陳勇將　湯文成　干為民　孟浩東

1.常州工學院,常州,213002　　2.東南大學,南京,211189

?

基于蠕滑理論的精密滾珠絲杠副摩擦力研究

陳勇將1湯文成2干為民1孟浩東1

1.常州工學院,常州,2130022.東南大學,南京,211189

摘要：考慮不同相位角處滾珠所受離心力及摩擦力的影響，建立了雙螺母預緊式滾珠絲杠副多自由度動力學模型，該模型不再基于所有滾珠受力相等和運動相同的假設，使用蠕滑力模型來表征滾珠與滾道接觸界面間的摩擦力；利用經(jīng)驗模態(tài)分解(EMD)包絡分析方法進行了滾珠絲杠副振動信號撞擊頻率的提取，與理論計算結(jié)果進行對比，對動力學模型進行了驗證；分析了絲杠轉(zhuǎn)速、軸向載荷、滾道曲率比和導程對滾珠絲杠副摩擦力的影響規(guī)律。

關鍵詞：滾珠絲杠副;動態(tài)特性;摩擦力;經(jīng)驗模態(tài)分解

0引言

滾珠絲杠副因具有低耗能、高精度與高承載等特點，已成為應用最廣泛的定位和傳動的滾動功能部件之一[1-2]。對于精密高速滾珠絲杠副，高速運行下國產(chǎn)滾珠絲杠副的精度保持性差、噪聲大和使用壽命低等問題一直未被有效解決，成為制約國產(chǎn)中高檔數(shù)控機床發(fā)展的瓶頸。究其原因，與高速下滾珠絲杠副動力學特性的理論分析與實驗研究的缺乏不無關系，目前仍缺少能從本質(zhì)上揭示滾珠與滾道接觸界面間滾滑接觸特性且便于建立滾珠絲杠副動力學方程的摩擦力模型。

Wei等[3-4]使用庫侖摩擦力模型表征了滾珠絲杠副中滾珠與滾道間的摩擦力。庫侖模型雖然可以定量地描述滾珠與滾道間摩擦力的大小,但不能考慮滾珠與滾道之間的切向彈性變形對滾珠絲杠副動態(tài)特性的影響。對于固體潤滑或處于貧油潤滑工況的滾珠絲杠副，上述切向彈性變形往往會對滾珠絲杠副的動態(tài)特性產(chǎn)生顯著影響。文獻[5-6]基于經(jīng)驗公式建立的滾珠與滾道間的摩擦力公式也存在同樣的問題。滾珠絲杠副中滾珠與滾道接觸面間具有滾滑接觸特性。Kalker[7-8]的線性模型和簡化理論模型廣泛用于具有滾滑接觸特性兩彈性體間的滾動接觸分析。本文建立的滾珠絲杠副動力學模型中，滾珠與滾道接觸面間的摩擦力基于Kalker簡化理論建立的蠕滑力模型來表征。

1雙螺母預緊式滾珠絲杠副動力學建模

受預緊載荷的作用,在雙螺母預緊力式滾珠絲杠副中滾珠與滾道間存在兩種接觸狀態(tài),如圖1所示。利用滾珠與絲杠滾道間接觸點在法平面(y′z′平面)內(nèi)所處象限，將滾珠與絲杠滾道間接觸狀態(tài)分為“上接觸”和“下接觸”：當滾珠與絲杠滾道間接觸點處于法平面第一象限時，以z′軸正方向為參照，滾珠與絲杠滾道上側(cè)接觸，可簡稱上接觸，具體如圖2所示;當滾珠與絲杠滾道間接觸點處于法平面第四象限時,以z′軸正方向為參照,滾珠與絲杠滾道下側(cè)接觸,可簡稱下接觸,具體如圖3所示。圖1～圖3中oxyz為絕對坐標系,o′x′y′z′為移動坐標系,o″Sy″z″Θ″為局部坐標系,o?ix?iy?iz?i為接觸坐標系[9]。

1.1滾珠與滾道間法向接觸力

當滾珠絲杠副中第j個滾珠與滾道接觸時,可以看作兩個自由曲面彈性體在法向接觸載荷作用下的點接觸問題，滿足赫茲接觸理論[10],法向接觸載荷為

(1)

式中,δj為第j個滾珠與滾道間的法向接觸變形;λj為滾珠與滾道間的法向接觸變形判斷因子,當δj≤0時λj為0,當δj>0時λj為1;kcoe為滾珠與滾道間的接觸載荷變形系數(shù)。

1.2滾珠與滾道接觸間摩擦力

具有滾滑接觸特性的滾珠絲杠副中滾珠與滾道接觸面間的滑動行為,不僅與滾珠和滾道間的剛性運動有關,而且與滾珠和滾道材料的力學特性和摩擦學特性有關。定義ξx?、ξy?、ξz?分別為沿接觸坐標系x?、y?軸的切向蠕滑率(即橫向、縱向蠕滑率)和沿z?軸的自旋率，為了保持與滾動接觸理論中相對速度定義的一致性，規(guī)定滾動體與滾道之間的相對速度為滾動體相對于滾道的速度，令在接觸坐標系3個方向的蠕滑率分別為[8]

(2)

式中,vy?、vx?分別為位于滾道接觸點處的縱向和橫向線速度;vby?、vbx?分別為位于滾珠接觸點處的縱向和橫向線速度;ωbz?為位于滾珠接觸點處的角速度;ωz?為位于滾道接觸點處的角速度;vi為滾珠與滾道間的滾動速度。

已知滾珠與滾道接觸面間的蠕滑率和自旋率,可依據(jù)Kalker線性蠕滑理論,求得第j個滾珠與滾道接觸面間橫向摩擦力Fx?ij和縱向摩擦力Fy?ij的表達式：

(3)

ε=Frij/Fij

式中,f1ij、f2ij、f3ij分別為蠕滑系數(shù);ε為修正系數(shù)；Frij為修正后摩擦力的表達式;Fij為摩擦力分力的合力;fcoe為滾珠與滾道接觸面間的摩擦因數(shù)。

根據(jù)Kalker的簡化理論,可在式(3)的基礎上發(fā)展出計算速度更快且更適用于滾珠絲杠副動力學仿真的蠕滑力模型,可稱為簡化蠕滑力模型。對穩(wěn)態(tài)情況下滾珠與滾道接觸面間的一般性滑動方程做量綱一化處理：

(4)

其中,px?、py?為接觸應力;φx?、φy?為自旋率;nh為量綱一Heathcote滑動項,nh、nx?、ny?的表達式分別為

其中,a為接觸橢圓的長軸,z0、L1、L2的表達式分別為

式中,b為接觸橢圓的短軸;G為滾珠與滾道的合成剪切模量;C1、C2為Kalker系數(shù),其值完全依賴于接觸橢圓長短半軸之比。

1.3滾珠與絲杠滾道的力和力矩平衡方程組

根據(jù)“外圈滾道控制”理論,對于第j個滾珠,只有滾珠與螺母滾道及滾珠與絲杠滾道間接觸角為未知量,故只需列出第j滾珠在移動坐標系y′軸和z′軸上的力平衡方程：

(5)

其中,Fcj為滾珠所受離心力,根據(jù)文獻[3]的研究結(jié)果,穩(wěn)態(tài)情況下滾珠所受離心力方向一直沿y′軸負向;αS為滾珠與絲杠滾道的接觸角;αN為滾珠與螺母滾道的接觸角;CαS、SαS、CαN、SαN分別為cosαS、sinαS、cosαN、sinαN的簡化表達式;λLU為接觸狀態(tài)的判斷系數(shù),當滾珠與絲杠滾道上側(cè)接觸時λLU=-1,當滾珠與絲杠滾道下側(cè)接觸時λLU=1。

一旦得知絲杠滾道在絕對坐標系下各個方向位移值,即ux、uy、uz、φx、φy,便可得到所有滾珠相位角處滾珠與滾道間接觸角的值，由接觸角便可求出所有滾珠的法向接觸力和摩擦力。為了獲得ux、uy、uz、φx、φy的值,還需建立絲杠滾道力平衡方程式：

(6)

式中,Z為滾珠數(shù)；Fr、Fa、MY、MP分別為徑向載荷(沿y軸的力)、軸向載荷(沿z軸的力)、搖擺力矩(繞x軸的力矩)和傾覆力矩(繞y軸的力矩);mS為絲杠質(zhì)量；λd為軸向載荷施加方向的判斷系數(shù),當螺母受到沿z軸正方向軸向載荷作用時λd=1,螺母受到沿z軸負方向軸向載荷作用時λd=-1。

2實驗驗證

至此,由式(3)便可求解出滾珠絲杠副的摩擦力,其計算主要流程如圖4所示。利用已建立的滾珠絲杠副動力學模型及摩擦力模型，編制相應的計算程序，研究工作條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)對雙螺母預緊式滾珠絲杠副摩擦力的影響規(guī)律，分析不同滾珠相位角處接觸角的分布情況隨工作條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)改變而變化的規(guī)律，主要分析各個螺母內(nèi)一圈上的滾珠(一圈滾珠數(shù)為19)隨滾珠相位角(位置角)分布的情況。

利用建立的滾珠絲杠副動力學模型可計算出每個滾珠的公轉(zhuǎn)角速度ωm,它是滾珠絲杠副重要性能參數(shù)之一。已知公轉(zhuǎn)角速度，利用下式可計算出滾珠撞擊返向器頻率的理論值：

fb=Zωm/(2π)

(11)

根據(jù)滾珠絲杠副結(jié)構(gòu)特點和已開展實驗的研究結(jié)果，滾珠絲杠副激勵源主要為滾珠周期性撞擊返向器引起的振動和滾道及滾珠表面波紋度所引起的振動。滾珠周期性撞擊返向器所引起的振動簡稱為滾珠撞擊振動，相應的振動頻率簡稱為滾珠撞擊振動頻率(fb)。滾珠撞擊振動頻率可以從滾珠絲杠副的振動信號中提取出來。比較滾珠撞擊振動頻率的理論計算值與實驗測量值，可以在一定程度上對滾珠絲杠副動力學模型進行驗證。

為了分析雙螺母預緊式滾珠絲杠副動態(tài)特性，搭建了圖5所示的滾珠絲杠副綜合性能測量平臺。該測試平臺對滾珠絲杠副采用了一端止推一端簡支的安裝方式。實驗中將使用采樣頻率高于200 kHz的動態(tài)數(shù)據(jù)采集卡(型號為NI PXI 4496),采集滾珠絲杠副的垂向(沿x軸方向)和軸向振動(沿z軸方向)信號，傳感器的安裝位置如圖6所示,傳感器為壓電式加速度傳感器(型號為PCB/356A32),其靈敏度和頻率范圍分別為100.4 mV/g和0～25 kHz。

測量對象滾珠絲杠副的型號為DKFZD4012，其具體參數(shù)見表1。由測量得到的振動時域圖可知，雖然雙螺母預緊式滾珠絲杠副的時域圖上顯現(xiàn)出較為明顯的周期性撞擊特性，研究結(jié)果也表明[11],其相應的頻譜為滾珠撞擊頻率及其分頻或倍頻，但其相應的頻譜圖中并不能直接觀察到滾珠撞擊振動的頻率(圖7)。這是因為雙螺母預緊式滾珠絲杠副的振動信號往往具有調(diào)制信號特性，被調(diào)制的頻率即滾珠撞擊頻率常常會被抑制，因此，直接對雙螺母預緊式滾珠絲杠副振動的時域信號采用傅里葉變換是很難提取到其準確振動頻率的。

針對雙螺母預緊式滾珠絲杠副振動信號的調(diào)制特性,首先利用經(jīng)驗分解(EMD)的方法將雙螺母預緊式滾珠絲杠副的振動信號分解為有限的本征模態(tài)函數(shù)(IMF)之和,分解出的每一個IMF都是高頻振動信號與低頻振動信號的組合，然后用包絡分析方法對其頻率進行分析。以轉(zhuǎn)速為1000r/min時為例，圖8a和圖9a所示為利用EMD分解出的第一個IMF分量的包絡圖,圖8b和圖9b所示為對相應的包絡圖進行頻譜分析后的結(jié)果，在垂向和軸向的功率譜圖中都可明顯觀察到此轉(zhuǎn)速下的滾珠撞擊頻率，同時還可以觀察到滾珠撞擊頻率的分頻與倍頻。圖10所示為滾珠撞擊頻率的理論計算值與實驗測量值的比較結(jié)果。由比較結(jié)果可知，理論計算值與實驗測量值基本吻合，隨著轉(zhuǎn)速的提高,理論計算值與實驗測量值間的差距越來越小。

3分析與討論

3.1滑動速度和摩擦力的分布特性

圖11～圖16所示為滾珠與滾道接觸面上各點的滑動速度和摩擦力的分布情況。此處只給出最常見的情況，即ξx?、ξy?、ξz?均不為零，k=1，對應不同的縱向蠕滑率ξy?時,接觸面上的滑動速度和摩擦力的分布情況。由圖11～圖16可知,隨著滾動方向的ξy?逐漸增大，滑移區(qū)由接觸面后沿而逐漸向前沿擴展，相應的摩擦力方向與相對滑動速度矢量的方向相反，而其分布卻與滑動速度的滑動區(qū)和黏著區(qū)的分布一致。采用盤塊式摩擦磨損試驗機，從材料學的角度研究滾珠絲杠副的摩擦磨損特性，磨損試驗中出現(xiàn)的隨摩擦里程增加摩擦因數(shù)先減小后增加的結(jié)果，這可以從表面粗糙度對摩擦的影響來考慮。圖17反映了磨損表面粗糙度的變化趨勢，動摩擦因數(shù)隨表面粗糙度的減小先是下降，達到最小值后上升。

3.2滾珠與滾道間摩擦力影響因素分析

圖18～圖23為不同滾珠相位角處滾珠與螺母滾道接觸面上及滾珠與絲杠滾道接觸面上摩擦力隨工作條件改變而變化的情況。通過基于Kalker簡化模型建立的滾珠絲杠副蠕滑力模型來表征滾珠與滾道接觸面上的摩擦力。該方法求解的滾珠與滾道接觸面上摩擦力主要取決于此接觸面上的法向接觸力、蠕滑率及自旋率，但蠕滑率和自旋率對摩擦力大小的影響遠小于法向接觸力對摩擦力大小的影響，它們主要是影響了滑動行為。由圖18～圖21可知，在直筒螺母內(nèi)，無論是滾珠與滾道接觸面上橫向摩擦力還是縱向摩擦力，它們都隨軸向載荷增大而變大；在法蘭螺母內(nèi)，無論是滾珠與滾道接觸面上橫向摩擦力還是縱向摩擦力，它們都隨軸向載荷增大而先減小后變大。兩個螺母內(nèi)滾珠與螺母滾道接觸面上摩擦力的方向以及滾珠與絲杠滾道接觸面上摩擦力的方向都相反，此運動行為主要由縱向蠕滑率所決定，方向相反的摩擦力形成了使?jié)L珠沿螺旋軌跡滾動的力矩。離心力的作用使得滾珠與螺母滾道間法向接觸力隨轉(zhuǎn)速提高而增大，從而導致滾珠與螺母滾道接觸面上縱向摩擦力隨轉(zhuǎn)速提高而增大；滾珠與絲杠滾道間法向接觸力隨轉(zhuǎn)速提高而減小，從而導致滾珠與絲杠滾道接觸面上橫向摩擦力和縱向摩擦力隨轉(zhuǎn)速提高而減小。隨著轉(zhuǎn)速的變化，滾珠與螺母滾道接觸面上縱向蠕滑率和滾珠與絲杠滾道接觸面上縱向蠕滑率對稱分布的特征，同樣反映在兩個接觸面上摩擦力的分布上，如圖22、圖23所示。

在滾珠絲杠副動力學模型中分別使用建立的滾珠絲杠副蠕滑力模型和庫侖力摩擦力模型來表征滾珠與滾道接觸面上的摩擦力，對比分析使用兩種模型計算出的摩擦力隨工作條件改變而變化的情況，如圖24～圖27所示，使用庫侖摩擦力模型所計算出的摩擦力始終大于使用滾珠絲杠副蠕滑力模型所計算出的摩擦力，因為庫侖摩擦力模型的使用意味著滾珠與滾道間要么彼此黏著，要么相對滑動。實際上滾珠和滾道都具有彈性特性，而兩彈性體間接觸面上必然存在很微小的彈性滑動，故滾珠絲杠副中滾珠與滾道接觸面間同時存在著黏著和滑動這兩個區(qū)域。在滾珠絲杠副蠕滑力模型中，黏著區(qū)域即意味著摩擦力為零，故使用庫侖摩擦力模型計算出來的滾珠與滾道接觸面上摩擦力的值較大。

圖28～圖31所示分別為軸向載荷施加方向為z軸正向時不同滾珠相位角處的滾珠與螺母滾道接觸面上及滾珠與絲杠滾道接觸面上摩擦力隨結(jié)構(gòu)參數(shù)改變而變化的情況。滾珠與絲杠滾道接觸面上橫向摩擦力隨導程增大而變大，而縱向摩擦力隨導程改變而存在兩種變化趨勢。滾珠與滾道接觸面上縱向摩擦力隨滾珠相位角的分布存在三個拐點：位于滾珠相位角0～60°的縱向摩擦力，它們隨導程增加而減??；位于滾珠相位角60°～175°的縱向摩擦力，它們隨導程增加而變大；位于滾珠相位角175°～330°的縱向摩擦力，它們隨導程增加而減小；位于滾珠相位角330°～360°之間的縱向摩擦力，它們隨導程增加而變大。所有滾珠相位角處蠕滑率和自旋率隨滾道曲率比改變而變化的趨勢是一致的，具體如下：滾珠與螺母滾道接觸面上縱向蠕滑率及滾珠與絲杠滾道接觸面上橫縱向蠕滑率和自旋率都隨導程增大而變大。

4結(jié)論

(1)即便滾珠絲杠副只受到軸向載荷的作用，不同相位角處滾珠所受載荷相等及運動行為相同的假設也不能成立。

(2)隨著滾動方向的ξy?逐漸增大，滑移區(qū)由接觸面后沿而逐漸向前沿擴展，相應的摩擦力方向與相對滑動速度矢量的方向相反，而其分布卻與滑動速度的滑動區(qū)和黏著區(qū)的分布一致。

(3)滾珠與滾道接觸面上摩擦力主要取決于此接觸面上的法向接觸力、蠕滑率及自旋率，但蠕滑率和自旋率對于摩擦力大小的影響遠小于法向接觸力，它們主要是影響了滑動行為。

參考文獻:

[1]周勇,王國賢,曹小華.一種滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)的測量與分析方法[J].中國機械工程,2013,24(23):3240-3243.

ZhouYong,WangGuoxian,CaoXiaohua.AMeasuringandAnalysisMethodtoIdentifyTorsionalVibrationModesofBallScrewFeedDrives[J].ChinaMechanicalEngineering,2013,24(23):3240-3243.

[2]王福吉，陽江源，賈振元，等. 滾珠絲杠副非協(xié)調(diào)性

接觸特性研究[J]. 中國機械工程,2011,22(19):2293-2297.

WangFuji，YangJiangyuan，JiaZhenyuan,etal.StudyonNon-conformalContactCharacteristicsofBallScrew[J].ChinaMechanicalEngineering,2011,22(19):2293-2297.

[3]WeiCC,LaiRS.KinematicalAnalysesandTransmissionEfficiencyofaPreloadedBallScrewOperatingatHighRotationalSpeeds[J].MechanismandMachineTheory,2011,46(7):880-898.

[4]WeiCC,LiouWL,LaiRS.WearAnalysisoftheOffsetTypePreloadedBall-screwOperatingatHighSpeed[J].Wear,2012,292:111-123.

[5]OlaruD,PuiuGC,BalanLC,etal.ANewModeltoEstimateFrictionTorqueinaBallScrewSystem[M].ProductEngineering.Berlin:Springer,2004.

[6]陳勇將，湯文成. 微型滾珠絲杠副摩擦力矩模型的建立與實驗驗證[J]. 東南大學學報,2011,41(5):983-986.

ChenYongjiang,TangWencheng.TheoreticalandExperimentalResearchonFrictionTorqueModelofMicro-typeBallScrew[J].JournalofSoutheastUniversity,2011,41(5):983-986.

[7]KalkerJJ.AFastAlgorithmfortheSimplifiedTheoryofRollingContact[J].VehicleSystemDynamics,1982, 11(1):1-13.

[8]KalkerJJ.Three-dimensionalElasticBodiesinRollingContact[M].Dordrecht:KluwerAcademicPublishers,1990.

[9]ChenYJ,TangWC.DynamicContactStiffnessAnalysisofaDouble-nutBallScrewBasedonQuasi-staticMethod[J].MechanismandMachineTheoryJournal,2014,73(3):76-90.

[10]HarrisTA.RollingBearingAnalysis[M].NewYork:JohnWiley&Sons,2007.

[11]FengGH,PanYL.InvestigationofBallScrewPreloadVariationBasedonDynamicModelingofaPreloadAdjustableFeed-driveSystemandSpectrumAnalysisofBall-nutsSensedVibrationSignals[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture,2012,52(1):85-96.

(編輯陳勇)

Study on Friction of Precision Ball Screws Based on Creep Force Models

Chen Yongjiang1Tang Wencheng2Gan Weimin1Meng Haodong1

1.Changzhou Institute of Technology,Changzhou,Jiangsu,2130022.Southeast University,Nanjing,211189

Key words:ball screw;dynamic characteristics；friction force；empirical mode decomposition(EMD)

Abstract:After establishing a proper friction force model to define the slip component between the ball and raceways,instead of assuming that all balls in the ball screw were equally loaded and run at the same speed,a multi degree of freedom dynamic model of the double nut preload ball screw was developed.The impact frequency of balls on the cover of the returning tube was obtained by using with the EMD and envelope method.Through theoretically calculated values with the experimental measured values of ball impact frequency the correctness of the established dynamics model was verified.The effects of screw rotational speeds,axial loads,pitch and curvature ratio on the friction of ball screws were investigated.

收稿日期：2015-04-03

基金項目：國家科技重大專項(2013ZX04008-011)；江蘇省高校自然科學研究面上項目(15KJB460001)

作者簡介：陳勇將，男，1982年生。常州工學院機電工程學院講師、博士。研究方向為滾動功能部件的振動與噪聲、摩擦與磨損。發(fā)表論文6篇。湯文成，男，1958年生。東南大學機械工程學院教授、博士。干為民，,1960年生。常州工學院機電工程學院教授、博士。孟浩東，男，1979年生。常州工學院機電工程學院講師、博士。

中圖分類號:TH132.1

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.02.007