張　淼，　于　瀾

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院， 吉林 長春　130012)

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對稱非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)動力響應(yīng)精確解算法比較

張淼，于瀾

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院， 吉林 長春130012)

摘要：分別采用頻響函數(shù)法和復(fù)頻率響應(yīng)法對同一個數(shù)值算例進行了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、使用條件和范圍以及誤差來源分析，闡述了兩種算法在工程執(zhí)行過程中的特點及效率。

關(guān)鍵詞：非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)； 動力響應(yīng)； 頻響函數(shù)矩陣； 標號現(xiàn)象

0引言

振型迭加法是動力分析中一種成熟且得到廣泛應(yīng)用的方法，尤其是對那些振型關(guān)于阻尼矩陣具有正交性的系統(tǒng)十分有效，這種系統(tǒng)稱為經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，而當振型迭加法推廣至非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)時，其計算響應(yīng)的過程相當復(fù)雜[1]。但如果將在N維空間中描述的非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)轉(zhuǎn)入2N維狀態(tài)空間中描述，利用復(fù)模態(tài)構(gòu)造狀態(tài)向量，使用狀態(tài)向量對角化狀態(tài)矩陣來實現(xiàn)狀態(tài)方程的解耦[2]，再把得到的響應(yīng)解返至N維空間中，求得用復(fù)模態(tài)參數(shù)表達的非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)解(解析解)的算法，一般稱為復(fù)模態(tài)法或復(fù)頻率響應(yīng)法[3]。當然這種算法也可用于求解經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，但需使用實模態(tài)參數(shù)表達[4]。近年來，又有文獻[5]提出了基于頻響函數(shù)計算經(jīng)典和非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)精確解的新方法，與振型迭加法只能求解經(jīng)典阻尼系統(tǒng)、復(fù)頻率響應(yīng)法用實模態(tài)參數(shù)求解經(jīng)典阻尼系統(tǒng)而用復(fù)模態(tài)參數(shù)求解非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)不同的是，這種新方法無論求解哪種阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)均使用的是實模態(tài)參數(shù)。

文中針對非經(jīng)典阻尼動力系統(tǒng)，應(yīng)用目前文獻中已經(jīng)出現(xiàn)的求解振動系統(tǒng)響應(yīng)的解析解的兩種算法進行詳細分析和算例比較，來說明它們在編程實現(xiàn)過程中的使用條件、使用范圍、誤差來源和計算效率等，并指出利用模態(tài)參數(shù)求解響應(yīng)的過程中可能出現(xiàn)的標號現(xiàn)象、重頻現(xiàn)象及規(guī)范化常數(shù)的異?，F(xiàn)象等。

1實模態(tài)參數(shù)與復(fù)模態(tài)參數(shù)

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動方程為

(1)

相應(yīng)地其強迫振動方程為

(2)

式中:M∈RN×N----對稱系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣;

C∈RN×N----對稱系統(tǒng)的阻尼矩陣;

K∈RN×N----對稱系統(tǒng)的剛度矩陣。

結(jié)構(gòu)有限元分析時，作拉普拉斯變換x(t)=uewt=uejωt代入式(1)可得

(w2Mu+wCu+Ku)ewt=0

設(shè)每個實模態(tài)的正則化系數(shù)為ai，即

?i=1,2,…,N

記aiξi=vi，稱為無阻尼正則固有振型，簡稱為振型，則V=[v1,v2，…,vN]為振型矩陣，那么此時模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度矩陣分別為

(3)

VTKV=diag(k1,k2，…,kn)=

(4)

對經(jīng)典阻尼系統(tǒng)有

(5)

即模態(tài)阻尼矩陣為對角陣，其中阻尼比為

r=1,2,…,N

上面式(3)和式(4)為無阻尼正交條件，應(yīng)用時有兩個問題要注意，一個是要注意標號現(xiàn)象的出現(xiàn)，例如按式(3)所示，應(yīng)該有

i≠j;i,j=1,2,…,N

但很多應(yīng)用中，會出現(xiàn)例如下式

而

的現(xiàn)象發(fā)生，稱為標號現(xiàn)象[6]。一旦發(fā)現(xiàn)標號現(xiàn)象，要注意調(diào)整振型矩陣的標號次序，使式(3)成立。另一個問題是，一般情況下只要是單頻結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，即系統(tǒng)的固有頻率全不相同，那么式(3)就自動滿足，但當系統(tǒng)雖為重頻系統(tǒng)，也存在式(3)時，那么此重頻系統(tǒng)的響應(yīng)求解也可按文中提及的算法來實現(xiàn)，相當于擴大了文中算法的使用范圍。

考慮阻尼時的系統(tǒng)極點及復(fù)模態(tài)對(λi,ui)(i=1,2,…,2N)滿足方程

對于N自由度振動系統(tǒng)，特征方程det[λ2M+λC+K]=0有2N個呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征值λ1,λ2,…,λ2N(其中λi+1為λi的共軛(i=1,3,…,2N-1))，稱為系統(tǒng)的極點。這些頻率對應(yīng)著一組呈復(fù)共軛對出現(xiàn)特征向量ui∈CN稱為系統(tǒng)(1)與λi相對應(yīng)的第i個模態(tài)向量。將u1,u2,…,u2N(其中ui+1為ui的共軛(i=1,3,…,2N-1))稱為復(fù)模態(tài)。它們的正交條件的形式有很多[7]，文中采用如下形式

對于N自由度振動系統(tǒng)，特征方程det[λ2M+λC+K]=0有2N個呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征值λ1,λ2,…,λ2N(其中λi+1為λi的共軛(i=1,3,…,2N-1))，稱為系統(tǒng)的極點。這些頻率對應(yīng)著一組呈復(fù)共軛對出現(xiàn)特征向量ui∈CN稱為系統(tǒng)(1)與λi相對應(yīng)的第i個模態(tài)向量。將u1,u2,…,u2N(其中ui+1為ui的共軛(i=1,3,…,2N-1))稱為復(fù)模態(tài)。它們的正交條件的形式有很多[7]，文中采用如下形式

(6)

(7)

其中狀態(tài)向量矩陣為Φ=[φ1,φ2,…,φ2N]，狀態(tài)向量為φi=[uiλiui]T(i=1,2,…,2N)，且

需要說明的是，復(fù)模態(tài)參數(shù)的標號現(xiàn)象可能更為常見，也如前文所述的方法加以處理，即可實現(xiàn)正交式(6)和式(7)，使標號現(xiàn)象并不致妨礙算法的應(yīng)用。

2非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)動力響應(yīng)的精確算法比較

當式(5)不能成立，即模態(tài)阻尼矩陣VTCV為非對角矩陣，那么系統(tǒng)為非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)。當然，對非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)不能再使用振型迭加法，目前文獻[5]中提出了基于頻響函數(shù)求解非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)的方法。

2.1　基于頻響函數(shù)法

對振動系統(tǒng)式(2)，取激勵為簡諧激勵，f=[F1,F2,…,FN]Tsinωt，則

(8)

其中

(9)

(10)

根據(jù)矩陣代數(shù)理論，矩陣函數(shù)

(11)

2.2　復(fù)頻率響應(yīng)

對振動系統(tǒng)式(2)，取激勵為f=Fejωt，F(xiàn)=(F1,F2,…,FN)T，其復(fù)頻率響應(yīng)為

(12)

其復(fù)數(shù)解Xejωt中取虛部即為對應(yīng)于簡諧激勵f=Fsinωt的響應(yīng)解，這里λi,ui為復(fù)模態(tài)參數(shù)，u1,u2,…,uN為滿足正交性條件式(6)的規(guī)范化復(fù)模態(tài)。

3數(shù)值算例

文中考慮文獻[8]中給出的一個5自由度的質(zhì)量彈性阻尼系統(tǒng),此時

圖1　響應(yīng)的擬合曲線

接下來以第1自由度為例，用復(fù)頻率響應(yīng)算法(式(12))來計算響應(yīng)，并與基于頻響函數(shù)計算的響應(yīng)值進行比較，如圖2所示。

圖2　兩種算法計算的第1自由度響應(yīng)值的對比圖

基于頻響函數(shù)求解非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)方法與N-mark法同時計算系統(tǒng)響應(yīng)時的比較結(jié)果，請參見文獻[5]。由文中的數(shù)值計算過程及結(jié)果可知：

1)復(fù)頻率響應(yīng)法與基于頻響函數(shù)法在理論上都是計算非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的精確算法。

2)但在用復(fù)頻率響應(yīng)公式編程計算時，因為使用的是復(fù)模態(tài)參數(shù)，所以出現(xiàn)的標號現(xiàn)象較為嚴重，且當系統(tǒng)自由度較多時，不僅在調(diào)整標號來實現(xiàn)正交條件式(6)時遇到很大困難，而且規(guī)范化常數(shù)為復(fù)數(shù)，規(guī)范化后ΦTAΦ為近似單位陣，效果并不理想，導(dǎo)致復(fù)頻率響應(yīng)計算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。而基于頻響函數(shù)法計算響應(yīng)的算法在實現(xiàn)過程中，由于使用的是實模態(tài)參數(shù)，即使出現(xiàn)標號現(xiàn)象，調(diào)整標號的工作量也縮小了一倍，而且規(guī)范化常數(shù)為實數(shù)，規(guī)范化效果十分精確，體現(xiàn)其良好的工程應(yīng)用性和計算效率。

4結(jié)語

在實際應(yīng)用中，振型迭加法和相關(guān)的里茲向量法，以及直接積分法等各種方法可以組合使用來求解非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，但多數(shù)情況下只能得到數(shù)值解。事實上為了更好地理解結(jié)構(gòu)行為，用于諧波分析和響應(yīng)譜分析，或許無論如何都要計算固有頻率和振型，這時由文中的分析可知，基于頻響函數(shù)的計算響應(yīng)算法就會體現(xiàn)出良好的操作適應(yīng)性，尤其可貴的是它得到的是響應(yīng)的精確解。

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Algorithm comparison for the solution of

symmetric non-classical damped system

ZHANG Miao,YU Lan

(School of Science, Changchun Institute of Technology, Changchun 130012， China)

Abstract：Both the frequency response matrix and complex frequency response method are applied to the same problem, for analyzing the transient response, applied condition & range and errors. The features and efficiency of the two algorithms are discussed.

Key words：non-classically damped system; dynamic response; frequency response matrix; label phenomenon.

作者簡介：張淼(1972-)，男，漢族，吉林長春人，長春工程學(xué)院副教授，博士,主要從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化及振動控制方向研究,E-mail:zm7209@163.com.

基金項目：吉林省教育廳"十二五"科學(xué)技術(shù)研究項目(2014336)； 2014年國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項目(201411437028)

收稿日期：2014-06-21

中圖分類號：O 321; TB 122

文獻標志碼：A

文章編號：1674-1374(2015)01-0107-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.1.22