李佳耘++顧人穎++黃利萍++陳峙君

摘 要：在全球氣候變化的影響下，極端天氣氣候事件頻繁發(fā)生。該文結(jié)合近年來(lái)極端天氣氣候變化研究中應(yīng)用極值統(tǒng)計(jì)理論的新成果，采用亳州4個(gè)站建站以來(lái)汛期的實(shí)測(cè)降雨資料，探討了二維Gumbel分布模型，在研究其經(jīng)驗(yàn)頻率和理論頻率計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)隨機(jī)變量的邊緣分布和條件概率分布，分析了汛期最大強(qiáng)降水雨量及最大過(guò)程雨量的聯(lián)合分布，建立了其聯(lián)合重現(xiàn)期和條件重現(xiàn)期的分布模型，擬合效果很理想。

關(guān)鍵詞：極值分布；二維Gumbel分布模型；強(qiáng)降水雨量；過(guò)程雨量

中圖分類號(hào) P426.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1007-7731（2016）01-84-05

Probability Characteristics of Heavy Precipitation Based on Bivariate Gumbel-Logistic Model at

Bozhou Area

Li Jiayun1 et al.

（1BoZhou Meteorological Bureau，Bozhou 236800，China）

Abstract：Frequent climate extremes often occur under changing climate. Using the long-term observed precipitation data，the two-dimension Gumbel model is applied at Bozhou station based on the new theory of extremes statistics. The empirical frequency and theoretical frequency of precipitation extremes are analyzed，and then the joint distribution of the heaviest precipitation and its corresponding heaviest total precipitation is investigated. The models of joint return period distribution and Conditions return period distribution are built，which is useful for the studies of precipitation extremes.

Key words：Extreme distribution；Bivariate Gumbel model；Heavy precipitation；Course precipitation

強(qiáng)降水實(shí)際上涉及到降水的歷時(shí)、強(qiáng)度、面積、深度等多方面的時(shí)空分布特征，它既有一定的持續(xù)時(shí)間，又占據(jù)一定的區(qū)域面積或范圍，更有量級(jí)和強(qiáng)度大小，因而這類極值問(wèn)題僅僅運(yùn)用一維極值分布模式來(lái)描述其特征，并不能滿足實(shí)際工作的需要，而應(yīng)用二維或多維極值分布模式描述其全方位特征則更為恰當(dāng)。近年來(lái)，國(guó)際上已有不少學(xué)者利用二維極值分布模式研究區(qū)域和單站強(qiáng)降水概率特征，以便描述表征2個(gè)及2個(gè)以上變量同時(shí)達(dá)到極值的隨機(jī)現(xiàn)象的概率問(wèn)題。早在20世紀(jì)60年代，Gumbel等人[4-5]在一維Gumbel分布的基礎(chǔ)上即已提出了Gumbel分布的二維形式，但并未引人注目。其后，由于水利水電工程技術(shù)科學(xué)的發(fā)展，許多學(xué)者紛紛研究了各種多變量的聯(lián)合分布用于極端降水事件或暴雨事件的概率描述，并提出過(guò)各種形式的聯(lián)合概率分布模型[6-8]。在國(guó)內(nèi)水文氣象學(xué)界除了水文學(xué)中有個(gè)別應(yīng)用二維分布模式以外，絕大多數(shù)學(xué)者在研究水文氣象學(xué)極值事件中，也只局限于應(yīng)用一維極值分布模式，在大氣科學(xué)領(lǐng)域運(yùn)用極值分布模式也都以一維模式為主，僅在某些著述中提到或介紹過(guò)國(guó)外研究成果[1-3]。本文主要運(yùn)用二維Gumbel分布研究了強(qiáng)降水過(guò)程的概率特征。運(yùn)用二維概率分布模式的優(yōu)點(diǎn)在于，它不但能較全面地描述一些極端天氣氣候事件的特征，而且在一定程度上更能揭示某些復(fù)雜的極端事件產(chǎn)生的原因。

1 數(shù)據(jù)的選取及處理方法

1.1 降水指標(biāo)量的選取及時(shí)頻變化特征

1.1.1 降水指標(biāo)量的選取 由于本文所做的研究是汛期強(qiáng)降水事件的模擬，所以文中涉及各站每年5～9月降水量總和（單位：mm/a）；各站每年汛期降水日數(shù)（單位：d）；過(guò)程雨量是指每個(gè)降水過(guò)程的總雨量（單位：mm/過(guò)程）；強(qiáng)降水雨量是指發(fā)生極端降水事件時(shí)，該站點(diǎn)該日的降水量（單位：mm/d），強(qiáng)降水事件定義如下：首先，我們定義了各測(cè)站極端強(qiáng)降水事件的閾值[8]。具體方法是：將各站建站以來(lái)≥0.1mm的逐日日降水序列的第95個(gè)百分位值求出，該值即為極端降水事件的閾值。當(dāng)某站日降水量超過(guò)了該站極端降水事件的閾值時(shí)，就稱該日出現(xiàn)了極端降水事件，記該站發(fā)生極端降水事件一次。在降水量相同的情況下，臺(tái)站的閾值越大，意味著越難發(fā)生極端強(qiáng)降水事件。通過(guò)計(jì)算，亳州地區(qū)強(qiáng)降水事件的閾值在36.6～40.5mm/d變化，平均閾值為38.2mm/d。閾值均小于50mm，這說(shuō)明國(guó)家氣象局定義的暴雨（50～100mm/d）事件對(duì)于研究亳州的強(qiáng)降水事件是不太符合的。所以在下文研究二維Gumbel分布模型時(shí)，可以把強(qiáng)降水雨量而非暴雨雨量做為其中的一個(gè)指標(biāo)。

1.1.2 汛期降水量及降水日數(shù)的時(shí)頻特征 圖1是亳州4個(gè)站平均汛期降水量和降水日數(shù)隨時(shí)間的變化。從圖1可以看出，亳州汛期降水量雖然呈波動(dòng)變化，但是總體上表現(xiàn)為增加趨勢(shì)。其多年平均汛期降水量在306～

1 120mm波動(dòng)，最小值出現(xiàn)在1966年，為306.9mm；最大值發(fā)生在1963年，達(dá)1 118.3mm，最大值與最小值相差約810mm。汛期降水日數(shù)趨勢(shì)線表明，整體而言，亳州的降水日有減少趨勢(shì)，自20世紀(jì)80年代中期后，降水日數(shù)的減少趨勢(shì)更加明顯。亳州汛期降水量豐富，近50a來(lái)汛期降水呈增加趨勢(shì)，其降水日卻以-0.77d/10a的速度在減少。由此可見(jiàn)，近50a來(lái)亳州地區(qū)的降水強(qiáng)度必然有所增大。

圖1 亳州汛期降水量及降水日數(shù)的時(shí)頻特征

1.2 數(shù)據(jù)處理方法 由給定的逐日降水樣本序列如何估計(jì)其極值分布參數(shù)，本文采用的是經(jīng)典矩估計(jì)法。首先要對(duì)逐日資料作抽取極值的資料處理，以便組成極值序列（通常稱其為有序樣本序列），文中采用部分歷時(shí)序列法（PDS）對(duì)降水資料進(jìn)行抽樣。并按以下二維Gumbel分布函數(shù)公式：

[F（x，y）=exp-（-lnF（x））m+（-lnF（y））m1m，（m≥1）] （1）

計(jì)算得出相應(yīng)的理論累積頻率[F（x，y）]。并計(jì)算兩者的相關(guān)系數(shù)及關(guān)聯(lián)指數(shù)，再由兩變量各自的標(biāo)準(zhǔn)化變量便可求得各自的邊際分布函數(shù)。同理，假定[X≤x]，或[Y≤y]則可分別求得[y]的條件累積分布函數(shù)和[x]的條件累積分布函數(shù)，由此又可得到相應(yīng)的各不同條件下的過(guò)程雨量或強(qiáng)降水雨量的重現(xiàn)期。

值得指出的是，為了確定經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)合累積頻率函數(shù)，參照Yue（2001）所采用的確定經(jīng)驗(yàn)累積頻率的方法，本文采用如下的公式：

[pkl=P（X≤xk，Y≤yl）=（k+l）2（N+1）] （2）

上式中，參數(shù)[k]和[l]分別為相應(yīng)的變量[x，y]各自的序號(hào)，而[N]則為樣本總?cè)萘考葱蛄虚L(zhǎng)度。之所以考慮這一公式，是因?yàn)閮勺兞砍霈F(xiàn)極值并非完全同步，有的年份出現(xiàn)強(qiáng)降水極大值，但未必過(guò)程雨量也是最大值。此外，根據(jù)前述的參數(shù)估計(jì)方法所得到的理論累積頻率（即聯(lián)合累積概率），就可在此基礎(chǔ)上，作二維分布的擬合優(yōu)度K-S檢驗(yàn)，并估計(jì)其聯(lián)合重現(xiàn)期。

2 描述逐日強(qiáng)降水概率特征的資料基礎(chǔ)

強(qiáng)降水過(guò)程是由多次暴雨雨峰所組成的，在降水過(guò)程間隙雨量較少，因此，較為完整地描述一次強(qiáng)降水過(guò)程必然包含2種指標(biāo)：總雨量和雨峰雨量。本文利用逐日降水資料中的過(guò)程降水量及最大強(qiáng)降水雨量來(lái)近似地描述其極值概率特征（即強(qiáng)降水概率特征）。選取亳州區(qū)域內(nèi)4個(gè)站汛期的逐日降水過(guò)程來(lái)定義強(qiáng)降水極端天氣氣候事件，采用過(guò)程降水量和其間的最大強(qiáng)降水雨量這2個(gè)量同時(shí)達(dá)到全年最大值作為二維分布的基本資料。經(jīng)計(jì)算可以得出4站強(qiáng)降水雨量和過(guò)程雨量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差以及Gumbel分布參數(shù)，其值列于表1。

為了解Gumbel分布的擬合優(yōu)度，分別對(duì)強(qiáng)降水雨量和過(guò)程雨量的分布進(jìn)行了K-S檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。檢驗(yàn)結(jié)果表明，4站的強(qiáng)降水雨量K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值分布在0.05～0.09，過(guò)程雨量K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值分布在0.09～0.15，K-S檢驗(yàn)中[λ0.05]臨界值為0.19。因此，4站的強(qiáng)降水雨量以及過(guò)程雨量在[0.05]顯著性水平上都符合各自的一維Gumbel分布。

3 結(jié)果與分析

3.1 聯(lián)合分布 由前文所提方法，根據(jù)科爾莫哥洛夫-斯米爾洛夫（K-S）檢驗(yàn)，首先可計(jì)算得到一維Gumbel分布函數(shù)[F（x）]和經(jīng)驗(yàn)頻率函數(shù)[f（x）]，二維Gumbel分布函數(shù)，以及二維Gumbel分布的條件分布函數(shù)[F（xy）]和[F（yx）]。應(yīng)用有序樣本，計(jì)算各站各相應(yīng)序列的K-S統(tǒng)計(jì)量，如表3所示：

在各站汛期逐日強(qiáng)降水過(guò)程中，過(guò)程雨量和強(qiáng)降水雨量各自均符合Gumbel分布，計(jì)算還表明，過(guò)程雨量和強(qiáng)降水雨量的聯(lián)合分布也都符合二維Gumbel分布，經(jīng)K-S檢驗(yàn)，它們的擬合優(yōu)度都在0.05顯著性水平上符合二維Gumbel分布，檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表3。圖3為亳州、渦陽(yáng)、蒙城、利辛4站的聯(lián)合分布函數(shù)曲線與實(shí)測(cè)累積頻率曲線對(duì)比。由圖3可知，亳州地區(qū)內(nèi)的4個(gè)站的強(qiáng)降水雨量以及過(guò)程雨量都符合聯(lián)合二維Gumbel分布，強(qiáng)降水雨量以及過(guò)程雨量的聯(lián)合分布函數(shù)曲線與實(shí)測(cè)累積頻率曲線擬合效果較好。通過(guò)聯(lián)合分布函數(shù)的計(jì)算，可以得出亳州地區(qū)強(qiáng)降水雨量及過(guò)程雨量的聯(lián)合重現(xiàn)期。

<3.2 條件分布（累積條件分布函數(shù)） 根據(jù)前文給出的條件分布概率函數(shù)，可以求得各種不同前提條件（如不同強(qiáng)降水雨量）下的過(guò)程總雨量的條件分布函數(shù)及其相應(yīng)重現(xiàn)期和分位數(shù)。以亳州汛期為例，圖4為亳州強(qiáng)降水雨量（上）和過(guò)程總雨量（下）條件重現(xiàn)期列線。

由圖4可知，當(dāng)強(qiáng)降水雨量一定時(shí)，過(guò)程雨量越大，其條件重現(xiàn)期越長(zhǎng)；過(guò)程雨量一定時(shí)，強(qiáng)降水雨量越大，條件重現(xiàn)期越長(zhǎng)。以亳州為例，當(dāng)出現(xiàn)50mm強(qiáng)降水時(shí)，條件概率為0.724 3，其過(guò)程雨量約為71.9，重現(xiàn)期為1.2a；當(dāng)出現(xiàn)100mm強(qiáng)降水時(shí)，條件概率為0.214 9，其對(duì)應(yīng)過(guò)程雨量為181.4mm，重現(xiàn)期為5a。為了更好的對(duì)比說(shuō)明，表4分別列出了亳州、齊齊哈爾、廣州3站的過(guò)程降水在強(qiáng)降水雨量分別為50mm和100mm條件下的條件概率、分位數(shù)。由表4可知，由北往南，過(guò)程的降水強(qiáng)度是逐漸增加的，在同級(jí)強(qiáng)降水雨量出現(xiàn)的條件下，過(guò)程降雨量愈往南方其條件概率愈大，而其出現(xiàn)的過(guò)程雨量也隨之增大，這是符合氣候?qū)嶋H的。而且條件重現(xiàn)期由北往南是逐漸減少的，從數(shù)據(jù)可見(jiàn)，廣州每年的強(qiáng)降水雨量最大值幾乎都超過(guò)50mm，其重現(xiàn)期相比齊齊哈爾、亳州而言更短。而在強(qiáng)降水雨量最大值超過(guò)100mm時(shí)，齊齊哈爾的條件概率僅為0.01，也就是說(shuō)，其重現(xiàn)期要100a，這種情況是百年一遇的，亳州相比而言，超過(guò)概率為0.2，其重現(xiàn)期為5a，但是到了雨水充沛的廣州，其條件概率竟達(dá)0.51，且其重現(xiàn)期為2a?？梢?jiàn)，條件概率之間的差異不如過(guò)程雨量之間的差異來(lái)得大，強(qiáng)降水雨量為50mm時(shí)的條件概率遠(yuǎn)比100mm時(shí)的條件概率大，在條件重現(xiàn)期上體現(xiàn)的更加明顯。

4 結(jié)論

選取亳州4個(gè)站點(diǎn)建站以來(lái)汛期的逐日降水?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行二維Gumbel分布模式研究，得出以下結(jié)論：

（1）采用亳州4個(gè)測(cè)站的逐日降水資料，運(yùn)用PDS方法進(jìn)行數(shù)據(jù)的抽樣，選用經(jīng)典矩估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)的計(jì)算，然后進(jìn)行Gumbel分布的擬合，結(jié)果表明所選描述強(qiáng)降水過(guò)程的氣象要素均符合該分布，且計(jì)算簡(jiǎn)單、效果穩(wěn)定。

（2）利用二維Gumbel分布模式進(jìn)行汛期單站點(diǎn)強(qiáng)降水特征模擬，經(jīng)用K-S檢驗(yàn)，表明二維Gumbel分布對(duì)汛期極值概率分布有著很好的擬合效果，并可模擬得出單站點(diǎn)的聯(lián)合分布概率及聯(lián)合重現(xiàn)期、條件分布概率及條件重現(xiàn)期。

（3）汛期降水極值統(tǒng)計(jì)的根本目的在于利用已知的分布模式推算極值的重現(xiàn)期，即某一極值再次出現(xiàn)的時(shí)間間隔，重現(xiàn)期的計(jì)算能為當(dāng)?shù)靥峁┺r(nóng)業(yè)氣象災(zāi)害的預(yù)警信息，而且本模式也能推廣到對(duì)干旱重現(xiàn)期的研究中，這對(duì)于防災(zāi)減災(zāi)、保障人民經(jīng)濟(jì)生活都有著重要的意義。

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