唐玲艷，　李建平

(國防科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系，湖南長沙410072)

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國內(nèi)外典型計(jì)算方法教材的對比分析

唐玲艷，李建平

(國防科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系，湖南長沙410072)

[摘要]計(jì)算方法是理工科本科生十分重要的一門專業(yè)課程，其教材建設(shè)受到普遍關(guān)注.本文調(diào)研了國內(nèi)計(jì)算方法課程教材的發(fā)展和建設(shè)現(xiàn)狀，并以兩本國外經(jīng)典計(jì)算方法教材作為比較對象，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)理念和配套資源建設(shè)等方面分析國外教材的成功經(jīng)驗(yàn)，對自編教材的建設(shè)提供了指導(dǎo)意見.

[關(guān)鍵詞]教材； 計(jì)算方法； 對比分析

1引言

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的基本載體，是課堂教學(xué)的主要依據(jù).在高等理工科院校專業(yè)課教學(xué)中，一部好的教材不僅可使學(xué)生了解專業(yè)知識及與本專業(yè)相關(guān)的領(lǐng)域，為學(xué)習(xí)其它專業(yè)課程打下基礎(chǔ)，更重要的是讓學(xué)生富有想象力地到達(dá)學(xué)科前沿，在思想上對本專業(yè)產(chǎn)生興趣.概括來說，優(yōu)秀專業(yè)課教材應(yīng)當(dāng)具備科學(xué)性、先進(jìn)性、新穎性、實(shí)用性和實(shí)踐性.

改革開放以來，專業(yè)課教材建設(shè)成果豐碩.各高校除開發(fā)自己的專業(yè)課教材之外，還翻譯引進(jìn)了大量國外優(yōu)秀教材，有些學(xué)校甚至直接使用外文原版教材.這些國外優(yōu)秀教材大多由該學(xué)術(shù)領(lǐng)域中最著名或享有較高聲望的教授編寫，經(jīng)過多次再版和上百所大學(xué)長期地使用.它們注意培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和創(chuàng)造力，且視野開闊，資料豐富，論述精辟，語言簡練，通俗易懂，具有主動性、啟發(fā)性和可操作性.然而從教學(xué)實(shí)踐來看，雖然直接引進(jìn)國外優(yōu)秀教材對專業(yè)課教學(xué)起到了一定的促進(jìn)作用，但也存在著嚴(yán)重的水土不服現(xiàn)象.

針對上述情況，本文以計(jì)算方法課程教材建設(shè)為例，開展國內(nèi)外典型專業(yè)課教材的比較研究，一方面調(diào)研國內(nèi)計(jì)算方法課程教材的發(fā)展和建設(shè)現(xiàn)狀，另一方面與國外經(jīng)典教材進(jìn)行比較，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)理念和配套資源建設(shè)等方面分析國外教材的成功經(jīng)驗(yàn)，為自編教材的建設(shè)提供指導(dǎo)意見.

2國內(nèi)計(jì)算方法教材的發(fā)展

計(jì)算方法(也稱數(shù)值分析)介紹借助計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的理論與方法，內(nèi)容包括插值法、多項(xiàng)式擬合、線性方程組的直接法、線性方程組的迭代法、非線性方程求根、數(shù)值微分與數(shù)值積分、特征值與特征向量的計(jì)算以及常微分方程數(shù)值解等.它不僅是綜合性大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門主要專業(yè)基礎(chǔ)課程，也是很多工科專業(yè)的專業(yè)選修課[1].

我國的計(jì)算方法專業(yè)課是伴隨著計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)同步發(fā)展起來的.二十世紀(jì)中葉，電子計(jì)算機(jī)在國內(nèi)開始應(yīng)用，一些著名大學(xué)相繼創(chuàng)辦計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)，并開設(shè)了計(jì)算方法課程.1959年，北京大學(xué)、南京大學(xué)、吉林大學(xué)“計(jì)算方法”編寫組編寫了我國第一本計(jì)算數(shù)學(xué)教材《計(jì)算方法》，開啟了我國計(jì)算數(shù)學(xué)教學(xué)的篇章.1977年高考恢復(fù)后，為了適應(yīng)新的形勢，馮康院士、何旭初教授等老一輩計(jì)算數(shù)學(xué)家出版了《數(shù)值計(jì)算方法》(馮康等，1978)、《計(jì)算數(shù)學(xué)簡明教程》(何旭初等，1980)等一批優(yōu)秀教材.進(jìn)入二十一世紀(jì)，國內(nèi)高校紛紛開發(fā)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法類教材，展示了我國計(jì)算數(shù)學(xué)教學(xué)和研究的一片新氣象，其中較有代表性的教材包括：

2.1　《數(shù)值分析》，李慶揚(yáng)，王能超，易大義，清華大學(xué)出版社出版[2]

這是早期計(jì)算方法課程的一本經(jīng)典教材，闡述嚴(yán)謹(jǐn)，脈絡(luò)分明.截至2008年，該書已再版五次，被列入普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材，主要作為理科數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生及其他理工科研究生“數(shù)值分析”課程的教材.在具體內(nèi)容的處理方面，加強(qiáng)了算法基本思想的分析和使用的說明；評注中增加了歷史發(fā)展及關(guān)于數(shù)學(xué)軟件的說明；計(jì)算實(shí)習(xí)題中加大了的題量；精簡了一些實(shí)用較少的算法及一些較繁雜的推導(dǎo)和證明.

2.2　《數(shù)值計(jì)算方法》，湘潭大學(xué)黃云清主編，科學(xué)出版社2009年出版[3]

該書為科學(xué)計(jì)算及其軟件教學(xué)叢書、普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材.湘潭大學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法課程是國家精品課程，該課程早期使用的教材是傅凱新、黃云清、舒適主編，湖南科技出版社2002年出版的《數(shù)值計(jì)算方法》一書.新教材繼承了原教材的優(yōu)點(diǎn)，并介紹了一些應(yīng)用實(shí)例，內(nèi)容包括：引論、函數(shù)基本逼近(一)——插值逼近、函數(shù)基本逼近(二)——最佳逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、線性代數(shù)方程組求解、矩陣特征值問題的解法、非線性方程的數(shù)值解法、常微分方程數(shù)值解法、Monte Carlo方法簡介、最優(yōu)化方法、多重網(wǎng)格法.

2.3　《計(jì)算方法》，華中科技大學(xué)張誠堅(jiān)主編，高等教育出版社出版[4]

華中科技大學(xué)的計(jì)算方法課程于2010年被評為國家精品課程，教材的發(fā)展也幾經(jīng)變化.早在1990年和1993年，原華中理工大學(xué)出版社曾出版的《工程數(shù)學(xué)(計(jì)算方法)》教材.此后該書改編為《計(jì)算方法》，于1999年9月由高等教育出版社和Springer出版社聯(lián)合出版.書中既有基本理論和方法的論述，又有應(yīng)用和實(shí)驗(yàn)技巧的介紹，特別注重實(shí)用——附有大量的實(shí)習(xí)指南與程序范例(篇幅約占全書的1/3)，從而使算法理論與算法實(shí)現(xiàn)一體化.為適應(yīng)新時(shí)期的教學(xué)要求，2008年張誠堅(jiān)、何南忠又在高等教育出版社出版教材《計(jì)算方法》.

2.4　《數(shù)值計(jì)算方法》，中國科技大學(xué)張韻華，奚梅成，陳效群編，科學(xué)出版社出版[5]

這是我校計(jì)算方法專業(yè)選修課程目前采用的教材，該書比較注重實(shí)用，書中專門用一章內(nèi)容介紹數(shù)學(xué)軟件Mathmatica的使用方法，還給出了一些常用數(shù)值計(jì)算方法的C++代碼.

2.5　《數(shù)值分析及其Matlab實(shí)現(xiàn)(6.X, 7.X)》，大連工業(yè)大學(xué)任玉杰主編，高等教育出版社出版[6]

大連工業(yè)大學(xué)的計(jì)算方法課程教學(xué)以開發(fā)計(jì)算方法Matlab軟件機(jī)械化操作平臺、建設(shè)立體化教材聞名，該校的《(基于多核技術(shù))計(jì)算方法》課程于2008年被評為國家精品課程.《數(shù)值分析及其Matlab實(shí)現(xiàn)(6.X, 7.X)》參考《數(shù)值分析簡明教程》，通過數(shù)值解和精確解的圖形可視化和圖表直觀比較，講解每種數(shù)值算法的優(yōu)劣，填補(bǔ)了國內(nèi)有關(guān)方面的空白.

2.6　《數(shù)值計(jì)算方法》，劉玲，王正盛著，科學(xué)出版社出版[7]

這是《普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材》之一，它比較[6]全面地介紹了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中常用的數(shù)值計(jì)算方法，同時(shí)也對這些方法的計(jì)算效果、穩(wěn)定性、收斂性、適用范圍以及優(yōu)劣性與特點(diǎn)作了簡要的分析.該書將科學(xué)計(jì)算工具軟件——MATLAB與數(shù)值計(jì)算方法有機(jī)地結(jié)合，所有的算法均配有偽程序和MATLAB代碼，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)計(jì)算的能力.

2.7　《計(jì)算方法》，孫文瑜，杜其奎，陳金如，科學(xué)出版社出版2007年出版，2012年再版[8]

該書是中國科學(xué)院規(guī)劃教材，作者在南京大學(xué)、南京師范大學(xué)和國外一些大學(xué)長期從事計(jì)算方法課程教學(xué)，由講稿整理而成本書.全書寫作力求通俗、系統(tǒng)簡明、深入淺出，既強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法的基本概念和理論，更注重算法和實(shí)踐.主要內(nèi)容包括誤差和條件問題，解線性方程組的直接法與迭代法，特征值問題的計(jì)算方法，解非線性方程和方程組的迭代法，插值與逼近，數(shù)值積分與數(shù)值微分，常微分方程數(shù)值解法等8章內(nèi)容.

除此之外，國內(nèi)的計(jì)算方法課程教材還有很多，難以一一列舉.

3國內(nèi)外計(jì)算方法教材比較

本文選擇兩部具有一定代表性的國外計(jì)算方法教材[9]和[10]作為比較對象，從中吸取一些好的經(jīng)驗(yàn)和做法.

(i) 中外計(jì)算方法教材的教學(xué)內(nèi)容大同小異，區(qū)別在于，國外教材介紹了偏微分方程數(shù)值解，而國內(nèi)教材大多只講到常微分方程數(shù)值解.這方面有一些歷史原因，1977年10月在上海召開的教材會議上，計(jì)算方法課程被分解為三部分：數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)和微分方程數(shù)值解進(jìn)行講授.之后，國內(nèi)綜合性大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)經(jīng)過兩次更名，計(jì)算方法課程的內(nèi)容也相應(yīng)地修改為數(shù)值分析(其內(nèi)容包含數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)以及常微分方程數(shù)值解)和偏微分方程數(shù)值解兩個(gè)部分.因此，國內(nèi)的計(jì)算方法教學(xué)通常將偏微分方程數(shù)值解視為計(jì)算方法的后續(xù)課程，并未在本課程中涉及.

(ii) 國外教材選材更加新穎，內(nèi)容覆蓋面稍廣，講解更為細(xì)致.教材[9]總共十二章，相互之間的繼承關(guān)系如圖1所示.雖然在內(nèi)容上與國內(nèi)教材區(qū)別不大，但它的闡述更加細(xì)致深入.該教材的編寫并不僅僅面向一門30或50學(xué)時(shí)的課程，而是面向科學(xué)計(jì)算的一系列課程.教師可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際進(jìn)行刪減，方便學(xué)有余力的學(xué)生開展拓展性閱讀.在前言中，教材[9]這樣寫到：

This book was written for a sequence of courses on the theory and application of numerical approximation techniques……

The book contains sufficient material for at least a full year of study, but we expect many people to use it for only a single-term course. In such a single-term course, students learn to identify the types of problems that require numerical techniques for their solution and see examples of the error propagation that can occur when numerical methods are applied. They accurately approximate the solution of problems that cannot be solved exactly and learn typical techniques for estimating error bounds for the approximations. The remainder of the text then serves as a reference for methods not considered in the course. Either the full-year or single-course treatment is consistent with the philosophy of the text.

圖1　教材[9]內(nèi)容結(jié)構(gòu)

教材[10]選材新穎，全書共分十四章，不僅全面論述了數(shù)值分析的基本方法，還深入淺出地介紹了計(jì)算機(jī)和工程領(lǐng)域使用的一些高級數(shù)值方法，如壓縮、先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差分析、解方程組的迭代法等，具體如圖2所示.除前四章為基礎(chǔ)內(nèi)容之外，教師可以根據(jù)教學(xué)需求選擇三個(gè)不同的專題進(jìn)行講授.

圖2　教材[10]內(nèi)容結(jié)構(gòu)

(iii) 國外教材的應(yīng)用性更強(qiáng)，常采用實(shí)際案例引出新知識，或在章節(jié)末給出相應(yīng)的工程案例.例如，在介紹線性方程組求解時(shí)，國內(nèi)教材大多直接給出一個(gè)三階左右的線性方程組作為例子，對于該數(shù)學(xué)模型的由來，并無過多敘述.教材[9]則這樣引入：

Kirchhoff’s laws of electrical circuits state that both the net flow of current through each junction and the net voltage drop around each closed loop of a circuit are zero. Suppose that a potential of V volts is applied between the points A and G in the circuit and thati1,i2,i3,i4, andi5represent current flow as shown in the diagram. Using G as a reference point, Kirchhoff’s laws imply that the currents satisfy the following system of linear equations:

5i1+ 5i2= V,

i3-i4-i5= 0,

2i4-3i5= 0,

i1-i2-i3= 0,

5i2-7i3-2i4= 0.

圖3　電路結(jié)構(gòu)示意圖

這其實(shí)是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，指導(dǎo)學(xué)生如何將一個(gè)實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法來求解.它既加深了學(xué)生對線性方程組背景的了解，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同樣的章節(jié)，教材[10]選取了更貼近實(shí)際的應(yīng)用案例——The Euler-Bernoulli Beam.這是材料受力彎曲的基本模型，其數(shù)學(xué)表示為一個(gè)高階常微分方程：

EIy′′′′=f(x)

教材詳細(xì)敘述了內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)和邊界條件的離散形式，最終將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)大規(guī)模的五對角線性方程組問題.具體過程對于開拓學(xué)生眼界，培養(yǎng)其創(chuàng)新思維，具有重要意義.

(iv) 國外教材善用簡單、淺顯的語言和圖表敘述新概念，層層鋪墊且形象生動，既體現(xiàn)了知識的本質(zhì)，又易于學(xué)習(xí)者接受.例如，教材[9]在介紹不動點(diǎn)迭代的算法原理和收斂條件時(shí)，采用了下面幾個(gè)例子及函數(shù)圖形：

例1確定函數(shù)g(x)=x2-2的不動點(diǎn).

圖4　函數(shù)g(x)=x2-2的不動點(diǎn)

例2證明函數(shù)g(x)=(x2-1)/3在區(qū)間[-1,1]上有唯一的不動點(diǎn).

圖5　函數(shù)g(x)=(x2-1)/3的不動點(diǎn)

例3證明雖然函數(shù)g(x)=3-x在區(qū)間[0,1]上有唯一的不動點(diǎn)，但是收斂性定理卻無法確定.

這種敘述方式使得定理在讀者眼中不再是干巴巴的符號和公式，而有了具體的形象，理解起來也更容易.

圖6　函數(shù)g(x)=3-x的不動點(diǎn)

(v) 國外教材配套資源豐富，一本教材不僅僅是公式和定理的簡單羅列，而是由課程基本內(nèi)容、習(xí)題、習(xí)題解答、源代碼和工程實(shí)例等組成的有機(jī)整體.本文考察的兩本教材均按節(jié)配置習(xí)題，其中教材[9]配備各類習(xí)題1 141個(gè)，教材[10]配備練習(xí)題515個(gè)，計(jì)算實(shí)習(xí)題377個(gè)，工程案例13個(gè).對于計(jì)算方法課程，編寫程序與上機(jī)實(shí)習(xí)是必不可少的過程，兩本教材都開設(shè)了相應(yīng)的交流網(wǎng)站，便于讀者下載算法源代碼和最新資料.尤其是教材[9]，由于出版時(shí)間較長，配套資料建設(shè)得非常全面，除已出版配套的教輔叢書之外，書中的每個(gè)算法都已被編寫成FORTRAN、Pascal、C、Java、Maple、Mathematica和MATLAB等多種版本的源代碼，讀者可由網(wǎng)站上下載并用于科學(xué)計(jì)算.

4關(guān)于計(jì)算方法教材建設(shè)的思考

教材建設(shè)是學(xué)科建設(shè)、課程建設(shè)的重要組成部分，是提高高等教育教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié).通過對比，我們認(rèn)識到自身的不足，在新的計(jì)算方法教材編寫過程中將會注意以下幾點(diǎn)：

(i) 加強(qiáng)工程案例庫建設(shè).由于國內(nèi)教材編寫延續(xù)了前蘇聯(lián)的習(xí)慣，大都是直接介紹方法，比較注重理論推導(dǎo)，但對實(shí)際應(yīng)用案例介紹較少，難以激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣.因此，案例庫建設(shè)是下一步工作的重點(diǎn).

(ii) 加強(qiáng)源代碼開發(fā)和配套教材網(wǎng)站建設(shè).上機(jī)實(shí)習(xí)對計(jì)算方法課程的重要性毋庸置疑，現(xiàn)在的很多教材也開始給出一些可運(yùn)行的源代碼，但在數(shù)量和質(zhì)量上還遠(yuǎn)不能與國外教材相比，更新不及時(shí)，不利于讀者靈活運(yùn)用.因此，建設(shè)與教材配套的網(wǎng)站，開發(fā)多版本源代碼是十分必要的.

(iii) 加強(qiáng)教輔叢書建設(shè).如習(xí)題集、學(xué)習(xí)指導(dǎo)書或上機(jī)實(shí)習(xí)教材等，為學(xué)生課外學(xué)習(xí)及實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)的開展創(chuàng)造條件.

[參考文獻(xiàn)]

[1]唐玲艷，宋松和. 面向應(yīng)用的計(jì)算方法課程教學(xué)模式研究[J] . 高等教育研究學(xué)報(bào)，2010，10：66-67.

[2]李慶揚(yáng)，王能超，易大義. 數(shù)值分析(第五版)[M] . 北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3]黃云清. 數(shù)值計(jì)算方法[M] . 北京：科學(xué)出版社，2009.

[4]張誠堅(jiān). 何南忠，計(jì)算方法[M] . 北京：高等教育出版社，2008.

[5]張韻華，奚梅成，陳效群. 數(shù)值計(jì)算方法 [M] .2版. 北京：科學(xué)出版社，2014.

[6]任玉杰. 數(shù)值分析及其Matlab實(shí)現(xiàn)(6.X, 7.X)[M] . 北京：高等教育出版社，2007.

[7]劉玲，王正盛. 數(shù)值計(jì)算方法[M] . 北京：科學(xué)出版社出版，2010.

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[9]Richard L. Burden. J. Douglas Faires, Numerical Analysis[M] . 9th Ed, 2010.

[10]Timothy Sauer. Numerical Analysis[M] . Pearson Education Asia Ltd., 2012.

Comparison of Typical Computational Methods

Textbooks at Home and Abroad

TANGLing-yan，LIJian-ping

(Department of Mathematics and System Science, Science School, National University of

Defence Technology, Changsha 410072, China)

Abstract:Computational methods is an important specialized course to science and engineering undergraduate students. The construction of its textbooks has drawn wide attention. This paper is written for the comparison of computational methods textbooks at home and abroad. Firstly, the history and construction status of the textbooks at home is investigated. Then, we use two classical foreign textbooks as a comparison object and analysis of their successful experience from the aspects of teaching content, teaching ideas and resources supporting construction. Finally, some guiding suggestion is provided for the building of our own teaching materials.

Key words:textbooks; computational methods; comparison

[中圖分類號]G642.0

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)05-0047-06

[基金項(xiàng)目]國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科教改項(xiàng)目(U2013008，校訓(xùn)[2014]330號重點(diǎn)立項(xiàng)課題)； 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)研究生數(shù)學(xué)公共課一流課程體系建設(shè)項(xiàng)目

[收稿日期]2015-07-17