張雪蕾，　王佳穎，　吳　雷

(1.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100875；　2.北京師范大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京100875)

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平板折疊桌最優(yōu)設(shè)計(jì)的模型研究

張雪蕾1，王佳穎1，吳雷2

(1.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100875；2.北京師范大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京100875)

[摘要]現(xiàn)有一種創(chuàng)意平板折疊桌.建立初等函數(shù)模型，給出折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程及開(kāi)槽長(zhǎng)度和桌腳邊緣線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)；根據(jù)“穩(wěn)固性、加工難易、用材多少”等要求建立多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，采用基于多目標(biāo)函數(shù)的“模擬退火”算法，求得一定條件下的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案.最后給出一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件的初等目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型，并利用次模型設(shè)計(jì)出三角形、六邊形兩種新的創(chuàng)意平板折疊桌.

[關(guān)鍵詞]平板折疊桌； 動(dòng)態(tài)變化過(guò)程； 設(shè)計(jì)加工參數(shù)； 優(yōu)化問(wèn)題； 約束條件下非線(xiàn)性多目標(biāo)規(guī)劃； 模擬退火算法

1引言

為了生活方便，而且富有創(chuàng)意，現(xiàn)設(shè)計(jì)一種可折疊的桌子.桌面呈圓形，桌腿可隨著鉸鏈的活動(dòng)平攤成一張平板.桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度.先就該折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程、設(shè)計(jì)加工參數(shù)等方面建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行討論，考慮其最優(yōu)化的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，最后旨在給出一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件的數(shù)學(xué)模型，盡可能滿(mǎn)足客戶(hù)任意設(shè)定的要求而設(shè)計(jì)出折疊桌.

2圓形平板折疊桌設(shè)計(jì)模型

1.1　折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程模型

圖1　平板桌示意圖

在折疊過(guò)程中，將圓形桌面看作保持不動(dòng)，桌腿上端點(diǎn)也確定，要描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，只需給出桌腿下端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.本文以圓盤(pán)桌面的下表面圓心為原點(diǎn)，平行于長(zhǎng)方形平板的長(zhǎng)邊為x軸，平行于寬邊為y軸，垂直于板為z軸，建立3維的直角坐標(biāo)系.

對(duì)于第n條桌腿，我們?cè)O(shè)其與x軸的夾角為φn，我們先考察長(zhǎng)方形平板上桌面的及桌腿木條的分布情況.如桌面的俯視圖圖2所示，

圖2　平板桌俯視圖

每根木條頂端到桌面直徑的距離

每根木條的長(zhǎng)度

每根木板長(zhǎng)如表1所示：

表1　每根木條的長(zhǎng)度

在折疊的某一過(guò)程中，每個(gè)桌腿下端點(diǎn)的坐標(biāo)表示可根據(jù)圖3求出.

圖3　平板桌側(cè)視圖

因此第n條桌腿下端點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)的參數(shù)方程為

可以看出，該方程正好表示每條桌腿繞頂端做半徑為桌腿長(zhǎng)的圓周運(yùn)動(dòng)，與實(shí)際情況相符.

將ln和mn的表達(dá)式代入，得到最終的描述“折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程”的參數(shù)方程為

同時(shí)可根據(jù)如圖4所示的幾何關(guān)系，得到

圖4　平板桌側(cè)視圖

最后得到里面每根木條與地面夾角φn和最外側(cè)木條與地面夾角φ1的關(guān)系

代入上述參數(shù)方程即可得僅含參數(shù)最外側(cè)木條與地面夾角φ1與桌腿條數(shù)n的參數(shù)方程，即為最終的參數(shù)方程.(由于最終方程若將所有變量代入十分復(fù)雜，且無(wú)法清晰的展示各變量之間的關(guān)系，故沒(méi)有展示出代入后的最終結(jié)果.)

具體動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖：

圖5　動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖

2.2　木條開(kāi)槽長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)描述

在折疊過(guò)程中，木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度是很重要的設(shè)計(jì)加工參數(shù).平板時(shí)鋼筋所在的位置與折疊后鋼筋所在位置的差值即為木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度，通過(guò)每根木條折疊前與折疊后的幾何關(guān)系(如圖6所示)即可求出.

圖6　平板桌側(cè)視圖

該圖是最外側(cè)木條轉(zhuǎn)動(dòng)φ1角度時(shí)的平面圖，此時(shí)，第n根木條轉(zhuǎn)動(dòng)了φn角度，從圖中很容易看出開(kāi)槽長(zhǎng)度

其中l(wèi)與圖2的q的長(zhǎng)度相同，故

表2　每根木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度

2.3　桌腳邊緣線(xiàn)的數(shù)學(xué)描述

首先，可以寫(xiě)出桌面邊緣線(xiàn)關(guān)于y的參數(shù)方程

由于將木條無(wú)限細(xì)化，可暫時(shí)忽略木板的厚度以及m1的大小，且鋼筋位于最外側(cè)木條的中心位置，因此可以獲得鋼筋最外側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)方程如下

其中φn表示第n根木條與水平面的夾角.

桌子穩(wěn)定放置在地面時(shí)，由于鋼筋和地面平行，因此有

得

另外桌腳邊緣線(xiàn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足

(1)

又由于l1和a之間存在如下關(guān)系

分別將l1，φn帶入(1)，由此可得到“桌角邊緣線(xiàn)”關(guān)于y的參數(shù)方程：

將n=1,…,10的情況分別算出10根木條的下端點(diǎn)的位置，描點(diǎn)連線(xiàn)得到桌腳邊緣線(xiàn)的圖像，如圖7所示.

圖7　桌面邊緣線(xiàn)

3最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)

當(dāng)只給出折疊桌的高度和圓形桌面的直徑來(lái)設(shè)計(jì)折疊桌，且使設(shè)計(jì)“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”.我們定義“穩(wěn)固性好”為當(dāng)桌面邊緣放置重物時(shí)，桌面不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)，并且如果水平推拉桌子，桌子仍不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)或平移；定義“加工方便”為桌腿木條寬d越大(即個(gè)數(shù)越少、切割的次數(shù)越少)越方便；定義“用材最少”為木板本身的體積和開(kāi)槽的總體積都盡可能小，則用材最少(考慮開(kāi)槽的總體積是因?yàn)殚_(kāi)槽的總體積表示浪費(fèi)的木材，浪費(fèi)的木材越多，用材越多).

此時(shí)桌子的設(shè)計(jì)與長(zhǎng)方形平板材料(平板密度ρ，地面的摩擦因素μ及平板尺寸a×b×c)、折疊桌(桌腿條數(shù)N，鋼筋位置p(鋼筋距離最外側(cè)木條頂端的距離)及開(kāi)槽長(zhǎng)度xn)這些設(shè)計(jì)加工參數(shù)相關(guān).仍考慮平板為木板的情況，通常情況下，木板的密度ρ=0.6g/cm3，木板與地面的摩擦因素μ=0.4.

在考察穩(wěn)固性、加工及用材之前，要使桌子能夠設(shè)計(jì)出來(lái)，參數(shù)之間應(yīng)首先滿(mǎn)足一些限制條件.

(i) 鋼筋的位置必定達(dá)到最短的桌腿木條頂端，否則不是所有的木條上都有鋼筋，桌子會(huì)散架.如圖8所示，即

p>mN-m1.

圖8　平板桌側(cè)視圖

(ii) 折疊過(guò)程中鋼筋一定不能超過(guò)木條的最低端.如圖8所示，即

3.1　考察穩(wěn)固性

根據(jù)定義分2種情況對(duì)桌子進(jìn)行受力分析.一是在桌子邊緣放置重物，使桌子不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn).由于圓形桌面上與木條相切的邊無(wú)論怎樣放置重物都不會(huì)造成桌子的翻轉(zhuǎn)，故只考慮重物放置在桌面與x軸相交的最邊緣點(diǎn)處.如桌子xOz平面截圖圖9所示：

圖9　平板桌側(cè)視圖

翻轉(zhuǎn)的情況只會(huì)發(fā)生在圓形桌面的半徑超出支點(diǎn)，即r>d2的情況下.超出時(shí)，只有當(dāng)重物放置的力F1小于重力mg對(duì)支點(diǎn)的力時(shí)，桌子才不會(huì)翻轉(zhuǎn)，才穩(wěn)固；在臨界條件下，

F1d1=mgd2，

d1=r-l1cosφ1-m1d2=l1cosφ1+m1.

故重物放置的力F1的參數(shù)方程為

另一種情況是用水平的力去推桌子，當(dāng)水平推力F2小于重力mg對(duì)支點(diǎn)的力，同時(shí)水平推力F2小于最大靜摩擦力μmg時(shí)，桌子才既不會(huì)平移也不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)，所以F2要小于重力mg對(duì)支點(diǎn)的力和最大靜摩擦力μmg的最小值，才穩(wěn)固性好.臨界條件下，

F2h=mgd2，F(xiàn)2=μmg，h=l1sinφ1.

故水平推力F2的參數(shù)方程為

3.2　考察加工方便性

桌腿木條的寬度表達(dá)式為

3.3　考察用材多少

因?yàn)殚L(zhǎng)方形平板是規(guī)則的長(zhǎng)方體，所以長(zhǎng)方形平板的總體積

V=2(l1+m1)·c·2r,

(2)

代入(2)得

開(kāi)槽的總長(zhǎng)度

桌腿裁切后，桌面呈鋸齒狀而非純圓形，為了使最終桌面的形狀最大程度上近似于所要求設(shè)計(jì)的形狀，故考察要求設(shè)計(jì)的圓形桌面的面積與裁切后鋸齒狀桌面的面積之差(裁切后鋸齒狀桌面的面積=整個(gè)長(zhǎng)方形木板的面積減去總的裁切的桌腿木條的面積)

所以根據(jù)定義，要使穩(wěn)固性好，重物放置的力F1和水平推力F2要越小越好.要做工方便，桌腿木條的寬度d要大(即條數(shù)、切割的次數(shù)少)；要使用材最少，長(zhǎng)方形平板的總體積V和開(kāi)槽的總長(zhǎng)度K要越小越好.圓形桌面的面積與裁切后桌面的面積之差S越小，越符合設(shè)計(jì)需求.所以要得出使折疊桌“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，即相當(dāng)于求解一個(gè)有約束條件的非線(xiàn)性的多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題[1-3]，此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)為最大邊界壓力F1的負(fù)值、水平推力F2的負(fù)值、桌腿木條個(gè)數(shù)N、長(zhǎng)方形平板總體積V、開(kāi)槽總長(zhǎng)度K和圓形桌面的面積與裁切后桌面的面積之差S這6個(gè)參數(shù)方程，且都求取其最小值.

將目標(biāo)函數(shù)的6個(gè)方程，看成6個(gè)元素，共同構(gòu)成一個(gè)6維的向量.因?yàn)?個(gè)函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，所以在選取領(lǐng)域解時(shí)，讓其在規(guī)定范圍內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)作為該已知點(diǎn)的領(lǐng)域解.判斷是否為最優(yōu)解時(shí)，只有6維向量的每一個(gè)元素(即每一個(gè)目標(biāo)函數(shù))均小于當(dāng)前解，選取的領(lǐng)域解才為新的最優(yōu)解，可跳出.這屬于“多目標(biāo)模擬退火[4]”.同時(shí)本文采用SMOSA算法[5]決定跳出局部最優(yōu)解的概率，則接受新解的概率為

本文采用模擬退火算法[6-7]求解設(shè)計(jì)模型的最優(yōu)方案，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)為動(dòng)態(tài)過(guò)程示意如圖10：

表3　最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)

表4　開(kāi)槽長(zhǎng)度

圖10　動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖

4創(chuàng)意平板折疊桌最優(yōu)設(shè)計(jì)模型

首先建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)客戶(hù)給出桌面邊緣線(xiàn)的形狀，用一個(gè)參數(shù)方程表示這個(gè)平面上的曲線(xiàn)

將切割方向旋轉(zhuǎn)至與x軸平行的位置，桌面位于xOy平面，因此可以通過(guò)折疊桌的位置，用折疊桌的形狀參數(shù)和位置參數(shù)來(lái)表示桌面邊緣線(xiàn)上各點(diǎn)的坐標(biāo)，即

通過(guò)消參，可以得到一個(gè)含有變量t,n,d的方程，記作

H(t,n,d)=0.

(3)

其中t是桌面邊緣線(xiàn)參數(shù)方程參變量，n表示第幾個(gè)木條，d表示每個(gè)木條的寬度.

接著根據(jù)客戶(hù)給出桌腳邊緣線(xiàn)的形狀，表示出其對(duì)應(yīng)的方程.另外在同一y值下，桌面邊緣線(xiàn)和桌腳邊緣線(xiàn)上點(diǎn)的連線(xiàn)即為該處的木條.根據(jù)桌子在坐標(biāo)軸的位置可以得到：

其中t是桌面邊緣線(xiàn)參數(shù)方程參變量，n表示第幾個(gè)木條，d表示每個(gè)木條的寬度，其中φn表示第n根木條與水平面的夾角，ln表示第n根木條的長(zhǎng)度，(xn,yn,zn)表示桌腳邊緣線(xiàn)的坐標(biāo).再將坐標(biāo)帶入客戶(hù)給出的桌腳邊緣線(xiàn)的方程，記作

(4)

通過(guò)最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的分析有

其中φ1表示第1根木條與水平面的夾角.不妨記作

sinφn=G(φ1,l1,x0n,x01).

通過(guò)最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的分析有

不妨記作

l1=R(h,c,φ1).

將l1帶入sinφn可得

φn=G(φ1,l1,x0n,x01).

通過(guò)最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的分析有

l=l1+x01(t)=ln+x0n(t)=R(h,c,φ1)+x01(t).

因此

ln=R(h,c,φ1)+x01(t)-x0n(t).

將φn和ln代入(4)有

(5)

再將(5)和(3)聯(lián)立消去參變量n得到方程記作

該式中h為客戶(hù)設(shè)定的桌面高度，因此可以得到t,d,h,c,φ1的限制條件.

接下來(lái)仍用模擬退火[6-7]的方法，運(yùn)用最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)中的六個(gè)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)方式來(lái)選取最優(yōu)解，其中h由顧客提供，所以目標(biāo)函數(shù)[5]如下：

約束條件為

表5　每根木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度

若桌面為三角形，平板尺寸為160cm×50cm×3cm，鋼筋位置p=60cm.

表6　每根木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度

其動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖為

圖11　六邊形和三角形平板桌動(dòng)態(tài)圖

5模型總結(jié)及改進(jìn)

本文先考慮了桌高、平板尺寸和形狀、桌面尺寸和形狀、木條寬度及鋼筋位置都確定的情況.通過(guò)分析，建立了初等函數(shù)模型，得到折疊桌桌面的參數(shù)方程和木條頂點(diǎn)坐標(biāo).通過(guò)描述木條下端點(diǎn)的變化軌跡，給出折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.在此基礎(chǔ)上分析了平板折疊前、后的幾何關(guān)系，得到木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度.最后將木條細(xì)化，通過(guò)每根木條的下端點(diǎn)坐標(biāo)，得到桌腳邊緣線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.

當(dāng)只給定桌高和桌面直徑時(shí)，根據(jù)設(shè)計(jì)上“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”的要求，得出最大邊界壓力、最大水平推力、木條寬度、平板體積、開(kāi)槽總長(zhǎng)度、預(yù)想面積與實(shí)際面積之差的6個(gè)目標(biāo)函數(shù).本文采取了基于多目標(biāo)函數(shù)的“模擬退火”算法，通過(guò)SMOSA算法決定跳出局部最優(yōu)解的概率，從而求取出使該帶有約束條件的非線(xiàn)性多目標(biāo)函數(shù)規(guī)劃問(wèn)題達(dá)到最優(yōu)值的設(shè)計(jì)加工參數(shù).

對(duì)于客戶(hù)任意給定的創(chuàng)意折疊桌，我們可通過(guò)顧客給出的桌面和桌腳邊緣線(xiàn)的形狀得到它們的曲線(xiàn)方程，用折疊桌的形狀參數(shù)和位置參數(shù)來(lái)表示桌面邊緣線(xiàn)上各點(diǎn)的坐標(biāo).，進(jìn)而得到桌腳邊緣線(xiàn)的參數(shù)方程，再將其轉(zhuǎn)化為用折疊桌的形狀參數(shù)和位置參數(shù)表示的曲線(xiàn)方程.將有關(guān)折疊桌形狀參數(shù)和位置參數(shù)的桌面、桌腳邊緣線(xiàn)的參數(shù)方程聯(lián)立，得到折疊桌加工參數(shù)的限制條件.最后在限定條件下運(yùn)用模擬退火算法得到最優(yōu)解.

對(duì)于折疊桌最優(yōu)設(shè)計(jì)的確定，可請(qǐng)客戶(hù)明確給出考察“穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少”的重要性排序，我們可根據(jù)重要性給出權(quán)重，采取給各個(gè)目標(biāo)函數(shù)賦權(quán)的方法，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，而不是如本文所述，在模擬退火中，6維元素的初始溫度和下降系數(shù)都相同，這樣可使折疊桌的設(shè)計(jì)更加符合客戶(hù)的需求.

注本文獲得2014年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國(guó)一等獎(jiǎng).指導(dǎo)教師：北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院王穎喆

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A Study on Optimal Design of Flat Folding Table

ZHANGXue-lei1，WANGJia-ying1，WULei2

(1. Beijing Normal University, School of Methematical Science, Beijing 100875, China;

2. Beijing Normal University, School of Information Science and Technology, Beijing 100875, China)

Abstract:There is a creative flat folding table.We build an elementary function model to give the dynamic change process of the table and functional expressions of the length of slots and the edge lines of legs of the desk.According to the stability,the difficulty of process and the quantity of material,we build a multi-objectives functional optimization model,and seek optimal design with simulated annealing algorithm based on multi-objectives function.At last,an elementary objective function model of the flat folding table is given.And then we design two new creative flat folding table by the model.

Key words:flat folding table; dynamic change process; the parameters of design; optimization; nonlinearmulti-objectives programming with constraints; simulated annealing

[中圖分類(lèi)號(hào)]O224

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]B

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0023-10

[收稿日期]2015-06-16