王海舟
(硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 昆山 215332)
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定積分換元與積分不等式應(yīng)用研究
王海舟
(硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 昆山215332)
摘要:針對(duì)工程設(shè)計(jì)中的定積分換元和積分不定式的具體應(yīng)用相關(guān)問題進(jìn)行研究。通過具體運(yùn)算,整理出一套函數(shù)積分近似計(jì)算公式,為計(jì)算機(jī)編程提供了重要的數(shù)學(xué)模型。
關(guān)鍵詞:定積分; 積分不等式; 工程設(shè)計(jì)
0引言
對(duì)于現(xiàn)代的工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域,定積分的積分不定式的出現(xiàn),使得其工程設(shè)計(jì)的精度得到了很大提高。對(duì)于以前的那種定積分在計(jì)算上的大部分的計(jì)算難度和一些過程中的復(fù)雜程度。我們做了相應(yīng)的改進(jìn)和提高,減輕了其在計(jì)算上的一定難度,利用數(shù)學(xué)模型使其中一類定積分的計(jì)算過程變得不再那么復(fù)雜,簡(jiǎn)單明了。相對(duì)以前的那種在精度上、計(jì)算要求上都不是很高的一些計(jì)算方法,可以利用計(jì)算器進(jìn)行手工的計(jì)算,還可以在不同情況下,把它們分成相等的部分,來計(jì)算出誤差是多少。而對(duì)于精度要求比較高的過程設(shè)計(jì)計(jì)算來說,首先要做的就是把要進(jìn)行使用的數(shù)學(xué)模型來編程,把其中積分區(qū)間的各個(gè)部分分得細(xì)一點(diǎn)。然后,再通過計(jì)算機(jī)對(duì)其中的數(shù)值來進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。這種方法主要是針對(duì)在計(jì)算機(jī)中因?yàn)楸环e函數(shù)的原函數(shù),不能使用其初等函數(shù)來表示積分中的近似計(jì)算可轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)的精確計(jì)算。
1定積分換元法的方法
定積分的換元法有很多種,其中在高等數(shù)學(xué)教材中主要運(yùn)用以下定理:
定理1設(shè)f(x)連續(xù),x=φ(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且φ′(t)≠0,則∫f(x)dx在[a,b]上存在,且
G(φ-1(x))+C
定理2若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),那么函數(shù)x=φ(t)滿足下列條件:其一是φ(α)=a,φ(β)=b;其二是φ′(t)在[α,β](或[β,α])上有著連續(xù)的導(dǎo)數(shù),而且a≤φ(t)≤b(α≤t≤β)。于是,就有了
這其中定理1證明了只需要等式兩端去對(duì)x求導(dǎo)就行了。定理2也證明了一個(gè)簡(jiǎn)單的問題,那就是從條件中可以看出,在等號(hào)兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)的,再通過微積分的基本公式來進(jìn)行相應(yīng)的證明。
根據(jù)定理1,可以知道其中有一條關(guān)鍵的就是φ′(t)≠0,為什么說它是比較關(guān)鍵的,因?yàn)樵跐M足這個(gè)條件的時(shí)候,其保證了x=φ(t)的單調(diào)性。而這時(shí)函數(shù)x=φ(t)有著反函數(shù),這樣,才能使不定積分的換元法有效的實(shí)施開展。所以,在不定積分換元法的最后要求,對(duì)于代換函數(shù)x=φ(t)需要有其自身的反函數(shù)t=φ-1(x),不過,如果要對(duì)定理的條件進(jìn)行專門研究,也可以用其它條件來代替,如果φ′(t)≠0,只要能夠保證函數(shù)x=φ(t)有自身的反函數(shù)就可以。
在求不定積分時(shí),可以將其看成是一個(gè)一般的微分函數(shù)去計(jì)算,因?yàn)槠浣Y(jié)果都是函數(shù)。實(shí)質(zhì)上沒有什么特別的意義,不過,去求定積分時(shí),因?yàn)樗慕Y(jié)果是數(shù)值,所以dx=φ′(t)dt函數(shù)在實(shí)質(zhì)上就有了一定的意義。其表示的是t軸上對(duì)于t處的一個(gè)增量dt,然后,在經(jīng)過相應(yīng)的變換后,函數(shù)x也就有了一個(gè)增量dx,其在數(shù)值上等于φ′(t)dt。這就是把dt在x=φ(t)上放大后的倍數(shù)變成了|φ′(t)|的形式。
2定積分換元法的研究
先設(shè)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的,以此來證明
那么就需要去證明,先令t=a+b-x,這樣x=a+b-t,這時(shí)dx=-dt,當(dāng)x=a時(shí),t=b,x=b時(shí)t=a。于是可以得到
最后得到[1]
可以利用這樣的一個(gè)公式,得到以下結(jié)論;設(shè)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的,如果λ+μ≠0,那么令
λf(x)+μf(a+b-x)=g(x)
則可以得到
因?yàn)?/p>
λf(x)+μf(a+b-x)=g(x)
所以可以證明
由
得出
又因?yàn)槠涔溅?μ≠0,所以
在這里比較特別的一點(diǎn)就是,如果要令f(x)+f(a+b-x)=g(x)的話,那么
這個(gè)定理的主要意義就是當(dāng)f(x)的定積分不太容易求出時(shí),就可以通過它的組合式g(x)的定積分來相應(yīng)的解決。
3定積分換元的應(yīng)用結(jié)果
因?yàn)?/p>
所以
類似于這樣的題目[3],我們一般都考慮使用連續(xù)的分部積分法來進(jìn)行計(jì)算,讓積分在等式兩邊出現(xiàn),然后,通過方程再將其解答出來,這樣的計(jì)算量是很大的,而你要使用本例子中的方法,那么將會(huì)簡(jiǎn)單的多??梢哉f是一種全新的突破,能夠做到真正的事半功倍。
4積分不等式的主要研究
0
這時(shí),對(duì)于
這個(gè)積分不等式是不成立的。
0
就會(huì)成立,主要因?yàn)槠渲?/p>
所以由上可得
現(xiàn)在由
得出
所以得出函數(shù)積分不等式
u=xsinx
du=(sinx+xcosx)dx
然后就得出
并使之成立。再去證明第一個(gè)積分不等式的右邊,得出了相應(yīng)的積分不等式
由于一些同類的不等式的不等程度和異類的不等程度相比小得多,那么現(xiàn)在就以
所以,最后得出兩個(gè)不定式
再求這個(gè)不等式的定積分,得出
綜上所述,將上面的積分不等式再進(jìn)行整理,從而最終得出積分不等式
并使其成立。
5積分不等式的主要計(jì)算實(shí)例
即
其計(jì)算上的誤差
2.084 20-1.304 689=1.037 31
在積分區(qū)間未等分的情況下,積分的誤差是最大的[4]。所以,現(xiàn)在將其進(jìn)行3等分,使
那么對(duì)應(yīng)的
這樣再代入到上式中,可以得出
即得到
當(dāng)積分被等分成3份的時(shí)候,積分的誤差變小了很多,其誤差是
1.753 371 193-1.534 336 015=0.219 035 178
如果想要得到更加精確的數(shù)值,那么就需要進(jìn)行更加細(xì)致的等分[5]。
6定積分換元和積分不等式在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用
這個(gè)不等式能夠成立,得出第二步
再由第二步和第三步得出
然后同理得出第四步
將第四步和第三步代入到第二步中,并將u記作x,得出第五步
將其整理得到
是成立的。那么,同樣情況下,我們可以由第一步得出第六步
由第三、第四步得出第七步
這樣,就可以同理,由第一步得出第八步
函數(shù),由第五步得出第九步函數(shù)
我們運(yùn)用前面的方法,將第九、第八和第七步一起代入到第六步中,在這里要將u記作x來算。得出了第十步函數(shù)式
使得我們知道
這個(gè)函數(shù)式是成立的。由上面的種種解析,我們知道,當(dāng)積分區(qū)間分布的越細(xì)密,那么,這個(gè)不等式的不相等的可能性越小,等積分的上限x無限接近與積分的下線b時(shí),那么,在這過程中的不同程度上,會(huì)趨向于零[7]。在f(x)=e-x2為偶函數(shù)時(shí),那么,對(duì)于和原點(diǎn)區(qū)間對(duì)稱的定積分,則可以利用其偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化計(jì)算。
7主要探究實(shí)例
在積分中的區(qū)間未分開去算的話,積分的誤差是最大的[5]。我們應(yīng)該將積分分成4個(gè)相同的區(qū)間?,F(xiàn)在是沒有分開的積分u=x2,當(dāng)x=0.6時(shí),u=0.36,當(dāng)x=0.7時(shí),u=0.49,當(dāng)x=0.8時(shí),u=0.64,當(dāng)x=0.9時(shí),u=0.81,當(dāng)x=1時(shí),u也等于1。這樣分別代入到積分不等式中,得出的計(jì)算結(jié)果是
0.048 471 539+0.040 497 119=
0.211 293 009
0.048 635 627+0.040 574 018=
0.212 345 798
0.212 345 798-0.211 293 900 9=0.001 052 798
可以看出,其誤差比計(jì)算誤差還要小。這就是對(duì)于積分區(qū)間在細(xì)分區(qū)間上的好處,如果想要更加的精確,那么就需要把積分區(qū)間分的更加詳細(xì)。這樣就會(huì)達(dá)到越詳細(xì)、越精確的效果。
8結(jié)語
在當(dāng)前工程技術(shù)發(fā)展中,我們?cè)诶每茖W(xué)技術(shù)進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算的同時(shí),也在不斷尋求更好的方法,使得在工程設(shè)計(jì)計(jì)算中的各項(xiàng)工作能夠做到精確度的不斷提升。在運(yùn)用定積分換元和積分不等式,對(duì)工程設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算時(shí),往往會(huì)出現(xiàn)一些計(jì)算上或者是技術(shù)上的差錯(cuò),這些都需要我們?nèi)ミM(jìn)行不斷的論證和探究,在進(jìn)行計(jì)算時(shí),采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算,然后,利用積分不等式以及定積分換元法細(xì)分區(qū)間的方法[7],能夠方便在工程設(shè)計(jì)中出現(xiàn),許多的因?yàn)楸环e函數(shù)不是初等函數(shù)的積分近似計(jì)算轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)上的運(yùn)算。利用這樣的方法,經(jīng)過相關(guān)的研究和運(yùn)算,整理出了一套函數(shù)的積分近似的計(jì)算公式,在為計(jì)算機(jī)編程的工作中,也作出了相當(dāng)大的貢獻(xiàn),為其在編程上提供了兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型。這兩個(gè)模型使計(jì)算機(jī)在編程上更加方便,也大大提升了其工程設(shè)計(jì)的計(jì)算精度。
參考文獻(xiàn):
[1]李平樂,羅正斌,龍育才.工程設(shè)計(jì)計(jì)算新的數(shù)學(xué)模型的探索[J].焦作大學(xué)學(xué)報(bào),2013(1):70-72.
[2]李平樂,李春暉.另一積分不等式在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].焦作大學(xué)學(xué)報(bào),2014(1):80-83.
[3]于正文.定積分線性換元法的教學(xué)研究[J].山東建筑大學(xué)學(xué)報(bào),2012(2):255-258.
[4]李平樂.基于工程設(shè)計(jì)計(jì)算新的積分不等式的研究[J].沈陽工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011(4):382-384.
[5]張銳,毛耀忠,謝建民.淺議定積分的換元法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2014(4):62-64.
[6]韓仲明.定積分的計(jì)算方法與技巧[J].考試周刊, 2011,53:80-81.
[7]高大維,馮世強(qiáng),崔宇.不定積分與定積分第二類換元法的討論[J].高等函授學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011(4):20-22.
[8]楊鏞.不定積分換元法的教學(xué)案例[J].教育教學(xué)論壇,2013(18):244-245.
Application of definite integral element and integral inequality
WANG Hai-zhou
(Silicon Lake College, Kunshan 215332, China)
Abstract:Based on the examples of definite integral element and integral inequality applied in engineering, we put forward an approximate figure of function integral, to offer a set of mathematical model for programming.
Key words:definite integral; integral infinitive; engineering design.
作者簡(jiǎn)介:王海舟(1982-),男,漢族,江蘇海安人,硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師,主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用方向研究,E-mail:40317414@qq.com.
收稿日期:2014-09-23
中圖分類號(hào):O 172.2
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A
文章編號(hào):1674-1374(2015)01-0114-07
DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.1.24