第一作者吳志強(qiáng)男，博士,教授，1968年生

郵箱：zhiqwu@tju.edu.cn

分段線性系統(tǒng)的振動(dòng)性能分析

吳志強(qiáng)， 雷娜

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津300072)

摘要：分析了一類含非連續(xù)阻尼的單自由度分段線性系統(tǒng)的振動(dòng)性能，以研究某些參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)性能的影響。首先建立分段線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用平均法求解，獲得系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性；然后利用約束分岔理論，計(jì)算轉(zhuǎn)遷集，得到系統(tǒng)可能的幅頻響應(yīng)類型，并利用幅頻響應(yīng)方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析；最后計(jì)算系統(tǒng)的傳遞率，討論了阻尼和剛度系數(shù)對(duì)傳遞率的影響，同時(shí)發(fā)現(xiàn)傳遞率曲線也產(chǎn)生了多解現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：幅頻響應(yīng)；奇異性；穩(wěn)定性；跳躍；減振

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11172198)

收稿日期：2013-09-12修改稿收到日期：2013-12-12

中圖分類號(hào):TB535.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Vibration performance analysis of piecewise linear system

WUZhi-qiang,LEINa(Department of Mechanics, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract:The vibration performance of a single degree of freedom system with piecewise linear terms and discontinuous damper was investigated, aiming to clarify the influence of some system parameters on the system’s behaviors. A mathematic model of the piecewise linear system was built. By employing an averaging method, the magnitude-frequency characteristic and phase-frequency characteristic functions of the system under primary resonance excitation were obtained. The transition boundary was calculated in accordance with the functions on the basis of the constraint bifurcation theory as well as all the types of the amplitude-frequency responses. The functions were also used for stability analysis. The critical parameter boundary to avoid jumping phenmenon was calculated by qualitatively analyzing the amplitude-frequency responses in the sub-regions of the transition sets. The feasibility of the theoretical study was verified by numerical calculations. In addition, the influences of damping and stiffness coefficients on the global force transmissibility were discussed, and it is found that on the transmissibility curve, the multi-solution problem also appears.

Key words:amplitude-frequency response; strangeness; stability; jump; vibration reduction

間隙的作用和影響在動(dòng)力機(jī)械中普遍存在，除必須的設(shè)計(jì)要求含有間隙外，裝置的安裝、加工誤差或后期使用中產(chǎn)生的磨損都會(huì)最終導(dǎo)致間隙的出現(xiàn)。由于間隙的存在，接觸狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致構(gòu)件之間出現(xiàn)接觸、脫離、再接觸、再脫離地重復(fù)沖擊，對(duì)動(dòng)荷載和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生不良影響，甚至產(chǎn)生安全隱患。例如，輪對(duì)與鋼軌之間的碰撞，加劇了高速列車的不平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，影響了列車運(yùn)行的穩(wěn)定性與舒適度；又如重載列車轉(zhuǎn)向架的懸掛系統(tǒng)、柴油機(jī)軸系裝配的分段線性緩沖器、振動(dòng)篩和振動(dòng)輸送機(jī)的分組彈簧等都很好的利用了間隙的特點(diǎn)，極大的改善了系統(tǒng)的振動(dòng)特性。因此對(duì)于含有間隙的非線性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究就顯得尤為重要了。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了含間隙振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔[1]、奇異性[2]、概周期碰撞運(yùn)動(dòng)[3]、余維二分岔及混沌控制[4- 5]以及減振[6-7]等問(wèn)題。

本文針對(duì)含間隙的彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，將此彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一對(duì)稱的分段線性模型(見(jiàn)圖1)，運(yùn)用平均法求得幅頻特性與相頻特性，然后基于約束分岔理論[8]，計(jì)算轉(zhuǎn)遷集，得到系統(tǒng)可能的幅頻響應(yīng)類型；并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性和減振分析，討論了阻尼和剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)性能的影響。

1分段線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析

1.1系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為對(duì)稱分段線性彈簧系統(tǒng)，當(dāng)振幅小于間隙時(shí)，只有主彈簧起作用，系統(tǒng)作線性振動(dòng)；當(dāng)振幅大于間隙時(shí)，質(zhì)量塊與副彈簧反復(fù)接觸后又分離，因而系統(tǒng)的振動(dòng)是非線性的。系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為

(1)

(2)

式中：K1、K2為彈簧剛度，C1、C2為彈簧阻尼，、P分別為激振角頻率和幅值，D為間隙值。

為得到振動(dòng)方程的無(wú)量綱形式，引入如下變換及組合參數(shù)

代入式(1)和式(2)可得

(3)

(4)

由于無(wú)量綱過(guò)程中特征長(zhǎng)度選為10倍的間隙，使得無(wú)量綱間隙為0.1，這為系統(tǒng)主共振周期響應(yīng)的近似分析奠定了基礎(chǔ)。

1.2系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

為考慮主共振(ω=1)情況，將系統(tǒng)的振動(dòng)方程改寫為

(5)

假設(shè)系統(tǒng)存在一次近似解形式如

(6)

式中：φ=ωt+θ，應(yīng)用平均法[9]可將式(5)化成振幅、相位為未知量的標(biāo)準(zhǔn)方程，又因振幅和相位的導(dǎo)數(shù)都是O(ε)量級(jí)的周期函數(shù)，所以代之以一個(gè)周期的平均值得

(7)

式中：B(y)和B(y)為分段函數(shù)

B(y)=

(8)

B*(y)=

(9)

對(duì)于非線性系統(tǒng)，通常關(guān)心的是系統(tǒng)受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)值，于是令

消除變量φ，求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)方程為

[-ζ1y+B(y)]2+

(10)

解出ω可得

(11)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)均給定時(shí)，由式(10)或式(11)可得幅頻響應(yīng)曲線。不同的參數(shù)值，可對(duì)應(yīng)不同類型曲線，也可能對(duì)應(yīng)相同類型曲線，要討論參數(shù)對(duì)曲線類型的影響，奇異性方法是很好的工具。由于方程是分段的，因此要用約束分岔理論分析方法。

2幅頻響應(yīng)分類

為分析參數(shù)變化時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線類型的變化，選擇振幅y為狀態(tài)變量，激勵(lì)頻率ω為分岔參數(shù)，主彈簧阻尼比ζ1和激勵(lì)幅值p為開折參數(shù)，取ζ2=0.5，k=0.5，根據(jù)約束分岔理論可求得非空轉(zhuǎn)遷集[8]將開折參數(shù)ζ1-p平面分成8個(gè)區(qū)域(見(jiàn)圖2)。

根據(jù)奇異性理論，參數(shù)在同一個(gè)區(qū)域內(nèi)取值時(shí)，幅頻響應(yīng)的定性特征是保持不變的，因而分別從不同區(qū)域內(nèi)取一組(ζ1,p)值，畫對(duì)應(yīng)的分岔曲線，就可以得到參數(shù)變化時(shí)所有不同類型的分岔圖(見(jiàn)圖3)，共有8種，同時(shí)利用升-降龍格庫(kù)塔法進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算(圖3中星號(hào))。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)的值在圖2“區(qū)域1”選擇時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線與圖3(a)定性相同，非線性未起作用，屬于完全線性響應(yīng)。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)位于圖2“區(qū)域2”時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線類同于圖3(b)，非線性起作用，出現(xiàn)孤立解，且若主彈簧阻尼比ζ1為定值，隨著外激勵(lì)幅值p的增加，孤立解演變成封閉的獨(dú)立環(huán)，并逐漸擴(kuò)大。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)位于圖2“區(qū)域3”時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線類同于圖3(c)，第一段解曲線越過(guò)約束位置，向獨(dú)立環(huán)靠攏。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)位于圖2“區(qū)域4”時(shí)，第一段解曲線在約束位置的上方，與獨(dú)立環(huán)連通，且在連接位置附近的左右支有多解共存現(xiàn)象(見(jiàn)圖3(d))。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)位于圖2“區(qū)域5”時(shí)，第一段解曲線在約束位置線上，與獨(dú)立環(huán)連通，且在連接位置附近的左右支也有多解共存現(xiàn)象(見(jiàn)圖3(e))，其分岔圖與區(qū)域4的比較，兩段解連通的位置發(fā)生了變化。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)位于圖2“區(qū)域6”時(shí)，系統(tǒng)滯后性減弱，此時(shí)只有右支還存在滯后性(見(jiàn)圖3(f))。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)位于圖2“區(qū)域7”時(shí)，其分岔圖與區(qū)域6的比較，邊界點(diǎn)與極限點(diǎn)的相對(duì)位置發(fā)生了變化(見(jiàn)圖3(g))。

當(dāng)參數(shù)(ζ1,p)位于圖2“區(qū)域8”時(shí)，系統(tǒng)滯后性消失，整體呈現(xiàn)擬線性(見(jiàn)圖3(h))。

綜合以上分析可見(jiàn)，與文獻(xiàn)[10-12]采用垂直斜坡圖形標(biāo)準(zhǔn)法相比，分岔分析的奇異性方法更簡(jiǎn)便，并能得到更豐富的信息。

工程中為避免跳躍現(xiàn)象引起機(jī)械設(shè)備性能突變甚至破壞，就須在非跳躍區(qū)選擇系統(tǒng)參數(shù)，也就是說(shuō)在區(qū)域1和區(qū)域8內(nèi)選擇參數(shù)是避免跳躍的有效措施。

圖3　分岔圖 Fig.3 Diagram of bifurcation

3定常解的穩(wěn)定性分析

(12)

(13)

(14)

(15)

展開行列式得

(16)

于是，定常解的失穩(wěn)條件為

(17)

不等式(17)可以判斷定常解的穩(wěn)定性，如果幅頻響應(yīng)在不穩(wěn)定區(qū)域則會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。由于非線性振動(dòng)存在不穩(wěn)定區(qū)域，所以在進(jìn)行參數(shù)選擇時(shí)，應(yīng)使得系統(tǒng)不存在不穩(wěn)定區(qū)域，或者不穩(wěn)定區(qū)域盡量少。下面分別討論系統(tǒng)為非線性振動(dòng)時(shí)，參數(shù)ζ1、ζ2、k對(duì)不穩(wěn)定區(qū)域的影響(見(jiàn)圖4)。

圖4　參數(shù)ζ 1、ζ 2、k對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的影響 Fig.4 The influence of parameters ζ 1、ζ 2、k on unstable region

圖4(a)表明，主彈簧阻尼比ζ1越大，則不穩(wěn)定區(qū)域越小。

圖4(b)表明，隨著副彈簧阻尼比ζ2的逐漸增大，不穩(wěn)定區(qū)域先減小后增大，且從一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域變?yōu)閮蓚€(gè)。

圖4(c)表明，隨著剛度系數(shù)的逐漸增大，不穩(wěn)定區(qū)域增大且慢慢向右移動(dòng)。

4隔振效果分析

隔振效果的好壞通常用力傳遞率Tf來(lái)表示，它定義為通過(guò)隔振裝置傳遞到基礎(chǔ)上的力幅值與作用于振動(dòng)系統(tǒng)上的激勵(lì)力的幅值之比。由式(3)和式(6)可知傳遞到基礎(chǔ)上的動(dòng)荷載為

(18)

式中：

(19)

于是，傳到基礎(chǔ)上最大的動(dòng)荷載值為

(20)

非線性系統(tǒng)的力傳遞率為

(21)

隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是選擇合理的隔振器參數(shù)，即剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，使得傳遞到基礎(chǔ)上的力最小，達(dá)到降低振動(dòng)傳遞與噪聲抑制的作用。當(dāng)系統(tǒng)處于非線性振動(dòng)時(shí)，在奇異性分析的基礎(chǔ)上，以剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，分別變化參數(shù)ζ1、ζ2、k得到相應(yīng)的Tf曲線(見(jiàn)圖5)。

圖5(a)所示，隨著主彈簧阻尼比ζ1的增加，共振區(qū)的力傳遞率峰值迅速升高，且傳遞率曲線出現(xiàn)了獨(dú)立環(huán)。

圖5(b)所示，隨著副彈簧阻尼比ζ2的增加，共振區(qū)的力傳遞率峰值迅速降低，且發(fā)現(xiàn)阻尼比的影響逐漸減弱。

圖5(c)所示，剛度系數(shù)k的增加，對(duì)低頻和高頻區(qū)的力傳遞率都沒(méi)有影響，對(duì)共振區(qū)有影響，此時(shí)共振峰逐漸增大，且峰值向右移，使得共振頻率發(fā)生了輕微改變。

由此可知，當(dāng)系統(tǒng)處于非線性振動(dòng)時(shí)，剛度和阻尼等參數(shù)主要影響共振區(qū)的隔振效果，線性阻尼和剛度系數(shù)的增加都將減弱系統(tǒng)的隔振效果，而非線性阻尼系數(shù)的增加能加強(qiáng)隔振效果；同時(shí)傳遞率曲線與幅頻曲線具有同步的多解現(xiàn)象，例如在圖5(a)中ζ1=0.3情況下的傳遞率曲線與圖3(b)中所對(duì)應(yīng)的幅頻曲線在相同的參數(shù)下均出現(xiàn)了孤立環(huán)。

圖5　參數(shù)ζ 1、ζ 2、k對(duì)T f的影響 Fig.5 The influence of parameters ζ 1、ζ 2、k on T fcurve

5結(jié)論

本文利用平均法理論、約束分岔理論分析了對(duì)稱的分段線性彈簧系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，得到以下結(jié)論：

(1)利用約束分岔理論定性地分析系統(tǒng)可能發(fā)生的響應(yīng)類型，并獲得系統(tǒng)不同參數(shù)下豐富的振動(dòng)特性；

(2)根據(jù)李雅普諾夫一次近似穩(wěn)定性理論對(duì)系統(tǒng)主共振定常解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，結(jié)果表明隨著阻尼系數(shù)的變化，不穩(wěn)定區(qū)域的范圍也將變化，而剛度系數(shù)則影響不穩(wěn)定區(qū)域的位置；

(3)當(dāng)系統(tǒng)含非線性阻尼時(shí)，線性阻尼的增加反而減弱隔振效果，此時(shí)只有非線性阻尼能加強(qiáng)隔振。

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