冪函數(shù)圖象性質(zhì)研究?jī)刹角?/h1>
2016-01-27 11:12郭家維
科學(xué)中國(guó)人 2016年33期
郭家維
貴州省興義市第八中學(xué)
冪函數(shù)圖象性質(zhì)研究?jī)刹角?/p>
郭家維
貴州省興義市第八中學(xué)
研究?jī)绾瘮?shù)，由定義域可知，所有冪函數(shù)在(0,+∞)上都有意義，所以研究?jī)绾瘮?shù)的第一個(gè)關(guān)鍵問題是研究?jī)绾瘮?shù)第一象限的圖象及其性質(zhì)。部分冪函數(shù)在(-∞，0)上無(wú)意義，研究它在第一象限的圖像及性質(zhì)及可了解此類冪函數(shù)，部分冪函數(shù)在(-∞，0)有意義且此類冪函數(shù)具有較強(qiáng)的對(duì)稱性，結(jié)合第一象限的圖象及性質(zhì)和奇偶性即可知此類冪函數(shù)在(-∞，0)上的函數(shù)圖象及性質(zhì)，所以冪函數(shù)研究的第二關(guān)鍵為通過(guò)對(duì)冪函數(shù)的奇偶性的探究。本文通過(guò)對(duì)冪函數(shù)在第一象限的圖象及其性質(zhì)和冪函數(shù)的奇偶性的分析從而了解冪函數(shù)，在教學(xué)中有助于學(xué)生理解冪函數(shù)。
冪函數(shù)；奇偶性；第一象限；圖象
冪函數(shù)，即是形如y=x?的函數(shù)，其中x為自變量，?為常數(shù)。研究函數(shù)首先考慮定義域優(yōu)先，下面就對(duì)冪函數(shù)的定義域進(jìn)行分類，令（p，q互質(zhì)）。
一、第一曲——冪函數(shù)的第一象限的圖像及性質(zhì)
由上面的分析可以看出，所有冪函數(shù)在x∈(0,+∞)上都是有意義的。要研究所有冪函數(shù)的性質(zhì)，就先選取x∈(0,+∞)進(jìn)行討論。
在對(duì)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的研究當(dāng)中，都是通過(guò)圖象來(lái)對(duì)性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，在冪函數(shù)的學(xué)習(xí)中，也通過(guò)觀察圖象來(lái)對(duì)性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)。當(dāng)所有冪函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)時(shí)，值域也為(0，+∞)，可以看出，當(dāng)x＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象均在第一象限，那就先討論冪函數(shù)在第一象限的性質(zhì)。
第一，冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1,1），即是當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值y=1，與?的取值無(wú)關(guān)。
第二，當(dāng)?＞0，冪函數(shù)在(0，+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)?＜0時(shí)，冪函數(shù)在上為減函數(shù)。證明如下：令那么由于x2＞x1，即是，又因?yàn)?＞0，則即f(x2)＞f（x1），所以當(dāng)?＞0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)上為增函數(shù)，同理可以證明當(dāng)?＜0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)上位減函數(shù)。
第三，當(dāng)?＞1時(shí)，函數(shù)的圖象是類似于向上拋物線的右半支，即是圖象上凹，當(dāng)0＜?＜1時(shí)，函數(shù)的圖象類似于向右拋物線的上半支，即是圖象上凸?？梢杂枚A導(dǎo)數(shù)來(lái)對(duì)其進(jìn)行證明。
第四，當(dāng)?＜0時(shí)，有當(dāng)x→+∞時(shí)，y→0，即是冪函數(shù)圖象向右趨近于x軸，當(dāng)y→+∞時(shí)，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向上趨近于y軸。
第五，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越小，當(dāng)x＞1時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大。
第六，f(x)在x∈(0,+∞)無(wú)最值，即無(wú)最大值，也無(wú)最小值。
二、第二曲——冪函數(shù)奇偶性探究
有了函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合冪函數(shù)第一象限的圖象及其性質(zhì)，我們可以得到x∈()-∞,0冪函數(shù)的圖象及其性質(zhì)。
①冪函數(shù)還過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（-1,1），冪函數(shù)的象限分布為第一、第二象限；
②當(dāng)?＞0，冪函數(shù)在(-∞，0)上為減函數(shù)，當(dāng)?＜0時(shí)，冪函數(shù)在(-∞，0)上為增函數(shù)；
③當(dāng)?＞1時(shí)，函數(shù)的圖象在()-∞，0類似于向上拋物線的左半支，即是圖象下凹，當(dāng)0＜?＜1時(shí)，函數(shù)的圖象類似于向左拋物線的上半支，即是圖象下凸。證明可以根據(jù)二次導(dǎo)數(shù)證明；
④當(dāng)?＜0時(shí)，有當(dāng)x→-∞時(shí)，y→0，即是冪函數(shù)圖象向左趨近于x軸，當(dāng)y→+∞時(shí)，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向上趨近于y軸；
⑤當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越小，當(dāng)x＜-1時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大；
⑥f(x)在x∈(-∞,0)無(wú)最值。
①冪函數(shù)還過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（-1,-1），冪函數(shù)的象限分布為第一、第三象限；
②當(dāng)?＞0，冪函數(shù)在(-∞，0)上為增函數(shù)，當(dāng)?＜0時(shí)，冪函數(shù)在(-∞，0)上為減函數(shù)；
③當(dāng)?＞1時(shí)，函數(shù)的圖象在(-∞，0)類似于向下拋物線的左半支，即是圖象上凸，當(dāng)0＜?＜1時(shí)，函數(shù)的圖象類似于向左拋物線的下半支，即是圖象上凹；
④當(dāng)?＜0時(shí)，有當(dāng)x→-∞時(shí)，y→0，即是冪函數(shù)圖象向左趨近于x軸，當(dāng)y→+∞時(shí)，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向下趨近于y軸；
⑤當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大，當(dāng)x＜-1時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越??；
⑥f(x)在x∈(-∞,0)無(wú)最值。
結(jié)語(yǔ)
綜上，可以看出，只要有了冪函數(shù)在第一象限的圖象及性質(zhì)，、就可以同過(guò)函數(shù)的奇偶性來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)在其他象限的圖象及其性質(zhì)。所以這兩點(diǎn)是研究?jī)绾瘮?shù)的關(guān)鍵。
[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)一（必修）p27-p79
[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)一（選修）p97-p107
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郭家維
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冪函數(shù)；奇偶性；第一象限；圖象
冪函數(shù)，即是形如y=x?的函數(shù)，其中x為自變量，?為常數(shù)。研究函數(shù)首先考慮定義域優(yōu)先，下面就對(duì)冪函數(shù)的定義域進(jìn)行分類，令（p，q互質(zhì)）。
一、第一曲——冪函數(shù)的第一象限的圖像及性質(zhì)
由上面的分析可以看出，所有冪函數(shù)在x∈(0,+∞)上都是有意義的。要研究所有冪函數(shù)的性質(zhì)，就先選取x∈(0,+∞)進(jìn)行討論。
在對(duì)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的研究當(dāng)中，都是通過(guò)圖象來(lái)對(duì)性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，在冪函數(shù)的學(xué)習(xí)中，也通過(guò)觀察圖象來(lái)對(duì)性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)。當(dāng)所有冪函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)時(shí)，值域也為(0，+∞)，可以看出，當(dāng)x＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象均在第一象限，那就先討論冪函數(shù)在第一象限的性質(zhì)。
第一，冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1,1），即是當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值y=1，與?的取值無(wú)關(guān)。
第二，當(dāng)?＞0，冪函數(shù)在(0，+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)?＜0時(shí)，冪函數(shù)在上為減函數(shù)。證明如下：令那么由于x2＞x1，即是，又因?yàn)?＞0，則即f(x2)＞f（x1），所以當(dāng)?＞0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)上為增函數(shù)，同理可以證明當(dāng)?＜0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)上位減函數(shù)。
第三，當(dāng)?＞1時(shí)，函數(shù)的圖象是類似于向上拋物線的右半支，即是圖象上凹，當(dāng)0＜?＜1時(shí)，函數(shù)的圖象類似于向右拋物線的上半支，即是圖象上凸?？梢杂枚A導(dǎo)數(shù)來(lái)對(duì)其進(jìn)行證明。
第四，當(dāng)?＜0時(shí)，有當(dāng)x→+∞時(shí)，y→0，即是冪函數(shù)圖象向右趨近于x軸，當(dāng)y→+∞時(shí)，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向上趨近于y軸。
第五，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越小，當(dāng)x＞1時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大。
第六，f(x)在x∈(0,+∞)無(wú)最值，即無(wú)最大值，也無(wú)最小值。
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③當(dāng)?＞1時(shí)，函數(shù)的圖象在()-∞，0類似于向上拋物線的左半支，即是圖象下凹，當(dāng)0＜?＜1時(shí)，函數(shù)的圖象類似于向左拋物線的上半支，即是圖象下凸。證明可以根據(jù)二次導(dǎo)數(shù)證明；
④當(dāng)?＜0時(shí)，有當(dāng)x→-∞時(shí)，y→0，即是冪函數(shù)圖象向左趨近于x軸，當(dāng)y→+∞時(shí)，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向上趨近于y軸；
⑤當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越小，當(dāng)x＜-1時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大；
⑥f(x)在x∈(-∞,0)無(wú)最值。
①冪函數(shù)還過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（-1,-1），冪函數(shù)的象限分布為第一、第三象限；
②當(dāng)?＞0，冪函數(shù)在(-∞，0)上為增函數(shù)，當(dāng)?＜0時(shí)，冪函數(shù)在(-∞，0)上為減函數(shù)；
③當(dāng)?＞1時(shí)，函數(shù)的圖象在(-∞，0)類似于向下拋物線的左半支，即是圖象上凸，當(dāng)0＜?＜1時(shí)，函數(shù)的圖象類似于向左拋物線的下半支，即是圖象上凹；
④當(dāng)?＜0時(shí)，有當(dāng)x→-∞時(shí)，y→0，即是冪函數(shù)圖象向左趨近于x軸，當(dāng)y→+∞時(shí)，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向下趨近于y軸；
⑤當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大，當(dāng)x＜-1時(shí)，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越??；
⑥f(x)在x∈(-∞,0)無(wú)最值。
結(jié)語(yǔ)
綜上，可以看出，只要有了冪函數(shù)在第一象限的圖象及性質(zhì)，、就可以同過(guò)函數(shù)的奇偶性來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)在其他象限的圖象及其性質(zhì)。所以這兩點(diǎn)是研究?jī)绾瘮?shù)的關(guān)鍵。
[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)一（必修）p27-p79
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