第一作者羅久飛男，博士生，1987年生

通信作者謝志江男，教授，博士生導師，1963年生

一種基于非對稱窗的相位差法

羅久飛，謝志江，熊鷹

(重慶大學機械工程學院，重慶400044)

摘要：提出一種新的相位差法，用來校正離散頻譜中頻率、相位和幅值的誤差。由于經(jīng)典窗函數(shù)的對稱性，它們具有恒定的時延和相同的相位響應。解除窗函數(shù)的對稱性限制，可以引入具有可變時延和不同相位響應的非對稱窗函數(shù)。建立在非對稱窗的可變相位基礎之上的相位差法可以克服傳統(tǒng)方法的一些固有缺點。仿真表明通過選擇合適的窗函數(shù)，對相鄰很近的頻率成分，該方法校正也能保證精確的結(jié)果。該方法還可以從根本上避免最高譜線定位錯誤帶來的誤差。對帶有加性高斯白噪聲的理論信號分析，結(jié)果顯示直接基于非對稱窗的校正方法與傳統(tǒng)方法的抗噪性能相似。另外，將傳統(tǒng)方法中的對稱窗替換為非對稱窗可以提高算法的抗噪性能。

關鍵詞：窗函數(shù)；線性相位；頻譜校正；相位差法

收稿日期：2014-05-07修改稿收到日期：2014-08-14

中圖分類號:TN911.6文獻標志碼：A

Phase difference method based on asymmetrical windows

LUOJiu-fei,XIEZhi-jiang,XIONGYing(School of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Abstract:An improved method, phase difference method based on asymmetric windows, was proposed aiming at correcting the errors of parameters in discrete spectrum. Several examples simulations show that with proper choice of asymmetric windows, the new method can correct the errors of frequency components located in less than five DFT bins. And it can also avoid the errors induced by the mistaken location of right spectral line. The corrected results of a theoretical signal involved in different noise conditions also exhibit a stronger robustness against additive noise when the symmetric windows are replaced with asymmetric windows.

Key words:windows function; Linear phase; spectrum correction; phase difference

在離散頻譜分析中，由于無法整周期截斷信號以及有限的觀測時間，不可避免地引入頻譜的泄露和柵欄效應，常常導致頻率成分的頻率、振幅和相位存在一定的誤差。加窗技術可以在一定程度上減輕這種缺陷，但不能徹底地解決。例如，對加矩形窗和漢寧窗的單諧波進行分析，其振幅的最大誤差分別可達36.4%和15.3%[1-2]。對于任何類型的窗函數(shù)，最大頻率誤差是其頻率分辨率的1/2[2]。而最大的相位誤差甚至高達±90度[3-4]。毫無疑問，解決離散頻譜中的誤差問題在實際的工程應用中具有重大意義。因此，近幾十年里國內(nèi)外提出了許多頻譜校正方法，通?？煞譃樗念?，即插值法、FT連續(xù)變焦法、能量重心法和相位差法。

插值法是目前研究得最多的校正法，并且在很多工程問題中得到應用。該方法的主要思想是通過若干已知譜線的加權比值來得到信號的精確頻率，因此又叫比值法。目前，已經(jīng)衍生出多種不同的算法[6-18]。FT連續(xù)變焦法也被稱為搜索法，通過反復使用離散傅里葉變換搜索出臨近區(qū)域的最高譜線，來獲得信號的精確頻率。這種算法易于理解和實施，但是計算量相對較大[19-21]。Offelli等[22]首先提出了基于能量重心的校正方法。丁康等[23]證明了對稱窗函數(shù)功率譜的能量重心都在坐標原點或原點附近。該定理不但奠定了能量重心法的理論基礎，而且使得能量重心校正方法成為適用于不同窗函數(shù)的一種統(tǒng)一方法。近年來，算法的理論誤差，頻率成分間的干擾以及寬帶噪聲等各種影響因素得到了進一步的研究[24-27]。李慧兵等系統(tǒng)地比較了能量重心法和其他幾種方法。

第四類是相位差法。這種方法最初是由McMahon等[28]提出作為相位插值工具來估計帶噪聲的單頻信號的頻率。朱利民等[29-30]進一步改進了這種方法。謝明等[31]通過研究兩個連續(xù)的時域信號，提出了基于時移(MBTS)的相位差校正法的一種特例。丁康等[32]推導出了通用的基于時移的相位差校正法。黃云志[33]提出了另一種新型的基于窗中心移動的相位差法(MBTWC)。同時，丁康等[34]提出了綜合法，它包含了信號的時移和信號長度改變。2002年，朱利民等[35]深入研究了噪聲對該方法的影響。研究結(jié)果表明，相位差法在隨機噪聲的條件下，顯示出更高的穩(wěn)定性。

然而，目前的相位差法都是建立在對稱窗函數(shù)的基礎之上的。在離散頻譜法中尚未提及非對稱窗函數(shù)的使用。因此，本文提出了基于非對稱窗函數(shù)的新相位差法(MBAW)來修正離散頻譜中頻率、振幅和相位誤差。通過數(shù)值計算，證實了該方法的有效性，并將其與傳統(tǒng)基于對稱窗函數(shù)的相位差法進行了比較。仿真結(jié)果表明，通過選擇恰當?shù)拇昂瘮?shù)，新方法對相鄰較近的頻率成分也可以取得較好的校正結(jié)果。在加性噪聲下，新方法與傳統(tǒng)方法抗噪性能相似，進一步將傳統(tǒng)方法中對稱窗函數(shù)替換為非對稱函數(shù)，可加強其抗噪性能。另外，新方法從根本上避免了目前算法中譜線定位錯誤而帶來的誤差。這使得基于非對稱窗函數(shù)的相位差法在某些工程應用當中更具有優(yōu)勢。

1非對稱窗函數(shù)的頻譜特性

目前，所有的經(jīng)典窗函數(shù)都是時間對稱的，它們設計簡單并具有線性相位。然而它們也有潛在不足，例如恒定時延和某些頻率響應的限制。解除對稱性的限定則可以構(gòu)造出具有特殊用途的非對稱窗[36-38]。由于對稱性和因果性時移，經(jīng)典窗具有相同的相位譜。對于非對稱窗則能夠擁有完全不同的相位響應。

為方便描述，將這種非對稱窗函數(shù)稱為L-U-漢寧窗，其時域逆形式稱為L-D-漢寧窗。這二者構(gòu)成一對非對稱窗函數(shù)。同樣，還可以衍生出其他一系列非對稱窗，例如L-U-最小三項窗(見圖2)。

進一步定義核瓣這一概念，其表示位于主瓣中心且占有兩個頻率分辨率的寬度的區(qū)域。觀察以上非對稱窗函數(shù)的頻譜特性，容易得出如下幾個結(jié)論。①非對稱窗的“主瓣”比相應的對稱窗的主瓣略寬一點。非對稱窗“旁瓣”不明顯，它與相應的對稱窗旁瓣的包絡線很相近，具有近似的衰減速度。因此，二者的幅值特性非常相似。②對稱窗的相位始終是線性的，而非對稱窗的相位是非線性，但在核瓣內(nèi)近似線性。③由于任何窗函數(shù)(對稱或者非對稱)在主瓣中心的相位都為零，因此構(gòu)造出的非對稱窗與其相應的對稱窗相位線必定會交于主瓣中心。這些結(jié)論給基于非對稱窗函數(shù)的相位差法提供了理論基礎。

(a)　漢寧窗和L-U-漢寧窗 　(b)　歸一化幅值響應 (c)　歸一化相位響應 圖1　非對稱窗函數(shù)特性 Fig.1 Characteristics of the asymmetric window

(a)　最小三項窗和L-U-最小三項窗 (b)　歸一化幅值響應 (c)　歸一化相位響應 圖2　非對稱窗函數(shù)特性 Fig.2 Characteristics of the asymmetric window

2校正法理論

為了推導基于非對稱函數(shù)的相位差法校正理論，我們考慮如下單一的余弦信號

x(t)=Acos(2πf0t+θ)

(1)

式中：A為振幅，f0為精確頻率，θ為初相位。它的傅里葉變換是：

X(f)=0.5Aejθδ(f-f0)+0.5Ae-jθδ(f+f0)

(2)

該余弦信號被長度為T的窗函數(shù)wT(t)截斷。假設該窗wT(t)的傅里葉變換為|WT(f)|ejφ(f)。根據(jù)卷積定理，加窗信號x(t)wT(t)的頻譜為X(f)*|WT(f)|ejφ(f)?？紤]

正頻率部分，可得

這里忽略了來自負頻率的的干擾，因為它只有在某些極端的情況下才會對正頻率有較大干擾。此時相位可以表示為φ( f )=θ-φ( f- f0)。在DFT中，設點數(shù)為N，采樣頻率為fs，這樣頻率分辨率為fΔ=fs/N。根據(jù)DFT的定義，頻率歸一化后的相位可以寫為：

φ(k-k0)=φ(k)-θ

(3)

式中：k代表離散頻譜中頻率采樣的序號，且有k0=f0/fΔ。需要說明的是，k的取值不但可以是整數(shù)也可以通過插值方式取值為小數(shù)。

根據(jù)式(3)，對于加兩個不同窗函數(shù)(至少一個為非對稱窗函數(shù))的同一段信號，可以得到

φ1(k-k0)=φ1(k)-θ

(4)

φ2(k-k0)=φ2(k)-θ

(5)

二式相減消掉θ，則歸一化頻率與相位差之間的關系如式(6)所示

μ(k)=Δφ(k)=φ2(k)-φ1(k)=

φ2(k-k0)-φ1(k-k0)

(6)

基于對稱窗的相位差法利用了線性相位特征來得到歸一化校正值Δk。顯然，此時由于非對稱窗的非線性相位的原因，Δk和相位差之間的線性關系不復存在。但有一點非常重要，已經(jīng)在前文中指出，非對稱窗函數(shù)與其相應的對稱窗函數(shù)相位線必定會交于主瓣中心。這有助于我們找出理論精確的頻率，即

μ(k0)=Δφ(k0)=φ2(k0)-φ1(k0)=

φ2(0)-φ1(0)=0

(7)

式(7)表明當給定頻率值等于精確頻率值時二者相位差為零，即信號的精確頻率k0是μ(k)=0的一個解。

定理1若μ(k)的一階導數(shù)存在，且當k∈[kob-1/2,kob+1/2]時，恒有μ′(k)>0或μ′(k)<0，那么對于給定的歸一化頻率k*(kob-1/2≤k*≤kob+1/2)只要滿足μ(k*)=0就有k*=k0，相應信號的精確頻率為f=k0fΔ，其中kob為觀測頻率的譜線號。

證明：由于kob為觀測頻率的譜線號，則可知歸一化的精確頻率k0必定在[kob-1/2,kob+1/2]范圍內(nèi)，這就確定了其存在性，且有μ(k0)=0。若給定的歸一化頻率k*(kob-1/2≤k*≤kob+1/2)滿足μ(k*)=0且k*≠k0，那么根據(jù)羅爾定理在k0與k*之間必定有一個值ko得μ′(ko)=0。顯然，這與前提條件矛盾。因此，必定有k*=k0成立。

定理的幾何解釋為在觀察頻率附近的相位線交點的橫坐標正是該信號精確頻率，縱坐標為精確的初相位。顯然，窗中心移動法是它地特例，此時觀測頻率對應的相位差Δφ(kob)與校正值Δk之間具有良好的線性關系。恰當?shù)倪x擇非對稱窗函數(shù)(或者一個對稱窗函數(shù)和一個非對稱窗函數(shù))，定理1的條件很容易滿足。因此，基于非對稱窗函數(shù)的頻率校正問題轉(zhuǎn)化為在k∈[kob-1/2,kob+1/2]中求解方程μ(k)=0的問題。由于很難求得該方程的解析解，這就變成了一個經(jīng)典的數(shù)值求解問題。在每一步求解過程中，φ1(k)和φ2(k)很容易通過單點DFT方法得到。

目前有許多種求根算法來逼近方程的根，最簡單的算法是二分法。它可靠且易于實現(xiàn)，然而它收斂緩慢。牛頓法收斂更快，但需要計算導數(shù)，計算量大。利用非線性窗函數(shù)的相位線近似直線的性質(zhì)，采用割線法只需簡單幾步迭代就可快速收斂到根。之后，將k0代入加對稱窗后的數(shù)據(jù)進行單點離散傅里葉變換得到變換后的實部和虛部分別是：

(8)

(9)

精確的相位和幅值可以通過式(10)和式(11)算出，

θ=φ(k0)=arctan[AI(k0)/AR(k0)]

(10)

(11)

式中：CG表示相應窗函數(shù)的相干增益。

除此之外，將傳統(tǒng)方法中的對稱窗函數(shù)替換為非對稱窗函數(shù)還可以衍生出多種基于非對稱窗函數(shù)校正方法。

3仿真計算及其結(jié)果

這部分給出一些仿真算例來驗證基于非對稱窗函數(shù)相位差方法的有效性，并與傳統(tǒng)的方法做一些比較。為了方便地觀察和比較不同算法的效果，約定采樣頻率為1 024 Hz，數(shù)據(jù)總長度為1 024點。在MBTS中，選擇前512個點作第一段，剩下的512點為作第二段。在MBTWC中，將原始數(shù)據(jù)后半部分置零作第一段，前半部分置零作第二段。所加窗函數(shù)都包含512點。在MBAW中，原始數(shù)據(jù)加1 024點的對稱窗作第一段，加具有同樣長度的非對稱窗作第二段。

3.1無噪聲理論信號

3.1.1相隔較遠的頻率成分校正結(jié)果

仿真信號由式(12)產(chǎn)生，它包含有三個諧波分量，其中f1=253.3 Hz和f2=262.6 Hz相對接近，第三個諧波分量f3=330.7 Hz，與f1、f2相隔較遠。

Y=cos(2π253.3t+π/4)+cos(2π262.6t+π/6)+

cos(2π330.7t-π/2)

(12)

為了評估這些方法對不同的歸一化頻率誤差的有效性，考慮不同的f3的值，范圍從330.5 Hz到331.5 Hz步距為0.05 Hz。在MBTS和MBTWC中數(shù)據(jù)加漢寧窗。在MBAW中，第一段和第二段的數(shù)據(jù)分別加漢寧窗和L-U-漢寧窗。圖3～圖13顯示了三種頻率成分經(jīng)各種校正方法校正后的頻率、幅值和相位與理論值的誤差。

圖3 校正后的f1頻率與理論值的誤差(隨著f3頻率的改變)Fig.3Frequencyerrorsoff1withdifferentvaluesoff3圖4 校正后的f1幅值與理論值的誤差(隨著f3頻率的改變)Fig.4Amplitudeerrorsoff1withdifferentvaluesoff3圖5 校正后的f1相位與理論值的誤差(隨著f3頻率的改變)Fig.5 Phaseerrorsoff1withdifferentvaluesoff3

圖6 校正后的f2頻率與理論值的誤差(隨著f3頻率的改變)Fig.6Frequencyerrorsoff2withdifferentvaluesoff3圖7 校正后的f2幅值與理論值的誤差(隨著f3頻率的改變)Fig.7Amplitudeerrorsoff2withdifferentvaluesoff3圖8 校正后的f2相位與理論值的誤差(隨著f3頻率的改變)Fig.8 Phaseerrorsoff2withdifferentvaluesoff3

圖9 校正后的f3頻率與理論值的誤差Fig.9 Frequencyerrorsofcorrectedf3圖10 校正后的f3幅值與理論值的誤差Fig.10Amplitudeerrorsofcorrectedf3圖11 校正后的f3相位與理論值的誤差Fig.11Phaseerrorsofcorrectedf3

如圖所示，f3的頻率變化對f1和f2的校正影響很小。因為隨著f3變化，f1和f2頻率誤差接近直線，然而基于不同方法的校正結(jié)果差異是很明顯的。所有提出的這些方法都能取得較高精度的校正結(jié)果。頻率校正誤差f1、f2低于0.002頻率分辨率，f3低于0.000 01頻率分辨率。f1、f2的幅值誤差小于于0.000 3，f3小于0.000 002。相位校正誤差f1、f2低于0.3°，f3低于0.001°。f3的校正誤差比f1、f2低很多的原因是f3與它們相隔較遠，受二者旁瓣的干擾較小的緣故。仿真結(jié)果表明本文提出的校正方法是有效的。用它校正后的頻率、幅值和相位與理論值的誤差能達到與傳統(tǒng)方法一樣的精確度。鑒于幅值和相位都是通過校正后頻率來計算的，在接下來的實驗中僅僅比較頻率校正的結(jié)果。

3.1.2臨近的頻率成分校正結(jié)果

在校正方法中最重要的參數(shù)之一是兩頻率成分之間的距離大小。當頻率成分愈加接近時，來自對方的干擾就愈加嚴重。當兩頻率成分足夠接近時，干擾對校正方法性能的影響是非常大的。因此，我們考慮f1逐漸接近f2，步距為0.1Hz，且分別對f1，f2的相位進行掃描，選擇最大的誤差作為一次步距的結(jié)果。圖12、圖13顯示使用三種校正方法校正后，f1和f2與理論值誤差，Δλ表示f1和f2頻率的間距。在MBTS和MBTWC中窗函數(shù)為最小三項窗，在MBAW中窗函數(shù)為最小三項窗的和L-U-最小三項窗。選擇最小三項窗是因為其第一旁邊很低且主瓣較窄?？偟膩砜?，兩頻率間距變小時，校正誤差增大。而新方法可以像校正相隔較遠的譜線一樣精確地校正相隔很近(大于3個頻率分辨率)的譜線。

仿真結(jié)果表明新方法對相隔較近的頻率成分也能取得較好的校正結(jié)果。即使頻率間隔僅為3個頻率分辨率左右，校正頻率誤差也很穩(wěn)定且不超過0.01頻率分辨率。這種方法突破了傳統(tǒng)方法中為了取得較高精度的校正結(jié)果要求頻率間距大于5個頻率分辨率的限制。在新方法中相位差可以僅僅通過對同一段數(shù)據(jù)加不同的窗函數(shù)得到，并不改變窗函數(shù)的長度。而在MBTS和MBTWC中，整個數(shù)據(jù)被分成兩部分，相應的窗函數(shù)長度也變短。因此，對同樣長度的數(shù)據(jù)，所使用的窗長并不相同，非對稱窗具有更窄的主瓣。傳統(tǒng)方法中窗函數(shù)主瓣擴張使得相鄰頻譜成分之間干擾增大，甚至產(chǎn)生主瓣干涉。所以，新方法更適合校正相鄰較近的頻率成分。

3.2帶白噪聲的理論信號仿真

帶有加性高斯白噪聲的理論信號由(13)給出

Ye(t)=cos(2π227.3t+π/2)+e(t)

(13)

式中，包含一個頻率為227.3 Hz的單頻信號，e(t)是具有高斯分布的白噪聲。由于噪聲的隨機性，每次校正的結(jié)果略有不同。在同一信噪比下，考察共計10 000次的獨立實驗，用其均方根值來評估這幾種方法。在圖中關于均方根值評價的指標(IRMSE)定義如下

IRMSE=-20lgRMSE

(14)

其中

(15)

式(15)中,Ntr代表實驗次數(shù),fi是在噪聲情況下每次的校正結(jié)果,f0表示理論頻率。對于單諧波，信噪比定義為

SNR=10lg[A2/(2σ2)]

(16)

其中：A為諧波信號的幅值，σ2為噪聲的方差。仿真中使用的窗函數(shù)分別為漢寧窗和L-U-漢寧窗。

圖14顯示了不同SNR下三種算法的仿真結(jié)果?？傮w上IRMSE隨著SNR增大而穩(wěn)步上升。MBTS, MBTWC以及MBAW沒有明顯區(qū)別。這表明三者的抗噪聲能力基本一致，其中MBTWC比MBAW，MBTS略好。

圖12 不同Δλ的f1校正頻率誤差(最小三項窗)Fig.12Frequencyerrorsofcorrectedf1withdifferentvaluesofΔλ圖13 不同Δλ的f2校正頻率誤差(最小三項窗)Fig.13Frequencyerrorsofcorrectedf2withdifferentvaluesofΔλ圖14 1000段信號的IRMSE(MBAW)Fig.14IRMSEforf1with10000independenttrials(MBAW)

將MBTWC中窗函數(shù)替換為非對稱窗函數(shù)可以改善MBTWC的抗噪能力(見圖15)。仿真信號與圖14中完全一致的，在改進方法中，將第一段和第二段信號所加的漢寧窗替換為L-D-漢寧窗和L-U-漢寧窗，長度相同。在所有的信噪比情況下，MBTWC&AW的IRMSE指標都比MBTWC和MBTS大。這表明改進后的算法對加性隨機噪聲的抗性更強。

3.3譜線錯誤定位的影響

在3.2中并未考慮譜線錯誤定位的影響，我們始終選擇正確的譜線來校正。然而，由于噪聲對理論信號的干擾，在實際工程中總是選用最高的譜線來校正，卻并不能保證它是應該被用來校正的正確的譜線。特別是當信噪比很大的時候或者當真實信號靠近兩條譜線的中間位置的時候，譜線定位錯誤將給頻率校正帶來很大的誤差[21]。

圖16～圖17顯示了不同校正方法，譜線定位錯誤的數(shù)目。對于不同等級的噪聲和不同的頻率偏差，進行10 000次獨立試驗，考察其譜線定位錯誤的數(shù)目?？偟膩砜?，錯誤定位的數(shù)目隨著理論頻率靠近兩譜線中間區(qū)域而增加。對于同一頻率而言，譜線定位錯誤的百分比隨著SNR增加而減少?？梢钥闯觯斃碚擃l率接近兩譜線中間區(qū)域或信噪比很大的時候錯誤定位的現(xiàn)象非常嚴重。如果考慮到譜線定位錯誤，MBTWC和MBTS校正的結(jié)果會更差。然而，新方法從根本上避免了這個問題，這是因為新算法對錯誤定位譜線不敏感。即使選錯了譜線，根據(jù)迭代算法仍然可以逼近相位零點，從而得到真實頻率，其結(jié)果與選取的譜線號無關。這使得新方法在大噪聲下更加穩(wěn)健。

圖15 1000段信號的IRMSE(MBTWC&AW)Fig.15IRMSEforf1with10000independenttrials(MBTWC&AW)圖16 10000段信號中譜線定位錯誤的數(shù)量百分比(MBTWC)Fig.16 PercentageofmistakenlocationofthefirstsegmentinMBAWof10000independenttrials圖17 1000段信號中譜線定位錯誤的數(shù)量百分比(MBTS)Fig.17 PercentageofmistakenlocationofthesecondsegmentinMBAWof10000independenttrials

4結(jié)論

本文提出了一種新的相位差法來校正離散頻譜中頻率、相位和幅值的誤差。第一次將非對稱窗函數(shù)引入離散頻譜校正之中。研究了基于截斷法構(gòu)造出的非對稱窗的幅值和相位特性。推導了基于非對稱窗函數(shù)的相位差法理論。在新方法中，先通過數(shù)值方法來逼近理論頻率，然后再通過單點的離散傅里葉變換來求得精確的相位和幅值。給出了不同于傳統(tǒng)相位差法的頻率、相位和幅值校正公式。新算法的計算量有所增加，但是在目前的計算機運算速度下，完全可以忽略不計。

仿真結(jié)果表明本文提出方法可以僅僅通過對同一段數(shù)據(jù)加非對稱窗(或者一個對稱窗和一個非對稱窗)而實現(xiàn)對頻率、相位和幅值的校正，精度與傳統(tǒng)方法一致。選擇恰當?shù)拇昂瘮?shù)，對相鄰較近的頻率成分也可以取得較好的校正結(jié)果，這是傳統(tǒng)方法的盲區(qū)。在加性噪聲下，新方法與傳統(tǒng)方法性能相似。將傳統(tǒng)方法中對稱窗函數(shù)替換為非對稱函數(shù)，改進的方法具有更強的抗噪聲能力。另外，新方法從根本上避免了最高譜線定位錯誤而引入的誤差。因此，在工程環(huán)境下與傳統(tǒng)方法相比新方法穩(wěn)健性更高，更適合于工程應用。雖然該方法對于較為密集分布的頻率成分取得較好的效果，但是對于過于密集的頻率成分(出現(xiàn)主瓣干涉)，仍然會產(chǎn)生相當大的誤差。密集頻譜校正是目前校正方法的難點之一[39], 有待進一步研究。

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