第一作者韓剛男，博士，1971年生

通信作者陳予恕男，教授，中國工程院院士，1931年生

受轉(zhuǎn)子位移激勵(lì)的航空壓氣機(jī)呼吸裂紋葉片的聯(lián)合共振

韓剛，陳予恕

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001)

摘要：研究了航空壓氣機(jī)呼吸裂紋葉片在轉(zhuǎn)子位移激勵(lì)下的聯(lián)合共振幅頻響應(yīng)的變化規(guī)律；葉片連續(xù)體模型采用伽遼金法簡化成單自由度的系統(tǒng)模型，通過多尺度法導(dǎo)出了葉片在參數(shù)激勵(lì)與位移激勵(lì)聯(lián)合作用下的共振幅頻響應(yīng)的一階近似方程；分析了裂紋的開合深度、裂紋所在截面的位置以及轉(zhuǎn)子在垂直與水平方向上的位移幅值差對幅頻響應(yīng)的影響；數(shù)值結(jié)果表明以上三個(gè)物理參數(shù)是促使葉片動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生變化的敏感參數(shù)，控制這三個(gè)物理參數(shù)的變化是有效防止葉片進(jìn)一步破壞的根本途徑。

關(guān)鍵詞：壓氣機(jī)葉片；呼吸裂紋；聯(lián)合共振；伽遼金法；多尺度法

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)

收稿日期：2014-05-04修改稿收到日期：2014-09-03

中圖分類號:O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Combination resonance of aero-engine compressor blade with a breathing crack under displacement excitation of rotor shaft

HANGang,CHENYu-shu(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract:The amplitude-frequency response of combination resonance of an aero-engine compressor blade with a breathing crack under the lateral displacement excitation of the rotor shaft was investigated. The blade was simplified into a single degree of freedom system using Galerkin’s method. The first order equation of the resonance response under parametric excitation combining with displacement excitation was derived by using the multi-scale method. The effects of the opening and closing depth of crack, the location of lateral section with crack and the displacement amplitude of rotor shaft on the amplitude-frequency response of resonance were analyzed. The obtained results show that controlling the changes of the above mentioned parameters which are of great influence on the dynamic behavior is an effective measure for preventing fatigue of the blade.

Key words:compressor blade; breathing crack; combination resonance; galerkin’s method; multi-scale method

航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓級葉片是發(fā)動(dòng)機(jī)的重要部件，由于受多種動(dòng)載荷的作用，極易產(chǎn)生疲勞裂紋，甚至導(dǎo)致破壞。在工程實(shí)踐中，基于振動(dòng)響應(yīng)信號的裂紋無損檢測技術(shù)的研究吸引了大量工程技術(shù)人員的興趣。因此，帶有裂紋的壓氣機(jī)葉片振動(dòng)(線性和非線性)響應(yīng)問題是近20～30年內(nèi)理論研究的熱點(diǎn)問題。通常為了理論計(jì)算、數(shù)值仿真以及實(shí)驗(yàn)研究的方便，壓氣機(jī)裂紋葉片被簡化成帶有橫向裂紋的旋轉(zhuǎn)懸臂梁模型。在裂紋葉片振動(dòng)分析中, 目前存在兩類裂紋模型: 張開(open)裂紋模型和呼吸(breathing )裂紋模型。大多數(shù)學(xué)者在研究中，為了簡化計(jì)算通常忽略疲勞裂紋的非線性效應(yīng)，而把裂紋看作張開裂紋考慮。然而真實(shí)的裂紋狀態(tài)與其所受的動(dòng)載荷有關(guān)，一般情況下裂紋并不是一直處于張開狀態(tài)，是一種周期性張開-閉合的非線性過程。Gudmundson[1]試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)：使用張開裂紋模型計(jì)算結(jié)構(gòu)頻率，將會導(dǎo)致過低評估結(jié)構(gòu)的損傷程度。

呼吸裂紋模型考慮了振動(dòng)過程中裂紋張開—閉合的過程所帶來的非線性動(dòng)力特性，更符合實(shí)際情況。Shen等[2]采用雙線性彈簧—質(zhì)量振子模型，以及方波函數(shù)模擬呼吸裂紋梁的剛度變化過程，分析了系統(tǒng)在時(shí)域中的譜特性和頻域中的諧波成分，該方法僅適用于結(jié)構(gòu)外部激勵(lì)頻率較低時(shí)呼吸裂紋梁的動(dòng)力學(xué)分析。Chondros等[3]考慮裂紋的開合作用，推導(dǎo)了裂紋梁的理論分析公式，分析了梁的低階模態(tài)頻率并與實(shí)驗(yàn)測量值進(jìn)行比對，得到了一致的結(jié)果。Pugno等[4]根據(jù)周期性響應(yīng)和裂紋連續(xù)張開、閉合的假設(shè)，定義非線性系統(tǒng)的代數(shù)方程，采用迭代求解方法得到裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng)，分析了簡諧載荷作用下含多個(gè)呼吸裂紋梁的非線性動(dòng)力響應(yīng)行為。Sunovsky等[5-6]提出呼吸裂紋梁的超諧波振動(dòng)現(xiàn)象。然而，以上這些工作僅限于非旋轉(zhuǎn)的簡單裂紋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究。

另外，由于壓氣機(jī)葉片處于高速旋轉(zhuǎn)的工作狀態(tài)，考慮轉(zhuǎn)速對裂紋葉片非線性振動(dòng)響應(yīng)影響是必要的。Chen等[7]采用有限元模型研究了具有各向異性旋轉(zhuǎn)裂紋梁的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，討論了旋轉(zhuǎn)速度、局部剛度以及纖維方向?qū)Я鸭y的正交各向異性梁的靜態(tài)屈曲載荷和動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定域影響。Wu等[8]研究了帶有橫向裂紋的旋轉(zhuǎn)梁動(dòng)態(tài)行為，分析了不同轉(zhuǎn)速情況下裂紋深度和位置對梁固有頻率的影響。Akira等[9]采用頻域/時(shí)域的多諧波混合方法分析裂紋葉片的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)，討論了裂紋長度和旋轉(zhuǎn)速度對共振頻率的影響以及在轉(zhuǎn)速作用下裂紋幾何尺寸變化，共振頻率偏移和幅值多解引起的非線性突跳現(xiàn)象。

以上工作雖然研究了開-閉合裂紋葉片(或梁)的裂紋深度、位置以及轉(zhuǎn)速對固有頻率的改變規(guī)律，針對葉片(或梁)振動(dòng)的時(shí)域信號譜分析給出裂紋葉片(或梁)強(qiáng)迫振動(dòng)存在亞諧波、超諧波響應(yīng)的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，但是并沒有詳細(xì)分析特定工況下(受轉(zhuǎn)子位移激勵(lì))裂紋(尺寸和位置)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)某一具體共振形式的幅頻響應(yīng)的變化規(guī)律。本文在前面提到的工作基礎(chǔ)之上，采用呼吸裂紋模型，分析旋轉(zhuǎn)呼吸裂紋葉片參數(shù)激勵(lì)與外部激勵(lì)(時(shí)變剛度和轉(zhuǎn)子位移)聯(lián)合作用下的共振幅頻響應(yīng)，討論系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)聯(lián)合共振幅頻響應(yīng)的演變規(guī)律。

1位移激勵(lì)作用的無裂紋旋轉(zhuǎn)葉片的運(yùn)動(dòng)方程

圖1　裂紋葉片的力學(xué)簡圖 Fig.1 Sketch of the blade with a breathing crack

在平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，變形后葉片的一點(diǎn)P的位移為：

yP=xcn1+ycn2+(R+x)a1+wa2

(1)

式中：x，w(x,t)分別為梁變形前P點(diǎn)的位置和變形后P點(diǎn)橫向位移。

采用如下的坐標(biāo)變換

(2)

P點(diǎn)的速度可以表示為

(3)

式中:“·”為變量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

葉片的動(dòng)能可以表示為

(4)

式中:m為單位長度葉片的質(zhì)量。

關(guān)于變形能的計(jì)算只考慮橫向彎曲變形能，橫向位移引起的軸向變形能以及離心慣性力引起的軸向變形能。

軸向應(yīng)變?yōu)閇10 ]：

式中：u(x,t)為葉片的軸向位移?！啊洹睘樽兞繉ξ恢米鴺?biāo)x的偏導(dǎo)數(shù)。

在軸向應(yīng)變的計(jì)算時(shí)，忽略相對橫向位移較小的軸向位移u(x,t)以及較小的y·w″項(xiàng)，軸向應(yīng)變可以近似為

(5)

橫向和軸向變形能的和為

(6)

式中：E和I分別為葉片材料的楊氏彈性模量和葉片的截面的慣性矩。

離心慣性力為

(7)

離心慣性力引起的軸向伸長變形能為

(8)

實(shí)踐表明，結(jié)構(gòu)共振時(shí)共振模態(tài)起決定性作用，而其它模態(tài)影響較小。根據(jù)實(shí)際情況，我們認(rèn)為系統(tǒng)的外激勵(lì)頻率應(yīng)與系統(tǒng)第一階模態(tài)頻率相接近。為了簡化計(jì)算，本文只考慮第一階模態(tài)對裂紋葉片振動(dòng)性態(tài)的影響，采用伽遼金法把葉片(懸臂梁)簡化為具有集總參數(shù)的單自由度系統(tǒng)[11]。

設(shè)裂紋梁具有如下的振動(dòng)形式：

w(x,t)=q(t)φ(x)

(9)

式中：φ(x)為一階模態(tài)振型函數(shù)，q(t)為一階模態(tài)坐標(biāo)的位移函數(shù)。

為了得到系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度，假設(shè)一階模態(tài)振型函數(shù)為[12]：

(10)

根據(jù)拉格朗日原理，推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。拉格朗日函數(shù)為

(11)

把式(4)，式(6)，式(8)，式(9)，式(10)和式(11)代入下式

(12)

得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(13)

考慮到實(shí)際系統(tǒng)會受到阻尼的影響，在方程(13)中引入阻尼系數(shù)為c的粘性阻尼作用，把方程(13)改寫為：

(14)

式中:

2位移激勵(lì)作用的旋轉(zhuǎn)裂紋葉片的運(yùn)動(dòng)方程

本文考慮的裂紋是一種呼吸裂紋形式，此裂紋有三種開—閉合狀態(tài)：全開，全閉和半開半閉。因此呼吸式裂紋梁的剛度是由張開式裂紋剛度和閉合式裂紋剛度組合而成，剛度表達(dá)式為:

(15)

式中:kbr為呼吸式裂紋剛度；ko為張開式裂紋剛度；kc為閉合式裂紋剛度。當(dāng)裂紋全閉時(shí)，kbr=kc=k。裂紋全開時(shí)，kbr=ko。F(t)為裂紋開閉合函數(shù)。

裂紋全閉時(shí)剛度為：

(16)

式中:Cc為裂紋閉合時(shí)梁的柔度。

裂紋全開時(shí)剛度為：

(17)

式中:Co為裂紋全開時(shí)梁的柔度。根據(jù)斷裂力學(xué)理論Co=Cc+ΔC，ΔC為裂紋引入的附加柔度。它的表達(dá)式為[13]：

(18)

式中:αc=lc/L為裂紋所在橫截面的無量綱位置。

φ=19.60α10-40.69α9+47.04α8-32.99α7+

20.30α6-9.98α5+4.60α4-1.05α3+0.63α2

α=a/B為裂紋的無量綱深度。E為楊氏彈性模量，ν為泊松比。

根據(jù)以上的論述，用裂紋的呼吸剛度kbr代替式(14)中剛度k得到呼吸裂紋梁的運(yùn)動(dòng)方程：

(19)

把xc=D1sin(ωt)，yc=D2cos(ωt)代入式(19)中，得到運(yùn)動(dòng)方程為:

(20)

對式(20)進(jìn)行無量綱處理，引入變量

得到無量綱后的運(yùn)動(dòng)方程

f1cos(n1τ)+f2cos(n2τ)

(21)

3裂紋葉片的聯(lián)合共振響應(yīng)

從系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式(21)可知:系統(tǒng)可能存在多種復(fù)雜的聯(lián)合共振響應(yīng)。但是系統(tǒng)最終會出現(xiàn)什么樣的聯(lián)合共振響應(yīng)，還要取決于實(shí)際的物理參數(shù)(例如模態(tài)頻率和外激勵(lì)頻率等)。我們對實(shí)際葉片進(jìn)行分析，認(rèn)為系統(tǒng)極有可能出現(xiàn)外激和參激聯(lián)合的一階模態(tài)主共振的情況。

(22)

重新標(biāo)度η→εη，γ→εγ，β→εβ，f1→εf1，f2→εf2，使阻尼項(xiàng)，非線性項(xiàng)以及激勵(lì)項(xiàng)同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)攝動(dòng)方程中。于是式(21)變?yōu)?/p>

(23)

采用多尺度法求式(22)的一階近似幅頻響應(yīng)方程[15]。首先設(shè)

將式(22)、式(24)代入式(23)，令兩端ε同次冪系數(shù)相等，得

(25)

(26)

設(shè)式(25)的通解為

式中:φ=n0T0+φ(T1)。

(27)

式中:A′，φ′分別為對T1的偏導(dǎo)數(shù)。

(28)

式中:θ1=σ1T1-φ，θ2=σ2T1-φ。

由式(28)可見，如果穩(wěn)態(tài)解(A′=0)存在，則必有θ1和θ2等于常數(shù)，于是σ1=φ′=σ2。令θ=σ1T1-φ，改寫式(28)為

(29)

對于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，A′=θ′=0。于是得到如下方程：

(30)

式(30)中兩式兩邊平方相加，得

(31)

式(31)代入式(30) 的第二式，得

(1)平凡解，A=0。

(2)非平凡解A≠0時(shí)，A滿足下式

(32)

4數(shù)值結(jié)果與討論

表1　葉片不變的物理參數(shù)

實(shí)際上，在方程(21)中參數(shù)激勵(lì)幅值γ的大小與裂紋開合深度以及裂紋所在截面的位置是相關(guān)的。裂紋開合深度α越大，裂紋所在橫截面位置αc越小(距離葉片根部越近)，參數(shù)激勵(lì)幅值γ越大。

4.1裂紋深度對幅頻響應(yīng)的影響

圖2　隨裂紋深度α變化的幅頻響應(yīng) ( 1=0.000 5，α c=0.5) Fig.2 Amplitude-frequency response versus depth of crack α( 1=0.000 5，α c=0.5)

圖3　隨裂紋深度α變化的幅頻響應(yīng) α( 1=0.000 5，α c=0.5) Fig.3 Amplitude-frequency response versus depth of crack ( 1=0.000 5，α c=0.5)

4.2裂紋位置對幅頻響應(yīng)的影響

為了考察裂紋所在橫截面的位置變化對共振響應(yīng)的影響。首先設(shè)轉(zhuǎn)子的位移幅值差和裂紋在橫截面內(nèi)的開合深度為某一固定值，從而改變裂紋所在橫截面的位置，分析其對幅頻特性的影響。

4.3轉(zhuǎn)子位移幅值差對幅頻響應(yīng)的影響

分為兩種情況考察轉(zhuǎn)子的垂直與水平位移幅值差對聯(lián)合共振響應(yīng)的影響。

圖4　隨裂紋位置α c變化的幅頻響應(yīng) ( 1=0.000 5，α=0.38) Fig.4 Amplitude-frequency response versus location of crack α c ( 1=0.000 5，α=0.38)

圖5　隨轉(zhuǎn)子位移幅值差( 1變化的 幅頻響應(yīng)(α c=0.1,α=0.30) Fig.5 Amplitude-frequency response versus difference of displacement amplitude ( 1(α c=0.1,α=0.30)

圖6　轉(zhuǎn)子位移幅值差 1變化的 幅頻響應(yīng)(α c=0.1,α=0.38) Fig.6 Amplitude-frequency response versus difference of displacement amplitude 1(α c=0.1,α=0.38)

5結(jié)論

裂紋的開合深度以及裂紋所在橫截面的位置變化直接導(dǎo)致參數(shù)激勵(lì)幅值的改變，從而使得幅頻響應(yīng)的幅值以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(滯后和分岔)發(fā)生變化。裂紋在橫截面內(nèi)的開合深度存在一個(gè)特定的分岔臨界閾值，不同的橫截面內(nèi)分岔臨界閾值不同。越靠近葉片根部的橫截面內(nèi)，裂紋開合深度閾值越小。這說明裂紋出現(xiàn)在葉片根部區(qū)域時(shí)，裂紋的開合變化對葉片振動(dòng)性態(tài)影響較大，微小的改變會帶來幅頻響應(yīng)的顯著變化。

轉(zhuǎn)子位移幅值差的變化僅僅改變幅頻響應(yīng)幅值的變化，而響應(yīng)幅值的變化促使響應(yīng)的滯后趨勢發(fā)生變化。共振峰的分岔又僅取決于裂紋的開合深度以及裂紋所在橫截面的位置(即參數(shù)激勵(lì)幅值的大小)。共振峰分岔前，轉(zhuǎn)子位移幅值差增加，響應(yīng)幅值加大，滯后趨勢增強(qiáng)。共振峰分岔后，轉(zhuǎn)子位移幅值差增加使得幅頻響應(yīng)的分岔區(qū)域所對應(yīng)的幅值逐漸上升到一個(gè)很高的水平，分岔區(qū)域?qū)?yīng)的頻率域遠(yuǎn)離線性共振頻率點(diǎn)。以上的分析是假定裂紋的開合深度不隨轉(zhuǎn)子位移幅值差的變化而改變的。然而實(shí)際上，在響應(yīng)分岔前，轉(zhuǎn)子的位移幅值差增加使得響應(yīng)幅值增加，而響應(yīng)幅值增加會不可避免地使得裂紋持續(xù)開裂，最終導(dǎo)致響應(yīng)分岔。導(dǎo)致轉(zhuǎn)子幅值差變化的因素很多。例如在轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)中，如果轉(zhuǎn)子軸承間隙或剛度在方向上存在較大差異，那么必然導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在兩個(gè)方向上的位移幅值差變大(橢圓軌跡變得狹長)，最終可能導(dǎo)致葉片的響應(yīng)分岔。

對于裂紋來說，葉片的根部區(qū)域是一個(gè)敏感區(qū)域。此區(qū)域由于應(yīng)力水平高，應(yīng)力集中明顯，又是裂紋極易萌生的區(qū)域。轉(zhuǎn)子位移幅值差的變化又是促使裂紋開合深度變化的外在驅(qū)動(dòng)力。因此盡可能地消除產(chǎn)生裂紋的外部因素，抑制裂紋的擴(kuò)展，避免裂紋產(chǎn)生于葉片根部敏感區(qū)域以及控制可能引起轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移幅值差變化的結(jié)構(gòu)參數(shù)是葉片保持低幅值的、平穩(wěn)的振動(dòng)性態(tài)，有效地防止葉片進(jìn)一步破壞的根本措施。

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