λ)A=0

(24)

系統(tǒng)矩陣SM(Λ)、向量A表達式為

SM=

(25)

(26)

同理，可導(dǎo)出歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)三、四等多區(qū)域法，據(jù)薄膜邊界形狀合理劃分區(qū)域，求出具有凹陷或含孔洞薄膜固有頻率及模態(tài)。

2計算實例

2.1算例1：圓形薄膜固有頻率

圖5　圓形薄膜 Fig.5 The circular membrane

圓形邊界薄膜固有頻率存在理論解，本文分別用歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)單區(qū)域法及有限元法求解，并與理論解對比。選半徑為單位1的均勻圓形薄膜，見圖5，在邊界上分別等間距取8，12，16點。

歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)法中，系統(tǒng)矩陣行列式值的對數(shù)隨系統(tǒng)特征值Λ變化關(guān)系見圖6，極值點橫坐標(biāo)為薄膜固有頻率。

圖6　圓形薄膜特征值 Fig.6 The eigenvalues of circular membrane

三種方法結(jié)果見表1。由表1看出，用歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)法求解結(jié)果非常精確，隨邊界點數(shù)增加收斂于理論解。取8或12個邊界點時系統(tǒng)方程階數(shù)較低，無法獲取前八階全部固有頻率。而有限元法將無限自由度結(jié)構(gòu)離散成有限自由度結(jié)構(gòu)，增大結(jié)構(gòu)剛度，故求解的固有頻率值大于理論解。隨單元劃分細化，有限元解收斂于理論解。該算例表明歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)法對固定邊界薄膜固有頻率求解收斂性、精確性良好。

表1　圓形薄膜固有頻率

2.2算例2：L-形薄膜固有頻率

圖7　L-形薄膜(單位：m) Fig.7 The L-shape membrane

L-形薄膜固有頻率不存在理論解，本文分別用歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)多區(qū)域法及有限元法求解，將兩結(jié)果對比，表明多區(qū)域法的有效性。將L-形薄膜分成兩子區(qū)域，在公共邊界取3個離散點，固定邊界取24個離散點，見圖7。

歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)兩區(qū)域法中，系統(tǒng)矩陣行列式值的對數(shù)隨系統(tǒng)特征值Λ變化關(guān)系，如圖8，極小值點的橫坐標(biāo)表示薄膜的固有頻率。

圖8　L-形薄膜特征值 Fig.8 The eigenvalues of L-shape membrane

兩區(qū)域法與有限元法結(jié)果見表2。由表2看出歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)多區(qū)域法的有效性與準確性。與有限元法相比，多區(qū)域法計算所需節(jié)點數(shù)目較少，且計算中無需數(shù)值積分，計算量大大減少。

表2　L-形薄膜的固有頻率

2.3算例3：圓弧狀薄膜固有頻率

周邊索網(wǎng)張拉薄膜結(jié)構(gòu)中薄膜部分見圖9，各邊界等份若干段圓弧。其中l(wèi)1=20m,l2=4m為薄膜長、高；N1,N2為薄膜長、高邊界圓弧段數(shù)；θ1,θ2為長、高上圓弧圓心角。

圖9　圓弧狀固定邊界薄膜 Fig.9 Shapes of circular segments of a membranewith fixed boundary

薄膜受均勻二軸等值拉伸應(yīng)力T=1 440 Pa，材料參數(shù)見表3。

表3　材料參數(shù)

保持條件θ1=θ2=10°，N2=4不變前提下改變長邊分段數(shù)，用多域法所得薄膜固有頻率見表4。由表4看出，隨長邊圓弧段數(shù)增加薄膜面積變大，薄膜固有頻率降低。同理，保持條件N1=20，N2=4，θ2=10°不變前提下改變長邊圓弧圓心角，用多域法所得薄膜固有頻率見表5。由表5看出，隨圓心角增大薄膜面積減小，薄膜固有頻率增大。

表4　薄膜固有頻率隨長邊弧長數(shù)目變化關(guān)系

表5　薄膜固有頻率隨長邊弧長圓心角變化關(guān)系

3結(jié)論

(1)利用歸一化動態(tài)響應(yīng)函數(shù)法求解任意形狀固定邊界薄膜固有頻率，給出高效、精確求解薄膜固有頻率方法，計算所需節(jié)點數(shù)遠少于有限元方法。

(2)對復(fù)雜薄膜邊界，所提多域法可有效彌補單域法不足。對周邊索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)薄膜給出固有頻率及邊界結(jié)構(gòu)參數(shù)(曲率半徑、弦長)變化關(guān)系。

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